Conducción en estado transitorio
Introducción
En esta clase analizaremos los conceptos requeridos para realizar un análisis de transferencia de calor por conducción considerando el factor tiempo, es decir, saber cómo se comporta la temperatura de un sistema a medida que esta dimensión transcurre. También analizaremos sistemas unidimensionales y bidimensionales con resoluciones analíticas y numéricas, introduciremos la idea de un nuevo concepto que no se ha manejado hasta el momento, nos referimos a sistema concentrado, y se iniciará la introducción de parámetros adimensionales, como el número de Biot.
Desarrollo del tema
Volvamos a lo discutido en clases anteriores: en la primera, a la tabla de tu escritorio le colocamos una fuente de calor por debajo y la mano en su parte superior, y se concluyó que el tiempo que pasa para sentir el calor en tu mano depende del espesor y del material de la placa; luego, en la tercer clase mostramos cómo generar el perfil de temperaturas del sistema considerando transferencia de calor por conducción unidimensional en estado permanente; finalmente, en la cuarta clase estudiamos la forma de generar el perfil de temperaturas para el sistema considerando transferencia de calor por conducción bidimensional en estado permanente, pero si dijimos que este mecanismo tiene un impacto directo en el tiempo ¿por qué no lo hemos considerado?
Pues bien, ahora es el momento de ahondar en este punto, para ello retomemos nuevamente la ecuación de energía mostrada anteriormente.
Si consideramos el mecanismo de transferencia de calor por conducción unidimensional en estado transitorio, nos quedaría:
una ecuación diferencial parcial homogénea de segundo orden, en la cual la temperatura es dependiente de la posición y el tiempo, T = f(x, t). Es esencial considerar la relación dada por k/C. Esta relación es una propiedad de los materiales conocida como difusividad térmica, α, que indica la velocidad del material para difundir en sí mismo energía térmica, a fin de alcanzar la estabilidad.
Conoce el método para determinar la difusividad térmica en el siguiente en la siguiente lectura
En base a esta situación, planteamos otra idea. ¿Cómo quedaría la ecuación si consideramos que la variación de temperatura a lo largo del espesor de la placa es despreciable, o sea, si la temperatura a la mitad de la tabla, en un tiempo dado, fuera muy cercana a una posición cercana a la superficie? Bajo esta consideración tendríamos un sistema concentrado en el cual el T = f(t). Así, la ecuación gobernante estaría dada como:
Si resolvemos la ecuación diferencial, encontraríamos que T = constante, en otras palabras, la temperatura del sistema no cambiaría en ningún momento dado. Mas esto no es lo que buscamos por el momento, de cualquier modo mantengamos la idea para una discusión más profunda avanzando esta clase.
Regresemos a la propuesta en la que T = f(x,t). Esta ecuación puede ser resuelta en forma analítica a partir de tus habilidades matemáticas, para lo cual se tendría la siguiente solución:
Por favor, lee la solución exacta del problema de conducción transitoria unidimensional en el siguiente documento:
Nuevamente, la complejidad de este tipo de sistemas radica en el desarrollo matemático que se puede tener al momento de resolver y aplicar las condiciones iniciales y de frontera apropiadas para el sistema. Por fortuna, este se puede resolver a partir de técnicas numéricas parecidas a las mostradas en la clase anterior. Para ello partimos del hecho que el tiempo es una dimensión similar a la dirección sobre el eje x o y, por lo tanto podremos realizar la discretización para el sistema unidimensional de la forma mostrada en el Diagrama 1, izquierda. Para este caso consideremos nuevamente el nodo m, el cual se mueve a través de la dimensión tiempo con el indicador i, o sea, Tim la temperatura del nodo m en el tiempo presente.
Aplicando las técnicas mostradas en la clase previa, se puede determinar que, para los nodos centrales, la discretización de la ecuación gobernante queda como:
Donde:
A continuación, te pido dar lectura al siguiente documento:
Pero, y si nuestro sistema no fuera unidimensional sino bidimensional similar a lo que se repasó en el bloque 4 ¿cómo quedaría el perfil de temperaturas para T = f(x, y, t)? Regresemos a nuestra ecuación gobernante.
Si retomamos las mismas consideraciones para un sistema en conducción bidimensional pero en estado transitorio, tendríamos que:
La ecuación se vuelve aún más interesante, ya que la solución analítica sería extremadamente compleja, por tal razón recurriremos a una solución numérica. Usando las técnicas de la clase anterior, podemos generar la ecuación gobernante para los nodos internos tal como:
Donde:
Aquí la solución numérica involucra resolver un sistema de ecuaciones embebido en otro sistema de ecuaciones, dicho de otra manera, implica resolver el sistema de ecuaciones para un tiempo dado y después mover el resultado de este sistema a un segundo tiempo Δt.
A continuación, te pido dar lectura al siguiente documento poniendo especial atención en los aspectos referentes al método implícito y al método explícito:
Para avanzar con el estudio del tema te pido visualices el siguiente video:
Para concluir, retornemos a la idea que se te pidió mantener en mente: el caso donde la temperatura es solamente función del tiempo, T= f (t), o sea, la temperatura dentro del sistema es “uniforme”. A estos se les denominan sistemas concentrados, y en ellos cobran relevancia las condiciones de frontera del sistema. Si se considera nuevamente un mecanismo de transferencia de calor por convección en la frontera del sistema (en la próxima clase ahondaremos en ello), el sistema concentrado aumenta o disminuye su temperatura dependiendo del coeficiente convectivo de transferencia de calor, h, y la temperatura ambiente en donde esté sumergido el sistema, T∞. En términos simples se tiene que:
(Transferencia de calor hacía el cuerpo durante dt) = (El incremento de la energía del cuerpodurante el dt)
Trabajando la expresión se tendría:
Donde:
Así, a medida que el parámetro b aumenta, se aumenta la rapidez con que se transfiere calor en el sistema concentrado, pero ¿cuando es útil usar este tipo de sistemas?, ¿qué margen de error se puede esperar?
Para dar respuesta a estas preguntas, es necesario plantear un parámetro adimensional que nos permita definir la resistencia a la conducción dentro del sistema entre la resistencia a la convección en la superficie del cuerpo. Este parámetro adimensional es conocido como el número de Biot, el cual está definido como:
Donde:
Ya que consideramos que la superficie dentro del sistema es uniforme (constante), es decir, que el sistema no presenta resistencia al flujo de calor, este análisis puede ser usado si el número de Biot tiende a cero; sin embargo, para valores mayores a cero se espera un error de alrededor de 15%, aceptable si el sistema no requiere de una alta precisión.
Por favor, te pido dar lectura al siguiente documento:
(Transferencia de calor hacía el cuerpo durante dt) = (El incremento de energía del cuerpo durante el dt)
Para finalizar este tema, te pido visualices el siguiente video:
Conclusión
Recapitulando, la resolución del mecanismo de transferencia de calor por conducción a partir de la ecuación gobernante puede ser a través de técnicas analíticas con un nivel considerable de complejidad, y numéricas con ajustes a la forma de solución de acuerdo al tipo de sistema. Además, se pueden realizar cálculos aproximados si se toma en cuenta un sistema concentrado, que implica considerar una temperatura uniforme dentro del sistema sujeto a un ambiente convectivo. Esta resolución es ampliamente usada en la industria para cálculos rápidos que no requieran un alto nivel de aproximación.
En la siguiente sesión la convección forzada en flujo externo será nuestro tema de estudio. No olvides realizar las consignas y leer los textos para lograr una mejor comprensión de los contenidos.
¡Hasta la próxima!