Conducción unidimensional en estado permanente
Introducción
Bienvenidos a la tercera clase de la unidad de aprendizaje Transferencia de calor, como recordarás en clases anteriores conocimos la ecuación gobernante de los fenómenos manifestados por los diferentes mecanismos de transferencia de calor. En este tema veremos la aplicación de esta ecuación en los análisis de conducción unidimensional en sistemas formados por placas únicas y los sistemas formados por placas compuestas, tanto en arreglos en serie como en paralelo.
Todos estos puntos serán tratados y demostrados con la ley de Fourier. La ecuación gobernante será resuelta para condiciones de frontera específicas en coordenadas rectangulares. Para mejorar la compresión se te pedirá que apliques lo aprendido en otros sistemas sujetos a condiciones de frontera diferentes a la de temperatura constante. Dicho esto, iniciemos.
Desarrollo del tema
Retomemos nuevamente la superficie de tu escritorio. En la clase previa indicamos que es una placa plana de madera u otro material con un espesor significativamente más pequeño que su ancho y su largo. Ya que estamos en tu área de confort –tu templo de conocimiento– juguemos. ¿Tienes un encendedor o una vela cerca de tu escritorio?, ¿qué pasa si enciendes esta fuente de calor y lo posicionas por debajo de la placa horizontal de tu escritorio, sin quemarlo, y en la parte superior pones la palma de tu mano?, ¿te quemarás?, y ¿sería diferente si el escritorio fuera de metal?
Si tu escritorio fuese de madera, la fuente de calor (encendedor o vela) estará calentando la superficie inferior del escritorio y tu mano estaría recibiendo el calor generado por esta fuente, sin embargo, pasará mucho tiempo hasta que comiences a sentirlo. Si el escritorio fuese de metal con las mismas dimensiones y sujeto a la misma fuente de calor, empezarás a sentir calor en la mano en un lapso de tiempo mucho más corto. Igualmente puedes observar que si el espesor del escritorio se reduce entonces el calor se podrá percibir en un tiempo más corto que si aumenta el espesor. Asimismo, si las condiciones no cambian (se mantiene la misma fuente de calor debajo de la mesa y la mano sobre esta) por un tiempo suficientemente largo, llegará un momento en el que ya no sentirás un incremento en el calor. La razón detrás de esto es el mecanismo de transferencia de calor por conducción en forma unidimensional en estado permanente. Examinemos algunos puntos antes de continuar:
- Es unidimensional ya que el espesor del escritorio es mucho menor que las dimensiones de largo y ancho del mismo, por lo cual el calor transferido a través del escritorio tendrá un mayor impacto sobre el espesor de la placa que sobre alguna otra de las dos dimensiones.
- Recordando tus clases previas, un sistema es aquel objeto de estudio que está delimitado por sus fronteras y que tiene interacción directa con su entorno. Así, para nuestro caso de estudio, el sistema será la tabla plana de tu escritorio. Esta se encuentra delimitada por las superficies de la misma (lado superior y lado inferior) e interactúa con su entorno pues la fuente de calor le transfiere energía al sistema y la mano recibe parte de esta energía en forma de calor proveniente de la placa.
- Cuando hablamos de condición en estado permanente hacemos referencia a un sistema en el que, al paso de un tiempo dado, sus condiciones, propiedades y fenómenos no cambiarían. Para el caso opuesto, estaríamos hablando de un sistema sujeto a condiciones de estado transitorio.
Es esencial resaltar que dentro de los estudios de Transferencia de calor se tienen efectos similares pero sujetos a condiciones de frontera diferentes. Para ejemplificar lo anterior, en tu escritorio estamos considerando una fuente de calor constante (condición de frontera a flujo de calor constante), pero ¿qué pasa si tu fuente de calor es una cacerola que contiene agua sujeta a calor latente (cambio de fase)? De tus cursos anteriores sabes que cuando se presenta un cambio de fase en una sustancia se tiene un proceso a temperatura constante (condición de frontera a temperatura constante). La anterior es la segunda condición de frontera que se presenta dentro de los estudios de Transferencia de calor.
