Resolución de problemas con conjuntos
Introducción
¡Bienvenid@ a la clase 4 del microcurso «Teoría de Conjuntos: Resolución de Problemas» en el programa educativo de Artes Digitales!
Hemos recorrido un emocionante camino hasta llegar a esta última clase, donde consolidaremos nuestros conocimientos sobre la Teoría de Conjuntos y su aplicabilidad en nuestra vida cotidiana y en el campo de las Artes Digitales. A lo largo de este microcurso, hemos descubierto cómo los conjuntos están presentes en numerosos aspectos de nuestra vida, permitiéndonos clasificar, ordenar y separar una amplia gama de objetos, así como realizar operaciones que generan nuevos conjuntos.
En las clases previas, hemos explorado la declaración de conjuntos, la simbología que los representa y las operaciones que pueden llevarse a cabo con ellos. Además, hemos aprendido a visualizar conjuntos de manera gráfica mediante los Diagramas de Venn.
Ahora, en esta última clase, daremos un paso más allá al aplicar nuestros conocimientos a través de la resolución de problemas con la Teoría de Conjuntos. Comenzaremos con ejercicios de repaso sobre las operaciones de conjuntos, seguidos de la solución de problemas utilizando Diagramas de Venn. Finalmente, nos sumergiremos en ejercicios prácticos que aplicarán todos los conceptos adquiridos a lo largo del curso.
Es importante destacar que la Teoría de Conjuntos no solo es valiosa en sí misma, sino que también sienta las bases para el desarrollo de habilidades que se extienden a otras áreas de las matemáticas, como la Probabilidad y la Estadística, fortalecen el pensamiento lógico y encuentran aplicación en la programación de computadoras.
Estamos listos para adentrarnos en esta última etapa de aprendizaje. ¡Comencemos!
Desarrollo del tema
4.1 Recomendaciones para resolver problemas con teoría de conjuntos
Cuando nos enfrentamos a la resolución de problemas mediante el uso de la Teoría de Conjuntos, no existe una fórmula mágica o un procedimiento único para abordarlos. Sin embargo, podemos seguir algunas recomendaciones que nos ayudarán a encaminarnos hacia la solución adecuada.
a) Declaración de conjuntos
Es fundamental comenzar por identificar los posibles conjuntos presentes en el problema y definir claramente cuál es el «Universo» dentro del cual se desarrolla el problema. Esta identificación nos proporcionará una base sólida para abordar el problema.
b) Operaciones de Conjuntos
Una vez que hemos definido los conjuntos involucrados, es importante buscar indicios en el problema que nos señalen las posibles relaciones entre ellos. Estas relaciones pueden incluir uniones, intersecciones, complementos o diferencias entre conjuntos. Identificar estas operaciones es esencial para avanzar en la resolución.
c) Diagramas de Venn
En algunos casos, el problema puede proporcionar información suficiente para crear un Diagrama de Venn que represente gráficamente las relaciones entre los conjuntos. Los Diagramas de Venn son herramientas útiles para visualizar y comprender mejor la situación.
d) Cardinalidad
En esta última recomendación, es importante conocer cuál es la cardinalidad de un conjunto, recordando que la cardinalidad de un conjunto se refiere a la cantidad de elementos que existen en él. Además, la cardinalidad se puede aplicar a las operaciones que existen entre los conjuntos, de esta forma podríamos decir que en A U B existen 30 elementos.
A continuación, resolveremos problemas que serán resueltos mediante la teoría de conjuntos haciendo uso de las recomendaciones listadas.
4.2 Ejercicio 1
En la cocina de un restaurante, existen utensilios como tenedores, cuchillos y cucharas. El equipo de lavado de utensilios informó que lavaron 150 tenedores, 120 cuchillos y 200 cucharas. Por otro lado, el equipo de almacenamiento reportó que en el almacén existen 350 tenedores, 100 cuchillos y 300 cucharas. Debemos resolver varias cuestiones:
a) ¿Cuántos conjuntos están presentes en este problema?
b) ¿Cuál es la cardinalidad del Universo?
c) ¿Cuántos utensilios han sido lavados?
d) Representa este problema mediante un Diagrama de Venn.
Solución:
Observemos el problema para identificar los conjuntos:
A = {tenedores}
B = {cuchillos}
C = {cucharas}
Al igual que nuestro Universo estaría declarado por:
U = {Utensilios de cocina}
Siguiendo con nuestra lectura, se observa que existen 2 situaciones con los utensilios: los lavados y los que se encuentran en el almacén por lo anterior podríamos crear un cuarto conjunto:
D = {utensilios lavados}
Con los conjuntos declarados y revisando el texto del problema podemos encontrar que existen varias operaciones entre conjuntos:
A ∩ D = {tenedores lavados}
B ∩ D = {cuchillos lavados}
A ∩ D = {cucharas lavadas}
Con la información anterior podemos deducir que nuestro diagrama de Venn quedaría de la siguiente manera.
