Diagramas de Venn
Introducción
¡Hola!, Bienvenido al micro curso Teoría de Conjuntos Clase 3 Diagramas de Venn
Anteriormente hemos visto cómo se declaran los conjuntos, de forma numerada o por compresión, así mismo, ya conocemos las operaciones entre los conjuntos “la unión, intersección, complemento y diferencia”. Siguiendo con nuestro tema de estudio en la Teoría de Conjuntos, vamos a descubrir que los conjuntos y sus operaciones las podemos representar de forma gráfica, a esto se le conoce como Diagramas de Venn. Esta representación gráfica facilita el entendimiento de los conjuntos y sus operaciones, en palabras coloquiales “una imagen vale más que mil palabras”.
Los Diagramas de Venn se llaman así en honor a su creador John Venn. John Venn fue un británico que se dedicó al estudio de las matemáticas y filosofía. En 1880 John Venn presentó su trabajo “De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos” introducción por primera vez el concepto de diagramas (Lucidchart, s.f.).
Los Diagramas se representan mediante círculos o elipses a los conjuntos traslapándose unos sobre otros lo que nos permite visualizar de manera gráfica las operaciones de los conjuntos. Sin embargo, debido a las limitaciones de los diseños, es posible que más de 6 o 7 conjuntos diferentes y que todos interactúen entre todos ellos puede llegar a ser una representación gráfica complicada o saturada de líneas que dificulte el uso de los diagramas.
En esta tercera clase de nuestro micro curso Teoría de Conjuntos nos enfocaremos en los diagramas de Venn, en cómo se representan los conjuntos y las operaciones de conjuntos. Por último, resolveremos algunos ejemplos abstractos del uso de los diagramas de Venn en la resolución de problemas.
Bueno, es tiempo de adentrarnos en nuestro estudio, ¡empecemos!
Desarrollo del tema
3.1 ¿Qué son los Diagramas de Venn?
Los Diagramas de Venn fueron creados por John Venn en 1880, siguiendo, evolucionando hasta lo que hoy se les conoce. Estos diagramas no solo se usan en los conjuntos, también se utilizan en otros ámbitos de las Matemáticas como la Probabilidad y en otras áreas del conocimiento como la Lógica.
En la teoría de conjuntos, los Diagramas de Venn son usados para resolver operaciones de conjuntos con 2, 3 o 4 conjuntos de manera muy sencilla. Para empezar, debemos primero definir ciertos conceptos gráficos, partiendo primero, de la forma en que se representa el Universo, luego un conjunto, por último los elementos. Posteriormente veremos cómo se representan las operaciones con los conjuntos.
3.2 Partes de un Diagrama de Venn
En un Diagrama de Venn existen 3 partes fundamentales para representarlos:
- Universo
Dentro de un Diagrama de Venn es necesario tener la referencia máxima de los conjuntos, la cual está representada por el Universo. Gráficamente el Universo se representa como un rectángulo, que contendrá a su vez a todos los conjuntos que existan en este Universo.
Figura 1. Representación del universo, Fuente: Elaboración propia.
El tamaño del rectángulo dependerá de la cantidad de conjuntos y/o operaciones que estos tengan entre sí.
- Conjunto
El conjunto es la representación más importante en los Diagramas Venn, en algunas ocasiones el Universo puede llegar a ser omitido si las operaciones lo permiten, pero los conjuntos no. Los conjuntos se representan de manera gráfica mediante un círculo o una elipse.
Figura 2. Representación de Conjuntos, Fuente: Elaboración propia.
Al igual que el universo, el tamaño del círculo o de la elipse dependerá de la cantidad de los elementos que existan en el conjunto.
- Elementos
Los elementos pueden ser representados de manera enumerada o por compresión, además en los Diagramas de Venn existe otra forma que se le denomina Cardinalidad. La Cardinalidad se refiere a la cantidad de elementos que existen en el conjunto y que esto será de mucha utilidad al momento de realizar la solución de problemas mediante el uso de los Diagramas de Venn. Por lo anterior, teniendo como ejemplo el conjunto A, A = {números primos del 1 al 10}, podemos representar un conjunto y sus elementos de la siguiente forma:
Figura 3. Representación de los elementos de los conjuntos. Fuente: Elaboración propia.
3.3 Operaciones con Diagramas de Venn
Una vez que se tiene el conocimiento de cómo se representan los conjuntos mediante los Diagramas de Venn, ahora es tiempo de comprender cómo se realizan las operaciones, de igual manera que se explicó los elementos en un diagrama, a continuación, describiremos cómo realizada cada una de las operaciones de conjuntos, teniendo en cuenta 2, 3, y 4 conjuntos como ejemplo.