Regresando a nuestro caso de estudio, percibimos que el tiempo que tienes que esperar para sentir calor en tu mano depende de dos factores:
1) el tipo de material del que está hecho el sistema, y
2) el espesor del sistema.
Estos dos parámetros son los principales para describir el fenómeno de transferencia de calor por conducción. A lo largo de su estudio, se ha observado empíricamente que esta relación se puede expresar como:
Esta ecuación es conocida como la ley de Fourier y permite determinar el flujo de calor que se transfiere a través de una placa plana homogénea en forma unidimensional.
Y en este momento te preguntarás, si la ley de Fourier es capaz de indicarme la razón a la que se transfiere calor dentro de un sistema por medio de conducción, entonces ¿por qué estudié la ecuación de energía? Para dar respuesta a esta pregunta, retomemos la ecuación de la energía mostrada en la clase anterior:
En el texto que leíste (Conduction heat transfer y Fundamentals of Heat and Mass Transfer) se puede ver que la ecuación gobernante para los fenómenos de transferencia de calor es la ecuación de energía. Esta ecuación se enfoca en determinar la variación de la temperatura dentro del sistema de estudio que, para coordenadas rectangulares, está dada como:
Si aplicamos esta ecuación para el caso de nuestra tabla plana del escritorio bajo el mecanismo de transferencia de calor por conducción unidimensional en estado permanente, considerando que la mesa no interactúa con ningún fluido a su alrededor, tendríamos que:
- El término transitorio sería igual a cero pues el sistema está en estado permanente.
- Los términos inerciales serían igual a cero porque el sistema no está en movimiento ni tampoco hay fluido interactuando con este.
- Los términos conductivos en las direcciones de largo y ancho de la placa serían despreciables ya que el calor fluirá por la dirección más corta.
- El término de generación de calor sería igual a cero debido a que la placa no genera calor dentro de ella.
- El término viscoso disipativo sería despreciable puesto que el sistema no se movería y no hay ningún fluido interactuando con este.
Por ende, la ecuación de energía sujeta a estas condiciones quedaría expresada como:
Si además consideramos que la conductividad térmica de todo el material es homogénea, esto es k = constante, se tiene que:
Para reforzar la comprensión del tema, accede al video “Ecuación general de la conducción de calor”:
Si resolvemos la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden homogénea, nos queda que:
La ecuación representa el perfil de temperaturas que tiene la placa a lo largo de su espesor (Diagrama 1). Como se puede observar, el perfil es lineal, por lo cual su pendiente puede ser positiva o negativa dependiendo del cómo sea la diferencia de temperaturas a ambos lados de la placa. En el caso del escritorio, consideremos que el eje x está sobre el espesor de la tabla, estando su origen en la pared inferior y que, en lugar de tener una fuente de calor constante, tenemos una condición de temperatura constante (siempre se mantiene esa temperatura). Para este caso, las condiciones de frontera están dadas como:
A partir de estas condiciones de frontera, se tiene el perfil de temperaturas presente a través del sistema bajo conducción unidimensional en estado permanente y sujeto a condiciones de frontera de temperatura constante, siendo este:
Si T1 > T2 la pendiente de la ecuación será negativa, indicando que el flujo de calor se mueve desde x = 0 hasta x > 0. En caso contrario, la pendiente de la ecuación será positiva, indicando que el flujo de calor se mueve desde x > 0 hasta x = 0.
Si analizamos un poco más este perfil de temperaturas, podemos ver que:
El anterior arreglo resalta un fenómeno presente en la naturaleza: la energía siempre se transfiere en forma perpendicular a la superficie de la frontera del sistema. Este es el principio básico de la ley de Fourier y la unión que existe con la ecuación de la energía.
Revisa el siguiente enlace para conocer más sobre la ley de Fourier y su aplicación: «La conducción del calor. Ley de Fourier«.
A partir de la información revisada hasta el momento, indica el perfil de temperaturas considerando que el sistema esté sujeto a las siguientes condiciones de frontera:
Para continuar con la clase retomemos la ley de Fourier mencionada anteriormente. Esta ley expresa la razón de flujo de calor que atraviesa el material dependiendo de la conductividad térmica del material y el espesor del mismo. La relación entre estos dos parámetros representan un concepto denominado resistencia térmica.
