Lógica proposicional
Introducción
Estimado estudiante, qué bueno que estás de vuelta. Tras conocer los diferentes silogismos, tenemos los conocimientos necesarios para elaborar un análisis más preciso de los mismos. Lo primero que aprenderemos en esta clase es la transformación del lenguaje natural en lenguaje proposicional, la cual consiste en la representación simplificada de nuestro lenguaje para generar una expresión sintética.
Con el lenguaje proposicional nosotros podremos realizar de forma clara y precisa pruebas de validez para la estructura o forma de los argumentos que usamos en nuestra vida diaria, además de que nos proporcionará las bases para comprender los fundamentos de las ciencias, desde las matemáticas discretas hasta la forma en que es usado el lenguaje de sistemas.
Dicho de otro modo, el tema que estaremos estudiando a continuación es muy importante para nosotros, en tanto nos servirá como fundamento de la ciencia y su lenguaje en un sentido práctico.
¡Comencemos!
Desarrollo del tema
Lógica proposicional
La lógica proposicional es un tipo de lógica que estudia todos los valores que podemos concluir de las relaciones existentes entre las proposiciones lógicas. Lo primero que debemos aprender está relacionado con los operadores lógicos, de los cuales se obtienen las proposiciones moleculares. Una proposición atómica es un enunciado que posee sujeto, cópula y predicado, mientras que una proposición molecular se obtiene cuando se unen por los conectivos lógicos varias proposiciones.
Las proposiciones moleculares que se obtienen de los operadores lógicos son:
- Negativa: proposición molecular que niega algo, es decir, niega lo que se enuncia en la proposición atómica completa: No todo mar es salado.
- Conjuntiva: proposición molecular que conecta dos o más proposiciones atómicas por medio del predicado al sujeto de una proposición; al conectar por medio del conectivo lógico de la conjunción (Y), se crea la proposición molecular: El niño irá al cine y comerá palomitas.
- Disyuntiva: proposición molecular que reúne dos o más proposiciones atómicas; por medio del conectivo disyuntor te da opción a elegir entre las proposiciones atómicas y, dada esta situación, se dan varias alternativas, por lo que existen dos tipos de disyunción (inclusiva y exclusiva). La disyunción inclusiva sucede cuando las dos proposiciones atómicas pueden ser seleccionadas, pero no afecta el criterio de verdad de ambas, por ejemplo: La casa es grande o la casa es roja. La disyunción exclusiva obliga a que sólo exista una alternativa entre dos proposiciones atómicas, por ejemplo: O el cachorro está enfermo o está saludable.
- Condicional: la proposición molecular condicional estudia las consecuencias; para ello, debe existir en las proposiciones atómicas un antecedente que proporcione la información que dará por resultado las consecuencias de dichas proposiciones antecedentes. A la consecuencia se le denomina consecuente: Si el estudiante está en la escuela entonces él estará aprendiendo.
- Bicondicional: es una proposición molecular donde se conectan dos proposiciones atómicas y donde el antecedente y consecuente dependen uno del otro en ambos sentidos, es decir, pueden cambiarse y no afecta a la proposición: Hace calor si y sólo si la temperatura sube.
Vamos a ejercitar lo visto atendiendo a varias reglas.
Toda proposición atómica puede ser representada por una letra del alfabeto (cualquiera sea) y se unirá a otra proposición atómica mediante un conectivo lógico. Si tenemos un argumento podemos transformarlo del lenguaje natural al lenguaje proposicional mediante su expresión simbólica.
Si vivo en Korea y me gusta el K-pop, entonces soy koreano o soy cantante.
El primer paso es definir las proposiciones atómicas:
P: Vivo en Korea
Q: Me gusta el K-pop
R: Soy koreano
S: Soy cantante
En segundo lugar, debemos construir la proposición haciendo uso de las expresiones que representan cada una de las proposiciones, conectándolas con los conectivos lógicos correspondientes:
(P ٨ Q) → (R ٧ S)
Tabla de verdad
Ahora hablemos de las tablas de verdad. Las tablas de verdad son representaciones en tablas que permiten tener un panorama completo de todos los criterios de validez que tiene alguna proposición. Esto quiere decir que de un esquema de proposición molecular se pueden obtener todas las variables posibles para los dos criterios de verdad posible (verdadero y falso).