Las áreas coloreadas representan la solución de la operación de conjuntos
- Operación Unión
En la operación unión, se juntan todos los elementos de cada uno de los conjuntos:
Tabla 1. Operaciones con conjuntos, Unión. Fuente propia.
- Operación Intersección
En la operación de la intersección, solo son las áreas en común de los conjuntos, aquí en la opción de 2 conjuntos es la única respuesta, pero entra más conjuntos allá puede variar dependiendo entre quienes se realicen la operación.
Tabla 2. Operaciones con conjuntos, Intersección. Fuente. Elaboración propia.
- Operación Diferencia o Resta
La operación diferencia o resta, le quitamos a un conjunto lo que existe en ambos, lo cual nos quedaría lo siguiente:
Tabla 3. Operaciones con conjuntos, Resta, Fuente: Elaboración propia.
- Operación Complemento
En la operación complemento, es todo aquello que está afuera del conjunto enunciado, tenemos:
Tabla 4. Operaciones con conjuntos, Complemento, Fuente: Elaboración propia.
3.4 Ejemplos de Diagramas de Venn
A continuación, realizaremos un ejemplo de un ejercicio con 3 conjuntos, usando varias operaciones y realizando varios diagramas para llegar al resultado.
- (Ac – B) ∩ C
Respetando las reglas de los paréntesis, primero realizaremos la operación de Ac – B, por lo que tenemos que hacer el diagrama para Ac, se tiene:
en seguida le demos de resta B al diagrama anterior, eso quiere decir que todo el conjunto B, debe de quitarse del área sombreada, por lo que se tiene:
Donde la figura 6, muestra la solución al ejercicio (Ac – B) ∩ C
Conclusión
Felicidades has concluido la tercera clase del micro curso Teoría de Conjuntos. En esta clase se revisó que los Diagramas de Venn son una representación gráfica de los conjuntos y sus operaciones.
Mediante los Diagramas de Venn, es posible visualizar y comprender cómo los conjuntos como se representan y cómo estos se pueden relacionar entre sí. Por lo anterior, gracias a los diagramas, se facilita el entender cómo llegar a la solución de operaciones de conjuntos cuando se utilizan todas las operaciones de conjuntos en un solo ejercicio.
La práctica continua en los Diagramas de Venn, permite desarrollar habilidades de percepción y pensamiento abstracto, debido a que mientras, más se practique los Diagramas de Venn, podrás realizar cada vez más operaciones sin la necesidad de estar realizando diagramas intermedios, de esta manera, muchos de los ejercicios podrás realizar directamente colorear el área del diagrama con el cual llegarás a una solución gráfica de los ejercicios de conjuntos.
Sin embargo, realizar Diagramas de Venn con más de 5 conjuntos y que estos tengan todas las posibles relaciones entre sí, llegan a ser complicados de dibujar y entender. No obstante, gracias a herramientas digitales estos diagramas pueden ser elaborados de forma rápida y sencilla, quitando el problema que representa realizarlo en una hoja o un pizarrón.
Por último, se revisó el concepto de cardinalidad, que enumera la cantidad de elementos que contiene un conjunto. Este punto junto con los Diagramas de Venn nos darán todas las herramientas necesarias para realizar la solución de problemas de estadística, de lógica y otras áreas mediante el uso de la Teoría de Conjuntos.
Te invito a que sigas con este entusiasmo y sigamos aprendiendo más sobre los Conjuntos. ¡Nos vemos en la siguiente clase!
Fuentes de información
- Fundamentos de Matemáticos (Silva & Lazo, 2008). El Libro de Fundamentos de Matemáticas en su primer capítulo, ofrece una visión sobre conjuntos ejemplos y ejercicios.
- Álgebra (Bello, 2006) Libro de Álgebra en su primer capítulo, ofrece una visión sobre conjuntos ejemplos y ejercicios.
- El curso en línea te permitirá ver otro enfoque los conjuntos mediante diapositivas, así mismo trae ejemplos y algunos ejercicios.
- Sitio Web, Diagramas de Venn con 3 Conjuntos Ejercicios Resueltos (matematicasn.blogspot.com) Sitio Web, como lo dice el nombre, ejemplos y ejercicios de los diagramas de Venn con 3 conjuntos.
- Video, Operaciones con Conjuntos-Video 1 (Gallego, Operaciones con Conjuntos -Video 1, 2023) Video explicativo de operaciones de conjuntos con Diagramas de Venn.
- Video, Operaciones con Conjuntos -Video 2 (Gallego, Operaciones con Conjuntos – Video 2, 2023). Video explicativo de operaciones de conjuntos con Diagramas de Venn.
- Presentación, Aplicación de Diagramas de Venn para resolución de problemas. (Torres, 24) En esta presentación digital, se explicará las operaciones de conjuntos, Diagramas de Venn mediante el uso objetos cotidianos.