Conceptos y definiciones de conjuntos
Introducción
¡Saludos y bienvenid@ al microcurso sobre Teoría de Conjuntos en el programa educativo de Artes Digitales! En esta fascinante aventura matemática, exploraremos un concepto fundamental que subyace en nuestra vida cotidiana y en el mundo de las artes digitales: los conjuntos. A menudo, sin darnos cuenta, agrupamos objetos, ideas o situaciones en nuestra mente, como un conjunto de niños, una colección de películas o incluso frutas en una canasta. Estos son ejemplos simples de conjuntos en acción.
No obstante, la Teoría de Conjuntos va mucho más allá. No solo nos ayuda a organizar cosas, sino que también nos permite realizar operaciones con ellas. Imagina que debes seleccionar las manzanas y las peras de una caja de frutas o reunir todas las canicas rojas de dos bolsas diferentes. Estos ejemplos aparentemente simples son representativos de las operaciones que podemos realizar con conjuntos. En este microcurso, desentrañaremos el misterio detrás de los conjuntos: aprenderemos sus definiciones, exploraremos las operaciones que podemos realizar con ellos, dominaremos su representación gráfica y resolveremos problemas utilizando esta poderosa herramienta matemática.
En esta primera clase digital, nos sumergiremos en el mundo de los conjuntos desde sus fundamentos. Comenzaremos por comprender qué son los conjuntos, cómo se definen y cómo los representamos. Exploraremos la simbología que nos permitirá expresar conjuntos y dominaremos los principios básicos de la notación matemática. Prepárate para una experiencia de aprendizaje enriquecedora y llena de descubrimientos. ¡Es hora de comenzar nuestro viaje en el fascinante mundo de la Teoría de Conjuntos!
Desarrollo del tema
1.1 ¿Qué son los conjuntos?
Anteriormente se proporcionó una visión general del concepto de conjunto. Ahora, profundizaremos en su definición formal. En términos precisos, un conjunto es una colección de objetos. Por ejemplo, una bolsa de canicas, un corral con animales o una caja con colores pueden considerarse conjuntos. La palabra «conjunto» reemplaza eficazmente palabras como «bolsa», «caja» o «corral» cuando se trata de agrupar objetos. Cada objeto dentro de un conjunto se denomina elemento.
Para aclarar, podemos decir que «los elementos de los conjuntos son los objetos contenidos en un conjunto». Siguiendo con los ejemplos anteriores, una canica roja sería un elemento del conjunto de canicas, una vaca sería un elemento del conjunto de animales y el color azul sería un elemento del conjunto de colores. Esta conceptualización nos permite crear conjuntos en varios niveles, como planetas en un sistema solar, sistemas solares en una galaxia y galaxias en el universo.
Es fundamental comprender que el «universo» actúa como el marco de referencia máximo para definir conjuntos. Por ejemplo, si consideramos el «universo» como «animales carnívoros», podemos crear conjuntos como «mamíferos», «aves carnívoras» y «felinos». Sin embargo, animales como las vacas y los borregos, que no son carnívoros, no pueden ser conjuntos dentro de este contexto.Además, es relevante mencionar dos conceptos clave: el conjunto vacío, que no contiene elementos, y el conjunto único, que consta de un solo elemento.
1.2 Declaración de Conjuntos
Hasta el momento hemos visto que la declaración de los conjuntos puede ser mediante palabras u oraciones. Pero también puede ser declarado si mencionamos los objetos dentro del conjunto. Lo que nos lleva a dos tipos de declaraciones: por enumeración y compresión
Cuando se realiza una declaración por compresión, estamos haciendo uso de oraciones, sentencias o enunciados que nos indican cuales son los elementos del conjunto y sus posibles límites de este.
- Los colores del arcoíris
- Marcas de Refrescos en México
- Personajes de los libros de Harry Potter
- Películas del Padrino
- Números pares
De esta forma se puede resumir todos los elementos que contiene un conjunto sin tener que especificar todos los elementos del conjunto.
En una declaración por enumeración, nos indican cuales son los elementos del conjunto y estos son los únicos que existen, si usamos los mismos ejemplos podremos ver que algunos conjuntos pueden ser descrito por enumeración de una manera fácil
- Rojo, naranja, amarillo, verde, azul, índigo y violeta
- Coca-cola, Pepsi-cola, Fanta, 7-Up, Manzanita Sol, …
- Harry Portter, Hermione Granger, Ron Weasley, Albus Dumbledore, Severus Snape, Lord Voldemort, Draco Malfoy, …
- Padrino I, Padrino II, Padrino III
- 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20, …
Por lo anterior, dependiendo de nuestra necesidad podemos declarar un conjunto por descripción en especial cuando los elementos son demasiados como para poder en listarlo o cuando puede ser un conjunto infinito como los números pares. Por otro lado, si los elementos son pocos o es necesario saber cuáles son, la descripción por enumeración es la opción correcta.