Figura 1. Diagrama de conjuntos, Fuente Elaboración propia.
Anexando las operaciones
Figura 2. Diagrama de Venn con operaciones de conjuntos. Fuente: Elaboración propia.
Obtenemos la cardinalidad de cada conjunto y operación
#A ∩ D = Tenedores lavados = 150
#B ∩ D = Cuchillos lavados = 120
#C ∩ D = Cuchillos lavados = 200
Por otro lado, se tiene que el conjunto A este compuesto por los tenedores lavados y los tenedores guardados, y sabemos cuáles son los que están entre el conjunto A y D que son los tenedores lavados, por lo que los tenedores lavados son el resto del conjunto A, lo mismo aplica para los conjuntos B y C, por lo que se tiene:
#A = {tenedores lavados más tenedores guardados} = 150+350 = 500
#B = {cuchillos lavados más cuchillos guardados} = 120+100 = 220
#C = {cucharas lavados más cucharas guardadas} = 200+300 = 500
#D = {tenedores lavados + cuchillos lavados + cucharas lavadas} =
= #A ∩ D + #B ∩ D+ #C ∩ D = 150+120+200=470
#U = {#A+ #B + #C} = 500+220+500=1220
Con los datos anteriores, podemos poner el diagrama de Venn de la siguiente manera:
Con estos datos ya podemos resolver cada uno de los incisos del problema.
- Existen 4 conjuntos
- Total de utensilios o #U = 1220
- Número de elementos del conjunto D o #D=470
- El diagrama de Venn de la Figura 3
4.3 Ejercicio 2
En un aula, hay un cierto número de alumnos que estudian Matemáticas, Física y Química. Tenemos la siguiente información:
- 50 estudian Matemáticas
- 50 estudian Física
- 50 estudian Química
- 38 estudian Matemáticas y Física
- 40 estudian Matemáticas y Química
- 35 estudian Física y Química
- 28 las 3 asignaturas
Contestar:
- ¿Cuántos alumnos hay en total?
- ¿Cuántos Matemáticas y Física, pero no Química?
- ¿Cuántos estudian nada más Química?
Solución:
Encontramos los conjuntos:
U = número total de alumnos
M = {alumnos que estudian matemáticas}
F = {alumnos que estudian Física}
Q = {alumnos que estudian Química}
Buscamos las operaciones:
- Alumnos que estudian Matemáticas y Física = M ∩ F
- Alumnos que estudian Matemáticas y Química = M ∩ F
- Alumnos que estudian Química y Física = F ∩ Q
- Alumnos que estudian las 3 materias = M ∩ F ∩ Q
A diferencia el ejercicio anterior, podemos ver que los 3 conjuntos tienen relaciones entre sí, por lo que nuestro diagrama de Venn queda de la siguiente manera:
Figura 4. Diagrama de Venn ejercicio 2. Fuente Elaboración propia.
Obtenemos la cardinalidad de los conjuntos y operaciones:
#M = 50
#F = 50
#Q =50
#M ∩ F =38
# M ∩ Q = 40
#Q ∩ F = 35
#M ∩ F ∩ Q = 28
En cada uno de los conjuntos existen 4 áreas, donde el estudiante solo estudia la materia, cuando cursa otra materia (2 áreas) y donde cursa todas las materias:
Figura 5. Partes del conjunto M y sus secciones. Fuente: Elaboración propia.
Lo que nos permite deducir la cardinalidad de cada área de la siguiente manera:
#De Matemáticas y Física, pero no Química = #M ∩ F -#M ∩ F ∩ Q =38- 28 =10
#De Matemáticas y Química, pero no Física = #M ∩ Q -#M ∩ F ∩ Q =40- 28 =12
#De Física y Química, pero no Matemáticas = #F ∩ Q -#M ∩ F ∩ Q =35- 28 =7
Por lo anterior entonces los que solo estudian Matemáticas, serían:
#Solo Matemáticas=
#M – (#M ∩ F -#M ∩ F ∩ Q )- (#M ∩ F -#M ∩ F ∩ Q) – (#M ∩ F ∩ Q)
#Solo Matemáticas = 50 – ( 38 – 28 ) – ( 40 – 28 ) – 28 = 0
Repetimos el proceso para Física y Química:
#Solo Física=
#F – (#M ∩ F -#M ∩ F ∩ Q )- (#F ∩ Q -#M ∩ F ∩ Q) – (#M ∩ F ∩ Q)
#Solo Física = 50 – ( 38 – 28 ) – ( 35 – 28 ) – 28 = 5
#Solo Química=
#F – (#M ∩ Q -#M ∩ F ∩ Q )- (#F ∩ Q -#M ∩ F ∩ Q) – (#M ∩ F ∩ Q)
#Solo Física = 50 – ( 40 – 28 ) – ( 35 – 28 ) – 28 = 3
Con todos los datos anteriores, tenemos nuestro diagrama de Venn de la siguiente forma:
Con toda la información, realizaremos las soluciones de los incisos:
- ¿Cuántos alumnos hay en total?
