Clase digital 4. Conducción bidimensional en estado permanente

Conducción bidimensional en estado permanente

Introducción

En la sesión previa nos abocamos a determinar la forma de calcular el perfil de temperaturas y el flujo de calor presente en una placa plana sujeta al mecanismo de transferencia de calor por conducción unidimensional. En la presente clase nos enfocaremos en mostrar la forma de generar el perfil de temperaturas de una barra plana de perfil cuadrado a partir de condiciones de frontera específicas considerando el mecanismo de transferencia de calor bidimensional en estado permanente. Vale la pena decir que se está considerando este caso en particular, ya que es el más didáctico posible tanto en resolución analítica como en resolución numérica, en la cual haremos un mayor énfasis en este bloque. Antes de iniciar es importante que repases la resolución de cálculo diferencial y ecuaciones diferenciales sujetas a condiciones de frontera.

Desarrollo del tema

Pensemos nuevamente en tu escritorio, pero hagamos una modificación: imagina que cortas la tabla en tiras del mismo grosor y espesor. Entonces, lo que podemos ver es un prisma largo de base cuadrada con una arista igual al espesor de la tabla. Si nos enfocamos solamente en la sección cuadrada y, de alguna manera, mantenemos temperaturas constantes sobre todas las superficies que forman el cuadrado tendremos algo similar a lo mostrado en la Diagrama 1.

Ahora requerimos saber el perfil de temperaturas presente en toda la sección cuadrada para fines de diseño, ¿qué podríamos hacer? Si partimos nuevamente de la ecuación de energía mostrada en clases anteriores, se tiene que:

Considerando que necesitamos saber el perfil de temperaturas de la placa a condiciones de estado permanente, sin generación interna de energía, sin fluidos interactuando entre sí, con un material de propiedades homogéneas, y tomando en cuenta que el flujo de calor a lo largo de la dirección longitudinal es despreciable comparado con las dimensiones del cuadrado mostrado, se tiene que la ecuación gobernante por conducción bidimensional en estado permanente es:

Esta es una ecuación parcial homogénea de segundo orden, la cual puede ser resuelta a través de técnicas analíticas (sustitución y separación de variables) que normalmente son abordadas en cursos de posgrado enfocados a la resolución de ecuaciones diferenciales parciales sujetas a condiciones de frontera, pero tú también puedes resolverla (Leer recurso digital Fundamentos de transferencia de calor pp.163-167 y Conduction heat transfer pp.193-195).

• Fundamentos de transferencia de calor – páginas 161 a 173
• Conduction Heat Transfer – páginas 193 – 195

Es un hecho que la resolución te resultará complicada, pero esta es la forma de resolver problemas de conducción en forma analítica. En consecuencia, ¿se requiere cursar un posgrado en Ingeniería para lograr resolver problemas con geometrías o condiciones de frontera más complejas? La respuesta es no, de hecho muy pocos sistemas pueden ser resueltos a través de técnicas analíticas. Por ejemplo, si en lugar de un cuadrado consideramos la superficie de un cofre de auto, el nivel de complejidad para la resolución analítica sería elevado y seguramente después de mucho tiempo invertido llegarías a la conclusión de que no se puede resolver a menos que se hagan consideraciones que afecten la geometría del sistema haciéndola más simple (como un cuadrado). Entonces, ¿cómo es que se resuelve un sistema en la vida real? A la fecha, el desarrollo tecnológico del ser humano ha planteado tres formas de resolver los problemas, en este caso, de tipo ingenieril. Estas tres maneras son:

1. Resolución analítica. Se basa en resolver las ecuaciones gobernantes del fenómeno sujeto a las condiciones iniciales y de frontera a partir de técnicas analíticas, siendo principalmente la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales homogéneas y no homogéneas de primer orden y orden superior. Para alcanzar la resolución apropiada se requieren de habilidades matemáticas importantes.
2. Resolución experimental. Consiste en la comprensión del fenómeno gobernante a partir del desarrollo de experimentos con un diseño y una matriz de casos adecuados. Los experimentos deben enfocarse en conocer la respuesta del fenómeno a partir de perturbaciones controladas. Se requiere de una amplia experiencia y una inversión económica importante para la obtención de resultados apropiados.
3. Resolución numérica. Estriba en resolver las ecuaciones gobernantes del fenómeno sujeto a las consideraciones iniciales y de frontera a partir de discretizaciones en volúmenes de control infinitesimales y soluciones numéricas lineales con modelos de solución basados en álgebra lineal y aceleradores de resultados normalmente conocidos como Jacobianos. Esta forma está siendo ampliamente usada en la industria debido a su alta rugosidad y relativo bajo costo, sin embargo se requiere que los desarrolladores conozcan a fondo el fenómeno para tener resultados confiables.

En la unidad de aprendizaje, nos enfocaremos solamente en las técnicas numéricas para resolver problemas de conducción bidimensional en estado permanente. Como se mencionó arriba, la solución numérica se basa en resolver las ecuaciones diferenciales gobernantes a través de la resolución de un sistema de ecuaciones lineales. Para esto consideremos la siguiente idea:

Retomemos la placa plana que hemos trabajado hasta el momento, pero aclaremos un punto: en este momento aún no conocemos el cómo se comporta el perfil de temperaturas pero sabemos que no es lineal (Diagrama 2). Por lo tanto, como se mencionó anteriormente, la solución numérica se basa en realizar una discretización apropiada del sistema, esto es, generar un número de elementos infinitesimales dentro del sistema sobre los cuales se aplican las ecuaciones gobernantes. Para el caso que citamos, consideremos que seccionamos la placa en un número M de elementos a lo largo de su espesor (Diagrama 2, izquierda, puntos sobre el eje x). Por consiguiente, la solución que buscamos nos la aportará cada uno de estos elementos infinitesimales a fin de construir la curva de comportamiento del fenómeno (Diagrama 2, izquierda, línea rosa).

