Clase digital 2. Operaciones de conjuntos

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Conceptos y definiciones de conjuntos

Introducción

¡Saludos y bienvenid@ a la clase digital 2 titulada «Operaciones de Conjuntos» en el marco del curso de Teoría de Conjuntos del programa de Artes Digitales!

En la lección anterior, exploramos cómo los conjuntos son una parte integral de nuestra vida diaria, ya que los utilizamos para agrupar y clasificar objetos de diversas maneras. Ahora, daremos un paso más allá al descubrir que, al igual que intuitivamente realizamos declaraciones de conjuntos, también llevamos a cabo operaciones con ellos. 

Para ilustrar este concepto, consideremos un ejemplo común en nuestras vidas: el lavado de ropa. En muchas ocasiones, clasificamos nuestra ropa por colores, lo que implica crear conjuntos como A= {ropa de color blanco}, B= {ropa de color oscuro}, C= {ropa de colores claros}, D= {ropa que tiende a decolorarse}, y otros conjuntos según nuestras necesidades. Sin embargo, en aras de la sostenibilidad, a menudo mezclamos estas categorías, como cuando combinamos la ropa blanca (conjunto A) y la ropa de colores claros (conjunto C). Ocasionalmente, incluso ponemos ropa de colores oscuros junto con la que tiende a decolorarse, ya que pertenece a ambos conjuntos. Sorprendentemente, sin ser conscientes de ello, realizamos operaciones con conjuntos: la unión de conjuntos, la intersección y más.

En esta segunda clase de nuestro microcurso Teoría de Conjuntos, nos centraremos en profundizar en las operaciones de conjuntos. Comprenderemos qué son las operaciones, cuáles son sus propiedades fundamentales y cómo aplicarlas tanto en situaciones cotidianas como en contextos abstractos y lógicos.

Estamos a punto de adentrarnos en un emocionante viaje de aprendizaje. ¡Empecemos!

Desarrollo del tema

2.1 Definiciones de Operaciones de Conjuntos

En el ámbito de las matemáticas, estamos familiarizados con la realización de operaciones aritméticas como suma, resta, multiplicación o división. No obstante, en el contexto de los conjuntos, existen sus propias operaciones particulares.

  • Operación Unión

La operación unión, tiene el símbolo “U “.  Cuando se utiliza la unión entre 2 conjuntos, los elementos de ambos se juntan en un solo conjunto. Ejemplo:

Si tenemos al conjunto A = {1, 2, 3 ,4 ,5} y al conjunto B = {6, 7, 8, 9, 10} y hacemos la operación A U B, entonces tendremos como resultado: 

  • Operación Intersección

La operación intersección, tiene el símbolo “∩ “.  Cuando se utiliza la intersección entre 2 conjuntos, el resultado de la operación será únicamente aquellos elementos que existan en ambos conjuntos. Ejemplo:

Si tenemos al conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 10} y al conjunto B = {4, 5, 6, 7, 8 , 9, 10} y hacemos la operación A ∩ B 

Identificamos los elementos que existen en ambos conjuntos:

  • Operación Complemento

La operación complemento, tiene el símbolo “c“ o “ ’ ”.  La operación complemento se aplica a un solo conjunto, y se obtienen todos aquellos elementos que no pertenezcan al conjunto pero que sí pertenecen al Universo. Ejemplo:Si tenemos el Universo delimitado por U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y tenemos al conjunto A= {1,4,6,9}, al hacer la operación Ac, primero identificamos los elementos de A en el Universo:

al eliminarlos del U nos queda el complemento de A:

 {2 ,3 ,5, 7, 8, 10}

el resultado es todos los números que no pertenezcan al conjunto A, pero si al U, entonces Ac= {2, 3, 5, 7, 8, 10}

  • Operación Resta o Diferencia

La operación Resta o Diferencia, tiene el símbolo “ – “. La operación resta o diferencia se aplica de manera similar a lo que se usa en aritmética. De tal forma, que a los elementos que existan de B en A serán eliminado y solo quedarán el resto de los elementos de A. Ejemplo:

Si tenemos al conjunto A = {1, 2, 3 ,4 ,5, 10} y al conjunto B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y hacemos la operación A – B, identificamos que elementos de B existen en A

se observa que los elementos “4, 5, 10” existen en el conjunto B y por eso se tienen que eliminar del conjunto A

A= {1, 2, 3}

entonces el resultado sería:

A – B = {1,2,3}

2.2 Propiedades de los Conjuntos

Al igual que en la aritmética existen leyes, en la Teoría de Conjuntos existen sus propias leyes, la ley conmutativa, la ley asociativa y la ley distributiva.