Por ende, la ley de Fourier se puede expresar como:
Ahora pensemos que tu escritorio está conformado por varios materiales, uno sobre el otro como un sándwich (Diagrama 2). En este caso ¿cómo se podrá determinar el flujo de calor en este nuevo sistema? Aquí es cuando cobra más importancia la resistencia térmica del sistema.
Para el caso planteado, la resistencia total del sistema está afectada por la resistencia térmica que cada uno de los materiales presenta en forma independiente, esto es:
De igual modo, la resistencia térmica total está ampliamente limitada por el material que posee la mayor resistencia dentro del sistema. La cuestión que emerge es ¿cómo se relacionan las resistencias por cada uno de los materiales en una resistencia total? La pregunta ha sido respondida a partir de asemejar este tipo de arreglos como arreglos eléctricos, es decir, arreglos en serie y paralelo. Este tipo de semejanza se basa en que, en ambos casos, se está transfiriendo energía.
A groso modo, este parámetro permite definir el cómo se transfiere calor desde la frontera de un sólido o líquido estadito hacia un líquido en movimiento, y viceversa. Por ello, este parámetro está dando dentro de un rango desde 1 W/m2-K hasta 1,000 W/m2-k. Para los fines de estas primeras clases, consideremos que este parámetro es de 10W/m2-K. Cabe agregar que la forma en que este parámetro opera dentro de un arreglo como el que se estudia en esta clase es similar al de la conductividad térmica del sistema, lo cual impacta de forma similar a una resistencia térmica. Por ello se tiene un h1 y un h2 presente en el análisis. En base a esto, se tiene el arreglo mostrado en la siguiente figura.
En este escenario, el sistema se puede asemejar a un arreglo en serie formado por cuatro resistencias térmicas (dos por los materiales y dos por las condiciones convectivas) así, la resistencia total del sistema será dada por la suma algebraica de cada una de ellas. En el Diagrama 3 se muestra la forma de calcular en cada una de las resistencias. De tal modo, el flujo de calor del sistema se puede determinar como:
Revisa cómo se llega a la ecuación anterior leyendo el siguiente documento:
Refuerza lo visto en clase con el video denominado: “Transferencia de calor por conducción”.
Ahora, veamos qué tanto has aprendido de la clase. A partir de la información que has revisado hasta el momento, indica cómo será el flujo de calor considerando que el sistema está dado como en el Diagrama 4. Toma en cuenta que al indicar que el sistema está aislado (aislamiento), el flujo de calor en esa dirección será igual a cero. Considera un Coeficiente convectivo de 10 W/m2-K en tu análisis.
Continuando con el tema y a partir de la información que has revisado hasta el momento, deberías ser capaz de demostrar cómo será el flujo de calor considerando que el sistema sea como se muestra en el Diagrama 5. Considera un coeficiente convectivo de 10 W/m^2-K en la parte interior y de 5 W/m2-K en la parte exterior.
Fuente: (Çengel, 2007).
Conclusión
En nuestra clase nos adentramos en los fundamentos principales para determinar el flujo de calor generado a partir de un mecanismo de transferencia de calor por conducción. La ley de Fourier es una expresión generada a partir de conocimiento empírico que permite determinar lo anterior, esta ecuación indica que el flujo de calor es directamente proporcional a la conductividad térmica del material, e inversamente proporcional a la medida del espesor del material. Estos dos hechos son los puntos claves a considerar dentro de este fenómeno. (Cengel, 2007. pp. 18).
Se introdujo también el término de resistencia térmica, dado por la relación entre espesor del material y conductividad térmica. A medida que la resistencia térmica aumenta, el flujo de calor se ve disminuido. En cuanto a la resistencia total del sistema, esta se halla influenciada por el elemento que presente la mayor resistencia (menor conductividad térmica). Finalmente, la ecuación gobernante permite determinar el perfil de temperaturas presentes en el sistema, siendo esto de gran utilidad para el diseño de los mismos.