Para resolver este inciso, debemos de sumar todos los estudiantes de cada una de las áreas
Total de alumnos = 0 + 10 + 28 + 12 + 5 + 7 + 3 = 65
- ¿Cuántos Matemáticas y Física, pero no Química?
Localizamos el área donde los estudiantes estudian Matemáticas y Física, pero no Química, que es igual a 10.
- ¿Cuántos estudian nada más Química?
Localizamos el área donde solamente los alumnos cursan Matemáticas, que es igual a 3.
Conclusión
¡Felicidades! Has completado con éxito la última clase del microcurso de Teoría de Conjuntos. A lo largo de este curso, hemos explorado el fascinante mundo de los conjuntos y cómo desempeñan un papel crucial en nuestra vida cotidiana y en diversas áreas de las matemáticas y la lógica.
Hemos aprendido que los conjuntos son fundamentales para organizar, clasificar y ordenar objetos, y que estas operaciones son parte integral de nuestra rutina diaria, desde la infancia hasta la vida adulta. Además, hemos descubierto que los conjuntos no solo se utilizan para agrupar elementos, sino que también son la base de operaciones matemáticas esenciales que nos permiten resolver una variedad de problemas.
Durante el curso, hemos explorado cómo declarar conjuntos utilizando enumeración y compresión, lo que nos brinda flexibilidad para describir conjuntos de diferentes tamaños y complejidades. Además, hemos profundizado en las operaciones de conjuntos, como la unión, la intersección, el complemento y la diferencia, que son herramientas poderosas para analizar y resolver problemas.
No podemos olvidar los Diagramas de Venn, que nos proporcionan una representación visual efectiva de las relaciones entre conjuntos y operaciones. Estos diagramas nos han ayudado a comprender mejor conceptos abstractos y a visualizar problemas de manera clara.
En la última clase, pusimos en práctica todo lo que hemos aprendido al resolver problemas con la Teoría de Conjuntos. Esta habilidad no solo es valiosa en sí misma, sino que también te prepara para abordar desafíos en áreas relacionadas como la Probabilidad, la Estadística, la Lógica y la Programación.
Agradecemos tu entusiasmo y dedicación a lo largo de este curso. Esperamos que hayas adquirido un conjunto sólido de habilidades y conocimientos que te servirán en tu viaje académico y profesional. ¡Hasta pronto y sigue explorando el apasionante mundo de las matemáticas y la lógica!
Fuentes de información
- Fundamentos de Matemáticos (Silva & Lazo, 2008). Libro de Fundamentos de Matemáticas en su primer capítulo, ofrece una visión sobre conjuntos ejemplos y ejercicios.
- Álgebra (Bello, 2006). Libro de Álgebra en su primer capítulo, ofrece una visión sobre conjuntos ejemplos y ejercicios.
- Curso en Línea: GCF Global. (s.f.). Introducción a los conjuntos. Obtenido de https://edu.gcfglobal.org/es/los-conjuntos/ (GCF Global, s.f.) El curso en línea te permitirá ver otro enfoque los conjuntos mediante diapositivas, así mismo trae ejemplos y algunos ejercicios.
- Video, Solución de problemas con Conjuntos | Ejemplo 1 (Gómez, Solución de problemas con Conjuntos | Ejemplo 1, 2018) Video, resolviendo ejercicios con la teoría de conjuntos.
- Video, Solución de problemas con Conjuntos | Ejemplo 1 (Gómez, Solución de problemas con Conjuntos | Ejemplo 1, 2018). Video, resolviendo ejercicios con la teoría de conjuntos.
- Video, Solución de problemas con Conjuntos | Ejemplo 2 (Gómez, Solución de problemas con Conjuntos | Ejemplo 2, 2018). Video, resolviendo ejercicios con la teoría de conjuntos.
- Video, Solución de problemas con Conjuntos | Ejemplo 3 (Gómez, Solución de problemas con Conjuntos | Ejemplo 3, 2018) Video, resolviendo ejercicios con la teoría de conjuntos.
- Video, Solución de problemas con Conjuntos | Ejemplo 4 (Gómez, Solución de problemas con Conjuntos | Ejemplo 4, 2018. Video, resolviendo ejercicios con la teoría de conjuntos.