1.3 Simbología
Para entender mejor los conjuntos es necesario conocer la simbología matemática, esto permitirá hacer mejor uso de estos.
Primeramente, hay que indicar que para hacer referencia a un conjunto es mediante las letras mayúsculas del abecedario. Únicamente, haciendo excepción con la letra U que será reservada para establecer el Universo.
- { } El símbolo de las llaves indica que todo lo que está dentro de ellos es un elemento del conjunto
- ∈ Este símbolo se lee como qué objetos pertenecen a un conjunto
- ∉ Este símbolo se lee como que objetos que no pertenecen a un conjunto
- | Este símbolo se lee como “tal que” para hacer referencia a preposiciones en las declaraciones por compresión de los conjuntos.
Teniendo en cuenta la simbología, podemos definir lo siguientes conjuntos de forma numerada o por compresión como se muestra la tabla 1:
| Enumeración | Compresión | Enunciado |
|---|---|---|
| A = {1,2,3,4,5} | El conjunto A con los números del 1 al 5 | El conjunto A con los números del 1 al 5 |
| B= {Rojo, naranja, amarillo, verde, azul, índigo y violeta} | B= {Los colores del arcoíris} | El conjunto B contiene los colores del arcoíris |
| C= {Aguascalientes, Baja California Norte…} | x ∈ C, C= {Estados de la República Mexicana}, x=Guanajuato | x pertenece al conjunto C que representa los estados de la República Mexicana y se pone como ejemplo Guanajuato, si por ejemplo x= Los Ángeles, entonces este elemento no pertenece al conjunto porque es parte del conjunto descrito |
| G= {2,3,5,7,11,13,17} | G= {x | x es número primo del 1 al 20} | x es un elemento del conjunto G tal que sea un número primo del 1 al 20}, |
| J= {PRI, PAN, PRD, MORENA, Verde Ecologista, Movimiento Ciudadano} | J= {Partidos Políticos de México} | Todos aquellos partidos políticos de México forman parte del conjunto J. |
Conclusión
Felicidades has concluido la primera clase del micro curso Teoría de Conjuntos. Cómo has visto los conjuntos están en todas partes. Durante tu vida has estado usando conjuntos de manera empírica e intuitiva. Has usado los conjuntos para ordenar, separar, clasificar y todas aquellas acciones que te permitan agrupar cosas principalmente.
Esto lo puedes ver en tu casa, trabajo, oficina, etc.
Por ejemplo, seguramente en tu casa tienes un lugar para los libros, entonces tienes un conjunto de libros o usando simbología A= {libros de la casa}, un lugar para las especies en la cocina y otro de condimentos, en palabras de conjuntos, tienes un conjunto de especies y un conjunto de condimentos, pimienta ∈ al conjunto de especies o sal ∉ al conjunto de condimentos (B = {pimienta, sal, canela, anís, clavos de olor}, C = {orégano, perejil, albahaca, laurel, tomillo}). Por lo anterior, podemos encontrar muchos ejemplos de cómo usas los conjuntos en la vida diaria.
Es así como los conjuntos son la base de la organización, clasificación y separación, permiten tener un orden y un sentido. Sin embargo, a través de esta primera clase has aprendido que los conjuntos tienen conceptos, fundamentos, poseen teoría y de la misma forma, esta teoría te lleva a una representación matemática y simbólica.
Entonces, ahora que conoces las bases principales y fundamentales de la Teoría de Conjuntos, estás listo para entender los siguientes conceptos, Operaciones con Conjuntos.
Te invito a que sigas con este entusiasmo y sigamos aprendiendo más sobre los Conjuntos. ¡Nos vemos en la siguiente clase!
Fuentes de información
- Fundamentos de Matemáticos (Silva & Lazo, 2008) Libro de Fundamentos de Matemáticas en su primer capítulo, ofrece una visión sobre conjuntos ejemplos y ejercicios.
- Álgebra (Bello, 2006) Libro de Álgebra en su primer capítulo, ofrece una visión sobre conjuntos ejemplos y ejercicios.
- Curso en Línea: GCF Global. (s.f.). Introducción a los conjuntos. Obtenido de https://edu.gcfglobal.org/es/los-conjuntos/ (GCF Global, s.f.) El curso en línea te permitirá ver otro enfoque los conjuntos mediante diapositivas, así mismo trae ejemplos y algunos ejercicios.
- Documento PDF, Teoría de Conjuntos de Efraín Andrade (Hernández, 2018) En esta presentación, podrás ver definiciones sobre los conjuntos, su simbología y declaración.
- Sitio Web, Enciclopedia Cubana: Teoría de Conjuntos (Enciclopedia Cubana, s.f.) En este portal similar a una Wiki, los editores registrados hacen correcciones a la manera de presentar la información sobre los conjuntos, permite que se visualicen otras maneras de entender conjuntos.