  • Ley conmutativa, el orden en que se realicen la unión o la intersección de 2 conjuntos no afecta el resultado:
    • A U B = B U A
    • A ∩ B = B ∩ A
  • Ley asociativa, cuando se realice la unión o intersección de 3 conjuntos, el orden en que se realicen o se agrupen no afectan el resultado:
    • A U (B U C) = (A U B) U C = A U B U C 
    • A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ B ∩ C
  • Ley distributiva, cuando se realiza la unión o la intersección a una operación de conjuntos de intersección o unión respectivamente, esta se puede extender al interior de la operación de cada una de las operaciones de los conjuntos:
    • A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
    • A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

2.3 Ejemplos con operaciones de conjuntos.

Si el universo está delimitado por U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y tenemos los siguientes conjuntos declarados:

A= {1, 4, 6, 9, 10} B = {1, 4, 2, 5, 7, 3} C = {1, 2, 4, 6, 8, 10}   D= {1, 2, 3, 4, 5}

Obtenga los resultados de las siguientes operaciones:

  • A U B

Recordemos que, la unión son todos los elementos de ambos conjuntos por lo que:

A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10}

  • B ∩ C 

Recordemos que, la intersección son todos los elementos que son iguales en ambos conjuntos por lo que:

B ∩ C = {1, 2, 4}

  • Cc

Recordemos que, en el complemento, son todos los elementos del Universo y que no pertenezcan a C por lo que:Cc = {3, 5, 7, 9}

  • (B ∩ D) U (A ∩ C) ∩ Ac 

Para realizar este tipo de ejercicios, primeramente, debemos de realizar cada una de las operaciones por conjunto,

B ∩ D = {1, 2, 3, 4, 5}

A ∩ C = {1, 4, 6, 10}

ahora realizamos la Unión de los anteriores

(B ∩ D) U (A ∩ C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10}

falta Ac = {2, 3, 5, 7, 8}

con los conjuntos podemos realizar la última operación

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10} ∩ {2, 3, 5, 7, 8}(B ∩ D) U (A ∩ C) ∩ Ac = {2, 3, 5}

Conclusión

Felicidades has concluido la segunda clase del micro curso Teoría de Conjuntos. En esta clase se revisó que los conjuntos tienen operaciones aritméticas similares a la “suma, resta, multiplicación y división”, sin embargo, en los conjuntos se tiene “unión, intersección, resta, complemento y subconjunto”.  

Las operaciones nos permiten ver cómo los conjuntos se pueden relacionar entre sí, y como los elementos de los conjuntos pueden existir en varios conjuntos a la vez.

La unión nos permite fusionar conjuntos, como en el ejemplo de la ropa, la ropa blanca con la clara o la intersección que nos permite enlazar a un par de conjuntos, igual que en el caso anterior, puede ser una ropa de color oscura y que se decolora a la vez, entonces la intersección nos permite hacer enlaces entre conjuntos.

Por otro lado, el complemento nos permite entender que lo que se encuentra fuera de nuestro conjunto pero que pertenece al Universo. Por último, la resta, nos permite obtener elementos innecesarios de un conjunto y quedarnos únicamente con lo que tenemos, por mencionar un ejemplo de una caja de frutas se tiene manzanas y 2 limones que están por accidentes, bueno la resta de conjuntos sería al conjunto de frutas quitar los limones, eso significa que nos queda una caja de manzanas.

Es así como al igual que los conjuntos que están en nuestra vida cotidiana, las operaciones de conjuntos las seguimos haciendo sin saber que las hacemos. En esta clase se vio que las operaciones tienen una simbología y términos matemáticos que nos permiten no solo hacerlo con objetos de la vida diaria sino también con números y con cosas abstractas.

Te invito a que sigas con este entusiasmo y sigamos aprendiendo más sobre los Conjuntos. ¡Nos vemos en la siguiente clase!

Fuentes de información

  • Fundamentos de Matemáticos (Silva & Lazo, 2008) Libro de Fundamentos de Matemáticas en su primer capítulo, ofrece una visión sobre conjuntos ejemplos y ejercicios. Fundamentos de Matemáticos (Silva & Lazo, 2008.
  • Libro de Álgebra en su primer capítulo, ofrece una visión sobre conjuntos ejemplos y ejercicios.
  • Curso en Línea: GCF Global. (s.f.). Introducción a los conjuntos. Obtenido de https://edu.gcfglobal.org/es/los-conjuntos/ (GCF Global, s.f.) El curso en línea te permitirá ver otro enfoque los conjuntos mediante diapositivas, así mismo trae ejemplos y algunos ejercicios.
  • Sitio Web, Operaciones Entre Conjuntos por Sergio Cohaguia (Cohaguia, 2022). En este sitio web, podrás encontrar otra explicación sobre las operaciones de conjuntos.
  • Video Operaciones con conjuntos | Operaciones combinadas Ejemplo 1 (Gómez, Operaciones con conjuntos | Operaciones combinadas Ejemplo 1, 2018). En el siguiente video, podrás encontrar explicaciones de ejercicios con operaciones con conjuntos.
  • Video, Operaciones con conjuntos | Operaciones combinadas Ejemplo 2 (Gómez, Operaciones con conjuntos | Operaciones combinadas Ejemplo 2, 2018). En el siguiente video, podrás encontrar más explicaciones de ejercicios con operaciones con conjuntos.
  • Video, Operaciones con Conjuntos (Gallego, Operaciones con Conjuntos -Video 1, 2023). En el siguiente video, podrás encontrar más explicaciones de ejercicios con operaciones con conjuntos.