Entonces, enfoquemonos en el punto m (Diagrama 2, izquierda). Este es representado por la ecuación diferencial gobernante como la primera derivada de la variable dependiente entre la variable independiente, f/x, esto es, la pendiente de una recta teniendo como punto de contacto el punto m. Sin embargo, de acuerdo a tus clases de calculo, la pendiente depende del conocer al menos dos puntos independientes. Aquí toma importancia ya sea el punto m + 1 o el punto m – 1, el cual aportará a la relación f/x (Diagrama 2, derecha). Este principio se repetiría para cada uno de los puntos usados en la discretización. Si llevamos estas ideas a los conceptos básicos de cálculo, tendríamos que:

osea, la diferencia de la función respecto a la variable independiente la podemos aproximar como la diferencia entre la función evaluada a un punto superior y la función en ese punto, y esta diferencia dividida entre la variación de la variable independiente. Si nos movemos a los fundamentos dados por las series de Taylor, se tiene que:

Conviene hacer notar que la serie de Taylor puede ser infinita, pero a nivel ingenieril no nos podemos dar el lujo de realizar proyectos eternos, o infinitos; normalmente podemos vivir con un error adecuado. El error lo aporta el nivel en el que seccionamos la serie, el cual normalmente está en función del orden que presenta la ecuación gobernante del fenómeno. Para nuestro caso de estudio, la ecuación gobernante es de segundo orden, por lo tanto se esperaría cortar en el tercer término de la serie de Taylor.

Conoce más sobre las “Series de Taylor” en el video mostrado a continuación:

Para continuar con nuestro análisis enfoquémonos nuevamente en nuestros cursos de cálculo. La derivada de una función, la cual conocemos como pendiente, se define a partir de conocer dos puntos cualesquiera de la función, en donde uno de los puntos está dado en la posición de interés. Volviendo a nuestro caso estudiado en la presente clase, consideremos algunos conjuntos formado por dos puntos (m + 1 y m) o (m y m – 1), siendo estos dos puntos cualesquiera en la función y en el cual el punto m está en la posición requerida, esto es:

Así, para una segunda derivada se tendría:

Retomando la ecuación gobernante de nuestro sistema, tendríamos que:

Sustituyendo la discretización generada, se tendría que:

Todos estos nodos son conocidos como nodos internos del sistema. A fin de obtener la solución específica del sistema es necesario definir los nodos de frontera.

Lee Nodos de frontera en:

• Transferencia de calor y masa – páginas 303 a 311
• Capítulo 4 – Conducción dimensional en estado estable – Tabla 4.2

Entonces, para nuestro caso de estudio sujeto a la discretización mostrada en la figura 4.3 se tendría un sistema de ecuaciones lineales de M x N con las condiciones de frontera apropiadas:

Una vez que tu sistema de ecuaciones ha sido planteado, no queda más que resolverlo. Para un sistema de pocos nodos (< 10 nodos) no sería complicado resolverlo “a mano”, sin embargo, a nivel ingenieril, ningún sistema que valga la pena tendrá menos de 10 nodos, entonces ¿qué hay que hacer? Afortunadamente un estudiante de tu nivel ya tiene conocimiento en la generación de códigos computacionales para la resolución de sistemas de ecuaciones (Álgebra lineal + Métodos numéricos) en consecuencia, es necesario programar tu propio código a fin de generar los resultados apropiados. En la Consigna 5 se te pedirá que generes tu propio código para su solución.

Apóyate en el próximo video para realizar tu código:

Sumando estas técnicas numéricas, la solución para nuestra pequeña sección de la tabla de escritorio con la que se inició la discusión y de la cual se presentó una solución analítica, nos quedaría de la forma mostrada en el Diagrama 4.

Las temperaturas propuestas como condición de frontera son arbitrarias, pero se considera las restricciones indicadas en el Diagrama 1 (T₄ > T₂ > T₃ > T₁).

Finalmente, el flujo de calor se puede determinar a partir de la ley de Fourier para cada una de las dos direcciones. Esta metodología se aplica a otros tipos de sistemas sujetos a geometrías no tan simples como lo podría ser una circunferencia, elipse, polígono o, en su caso, el cofre de un auto.

Conclusión

En resumen, la forma de generar una solución de un sistema que opera con un mecanismo de transferencia de calor por conducción bidimensional en estado permanente depende ampliamente de la geometría del mismo Para geometrías sencillas, es posible generar resultados a partir de técnicas analíticas, teniendo habilidades suficientes para el manejo matemático; para geometrías más complejas, las técnicas numéricas son esenciales para la obtención de resultados confiables.

Las series de Taylor son ampliamente usadas para la discretización del sistema a fin de transformar las ecuaciones diferenciales en un sistema de ecuaciones lineales. Este tipo de soluciones presentan errores que se pueden manejar apropiadamente si el ingeniero es consciente del tipo de respuesta que espera del fenómeno dado.