Aplicaciones a problemas de ingeniería
Introducción
¡Hola, qué momento más grato el poder saludarte!
Es un orgullo que continúes como estudiante de este curso. Espero que sigas perseverando hasta el final, por lo pronto te invito a revisar esta sexta clase titulada APLICACIONES A PROBLEMAS DE INGENIERÍA del curso Ecuaciones Diferenciales.
En esta clase revisaremos ejemplos de aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden aplicado a problemas mecánicos y de circuitos eléctricos principalmente, y finalmente se aplicará el método de la transformada de Laplace para su solución.
Antes de comenzar este tema es importante que recuerdes el método de la transformada de Laplace y sobre todo, las propiedades de la transformada de Laplace de la derivada e integral, vistas en la unidad anterior en las ecuaciones 5.8, 5.9 y 5.10.
Para los ejemplos de aplicación con problemas de circuitos eléctricos es importante recordar las leyes de voltajes de Kirchhoff y el cálculo del voltaje de los componentes del circuito eléctrico (ver tabla 1).
También son importantes las ecuaciones 6.1 y 6.2 que muestran la ecuación de la corriente y la carga en un circuito eléctrico.
Entendido lo anterior, te invito a continuar la clase.
Desarrollo del tema
Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden
En ingeniería existen aplicaciones de sistemas físicos representados por un circuito eléctrico como el de la figura 6.1, donde se pide que se calcule la corriente i(t) si i(0)=0, cuando se aplica un voltaje de 30 Vac y R = 100 Ω y C = 1mF.
Para resolver este problema primeramente aplicamos las leyes de Kirchhoff que dice que la suma de las caídas de voltaje es igual a cero. Utilizando el cálculo de los voltajes en los componentes mostrados en la tabla 1 y aplicando las leyes de kirchhoff queda la ecuación 6.3.
Si se le aplica la transformada de Laplace a la ecuación 6.3 y se sustituyen los valores de los componentes queda la ecuación 6.4.
El siguiente paso sería factorizar la ecuación 6.5 quedando la ecuación 6.6.
Despejando i(s) de la ecuación 6.6 se obtiene la ecuación 6.7
Para obtener la solución de la corriente en el dominio del tiempo, es necesario aplicar la transformada inversa a la ecuación 6.7 utilizando la tabla 2 de la clase anterior, y se obtiene la ecuación 6.8
Para profundizar más en este tema consulta los siguientes videos donde se mostrará otro ejemplo con un circuito eléctrico:
Conclusión
En resumen, en esta sesión conociste aplicaciones a problemas de ingeniería utilizando circuitos eléctricos aplicando el método de la transformada de Laplace. También revisaste un problema de un sistema masa resorte de segundo orden. De este tema, es importante que recuerdes lo siguiente:
- Los pasos a seguir para resolver una ecuación diferencial aplicando el método de la transformada de Laplace y sobre todo las propiedades de la transformada de Laplace de la derivada e integral.
- Para los ejemplos de aplicación con problemas de circuitos eléctricos es importante recordar las leyes de voltajes de Kirchhoff y el cálculo del voltaje de los componentes del circuito eléctrico.
- Para los ejemplos de aplicación con problemas de masa resorte es importante recordar la ley de Hooke y la segunda ley de Newton.
Hemos llegado al final de la sesión y no me resta más que felicitarte por llegar hasta esta parte ya que has concluido la última clase del curso. ¡Muchas felicidades! Ha sido un gozo compartir contigo este trayecto formativo. Deseo que el curso haya cumplido con tus expectativas y encuentres satisfacción con los temas abordados, así como con tu desempeño y compromiso. No olvides realizar la tarea asignada para la plena conclusión del curso. Espero encontrarte nuevamente, ¡hasta pronto!