Clase digital 1: Números reales y desigualdades / Funciones, composición de funciones y funciones inversas / Dominio y Contradominio / Representación gráfica

Números reales y desigualdades / Funciones, composición de funciones y funciones inversas / Dominio y Contradominio / Representación gráfica

Presentación del tema

En matemáticas existe un conjunto de números con los que trabajamos para la resolución de problemas, conoceremos como es que se clasifican y sus características. Para el planteamiento de problemas hacemos uso de las ecuaciones, pero existen relaciones de valores que al compararlos cumplen una condición determinada, a los que llamamos desigualdades, las cuales nos ayudarán a obtener los valores en los que existen la gráfica de funciones, lo cual se determina dominio, valores del conjunto x, y rango, valores del conjunto y, de una función, con la obtención de estos conjuntos por medio de la función nos permite tener una representación del comportamiento de la gráfica, sin la necesidad de tabular. Por lo que es primordial identificar la diferencia entre ecuación y función, debido a que las funciones poseen propiedades que las hacen únicas y que permiten el estudio del cálculo diferencial. 

Una vez que se han identificado las propiedades de las funciones y su obtención del dominio y rango, realizaremos operaciones con funciones y la composición de funciones, las cuales nos ayudarán al planteamiento de problemas para su solución.

Por último, si podemos plantear funciones para resolver problemas, podemos hacer el proceso inverso, la obtención de funciones inversas.

Objetivos didácticos de la clase

• Identificar y conocer el conjunto y subconjuntos de los números reales; resolución de desigualdades.
• Identificar funciones, tipos de funciones, realizar operaciones y composición de funciones, plantear funciones inversas.
• Obtener dominio y rango de una función y su representación gráfica.

Contenido didáctico

Presentación de los contenidos

En matemáticas cuando hablamos de los números reales, estamos hablando del conjunto de números que nos han acompañado a lo largo de todo nuestro estudio, los números reales (R) se dividen en racionales (Q) e irracionales (I); los racionales (Q) a su vez se contiene el conjunto de Enteros (Z) y éste a los Naturales (N).

Las desigualdades relacionan dos expresiones algebraicas que cumplen una condición, cuyo objetivo es mostrar que éstas expresiones poseen valores diferentes. Para dar condiciones entre éstas, tenemos los signos de desigualdad los cuales son: 

• < Menor que
• > Mayor que
• ≤ Menor o igual que
• ≥ Mayor o igual que
• ≠ Diferente o desigual a

En esta lección analizaremos los conjuntos de números reales y la resolución de desigualdades.

Como definición de función tenemos que por cada elemento del conjunto x le corresponde uno y solo un elemento del conjunto y. Por ejemplo y=x² es una función debido a que por cada x que se le asigne, nos arrojará un elemento y, sin embargo y=x², no es una función, es una ecuación, debido a que  al despejar tenemos y=±√ x, por lo que por cada valor que se le asigne a x tendremos dos valores para y.

Las operaciones que pueden aplicarse a las funciones son, al igual que las ecuaciones, todas las que hemos trabajo a lo largo de nuestra academia: adición, sustracción, producto, cociente, potencia y radical, cada una de estas operaciones formará una expresión algebraica con gráfica única. En caso de poseer alguna restricción, ésta se respeta a lo largo de todo el procedimiento de operaciones. 

Componer una función, consiste en sustituir en cada variable de la primera función, la segunda función. Se denota por f o g, lo que se lee como: “f que contiene a g”, “g contenida en f” Por ejemplo f(x) = x²+3x y g(x) = √x, obtener f o g.

f o g (x) = (√x)²+3(√x) = x+3√x

Las funciones inversas son requeridas para conocer la proporcionalidad existente para algún fenómeno en específico. Existe una condición para conocer si una función tiene inversa, se dice que si la función es inyectiva (a distintos elementos del conjunto x les corresponden distintos elementos del conjunto y) podemos encontrar su inversa. El procedimiento para encontrar su inversa consiste en cambiar las variables x por y y viceversa, después debemos despejar y mediante métodos matemáticos. 

Para obtener estos valores en los que se encuentra la gráfica de la función es necesario comenzar con el dominio o valores en x. 

Las funciones pueden o no, tener restricciones, las cuales son raíces pares o cocientes, en donde no podemos tener raíces pares negativas (porque estamos trabajando con los números reales) y no podemos obtener un denominador cero en el cociente porque es indeterminado. Cuidando estas dos condiciones podemos encontrar el dominio de la función. Por ejemplo: f(x) = √x+3, dado que tenemos un radical par su complemento no puede ser negativo, entonces x+3≥0, despejando x por medio de desigualdades: x≥-3, lo que nos indica que x debe ser mayor o igual a -3 para que la condición del radical se cumpla, entonces tenemos que el dominio de la función es Dx ∈ [-3 , +∞).

Para encontrar el contradominio, utilizaremos el dominio y observaremos de donde parte la función. Entonces ya sabemos que a partir de x=-3 la gráfica comienza, entonces para encontrar su par ordenado sustituimos en la función f(-3) = √-3+3 = 0. Por lo que el contradominio comienza en y=0 y dado que podemos dar infinitos números positivos a la función en x, nos resultará infinitos números en y y como una raíz siempre nos devolverá un número positivo, todos estos también lo serán, entonces, su contradominio será, Dy∈[0,+∞).

Muy similar sucede con el cociente, por ejemplo: f(x) = x+1 / x+2, tenemos una restricción, está es que el denominador no puede ser cero, entonces condicionamos x+2≠0, despejamos x≠-2 por lo tanto el único valor que no puede tomar la función será -2, su dominio es: Dx∈ (-∞,-2) U(-2,+∞) donde excluimos al -2, o dicho de otra forma Dx ∈R ≠-2 que se lee como “Dominio de x pertenece a los reales diferentes a -2”. Para su contradominio podemos realizar el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior, sustituir, en este caso, valores muy grandes para x tanto negativos como positivos y vemos que se acerca por los negativos y por los positivos a 1 sin tocarlo, y por otra parte números muy cercanos a -2 por derecha crece a -∞ y por izquierda a +∞ de tal modo que su contradominio será Dy = (-∞,1) U (1,+∞).

Por otro lado, el dominio de cualquier función polinomial son todos los reales. 

Para los diferentes tipos de operaciones y composición de funciones el dominio es la unión de las funciones en cuestión, respetando sus restricciones.

Ideas relevantes de la clase digital

1. Ahora conocemos e identificamos los números reales, podemos identificar las soluciones reales que podemos obtener en cada expresión algebraica
2. Como pudimos observar los casos de desigualdades son tan extensos como los tipos de ecuaciones. 
3. Con la resolución de inecuaciones podemos encontrar los valores que cumplen con dos expresiones algebraicas condicionadas, con lo que podemos encontrar el dominio de una función, tema que se verá en las siguientes sesiones.
4. Como se puede observar no todas las expresiones algebraicas son funciones, tienen que tener una correspondencia uno a uno el conjunto x con el conjunto y.
5. La composición de funciones consiste, principalmente en sustituir una función en todos los elementos x de otra función. 
6. Para obtener la inversa de una función es necesario intercambiar la variables y despejar, mediante métodos matemáticos, la variable y.
7. El dominio es el conjunto de valores en x para los cuales la función es válida
8. El contradominio o rango es el conjunto de valores en y para los cuales la función es válida.
9. El dominio de funciones resultantes de operaciones o funciones compuestas deben respetar el dominio de las funciones principales.