En el caso de las fórmulas de algún esquema molecular, es posible obtener su criterio de validez realizando sus tablas de verdad, de esta manera existen diferentes combinaciones acordes a cómo actúa cada conectivo lógico. Vamos a expresar las tablas de verdad para cada operador lógico:
Para resolver una tabla de verdad de un esquema molecular se debe:
- Pasar del lenguaje natural al simbólico (si es el caso).
- Establecer el condicional asociado (aplicar puntuación y poner el silogismo en una sola línea).
- Aplicar la fórmula 2n (es decir, el 2 por el número de criterios de validez, verdadero y falso), el exponente “n” es el número de variables existentes que es representado por el número de proposiciones atómicas diferentes de nuestro esquema molecular.
- Distribuir los valores de verdad en cada proposición atómica en orden de aparición (es decir, se tiene una b y posteriormente una a se inicia por la b).
- Realizar operaciones por las relaciones moleculares que hay en función de su conectivo lógico, así como resolver en orden por jerarquía de agrupación, paréntesis, corchetes y llaves, respectivamente.
- Determinar si el resultado se trata de una tautología (todos los valores del conectivo principal son verdaderos), una verdad incompleta, un contingente (hay valores de verdad y falsedad) o una contradicción (todos los valores son falsos).
Resolvamos un ejemplo.
Si canto bien, entonces gano el concurso de canto y si no practico mi voz o no canto bien, entonces no ganaré el concurso de canto.
Primero, definimos las proposiciones atómicas:
P: Canto bien
Q: Gano el concurso de canto
R: Practico mi voz
Segundo, creamos la fórmula o esquema molecular:
{[(P →Q) ٨ (~R ٧~P) ]→ (~Q)}
Tercero, creamos la tabla de verdad, debemos usar la fórmula 2n para obtener el número de criterios de verdad. Se distribuyen verdaderas y falsas para cada proposición atómica con el fin de generar todas las combinaciones posibles. 2(3)=8
Ahora, tenemos que resolver, en orden de agrupación, cada una de las proposiciones moleculares, haciendo uso de las proposiciones atómicas y su relación por conectivo lógico. Primero, paréntesis. Al terminar, haciendo uso de las columnas resueltas por paréntesis, se resuelve con el conectivo lógico, el corchete.
Finalmente, se resuelve utilizando el resultado del corchete. Se podrá resolver la tabla relacionando con la proposición molecular final, es decir, resolvemos al final la proposición molecular que se encuentra dentro de la llave. Recuerda que las negaciones también deben ser resueltas antes de proseguir con cualquier otro operador lógico.
Al final, lo que se encuentra en la columna de resolución de la llave es el resultado de la tabla, donde si se obtienen una combinación de verdaderos y falsos se considera que la tabla es una inconsistencia.
Si todas fueran verdaderas mi tabla sería una tautología y si todos mis resultados fueran falsos sería una contradicción. Para la resolución de la tabla de verdad agrego el documento denominado Tablas de verdad, que explica de otra forma la realización de una tabla de verdad, espero puedas revisarlo.
Leyes de implicación y equivalencias
En la lógica proposicional hay métodos para demostrar la validez de las implicaciones lógicas. En este sentido, se han creado ciertas leyes y reglas de inferencia para su demostración. Vamos a revisarlas.
Para demostrar la validez de una implicación, primero debemos reconocer los elementos centrales de dichas operaciones. En una implicación siempre deberá existir un antecedente expresado por las premisas que permiten establecer una conclusión, la cual es representada por una conclusión o consecuente, por ejemplo:
P1 P →Q
P2 P
_________
∴ Q
Donde P1 y P2 son las premisas que representan el antecedente y Q es la conclusión o consecuente de la implicación. Ahora, pasemos a revisar las diferentes leyes que existen para la demostración de la validez de una implicación. Para ello, debes revisar el siguiente documento Reglas de inferencia.
Conclusión
Antes de cerrar con esta clase, debo felicitarte por lograr avanzar hasta este tema. Ya estamos por llegar al final de la UDA, ha sido un camino muy largo.
En esta clase revisamos la lógica proposicional. Aprendimos qué son las proposiciones atómicas y las moleculares, la transformación del lenguaje, la aplicación de las tablas de verdad para demostrar la validez de nuestras proposiciones, así como las reglas de implicación y equivalencia que son indispensables para la demostración de las inferencias hechas.
Por otro lado, conocimos la simbología usada en la lógica simbólica y matemática, lo que servirá de preámbulo a los diferentes procedimientos para las ciencias y, en concreto, todo tipo de argumentación lógica.