Límites: concepto, definición e interpretación geométrica / Límites infinitos / Limites laterales/ Continuidad: asíntotas vertical y horizontal/ Limites al infinito
Presentación del tema
Antes de adentrarnos en el concepto de derivada es necesario estudiar y determinar los límites de una función, con el propósito de conocer si es diferenciable en algún determinado valor a o no lo es, todo eso lo conocemos mediante límites. Al estudiar los límites es importante mencionar que no se estudia a la función evaluada en a, si no que se estudia sus aproximaciones conforme nos acercamos a dicho valor, dicho en otras palabras, los límites no se evalúan, se aproximan a a. Por otro lado también existen funciones cuyas aproximaciones resultan un poco complicadas de obtener, y por medio de métodos matemáticos buscamos otra función con comportamiento similar, que nos auxilie en la obtención de dichas aproximaciones.
También existen algunas funciones que al estudiarlas no se aproximan a ningún valor, es decir conforme más nos aproximamos a a los valores f(x) crecen o decrecen sin límite, es lo que conocemos como límites infinitos, los cuales solo nos hablan de un comportamiento de la función.
Para determinar la existencia de un límite y/o el comportamiento de una función estudiamos los límites laterales que son aproximaciones a a con valores a la izquierda o derecha de éste.
Para poder conocer la gráfica de la función, es necesario conocer sus asíntotas, si es que las tiene, ya sea vertical, horizontal y/u oblicua.
El conocer si una función toca todos y cada uno de sus puntos en el dominio lo que nos ayuda a conocer por medio de la continuidad.
Objetivos didácticos de la clase
- Definición, concepto e interpretación gráfica de límites.
- Determinar el comportamiento de los límites que tienden al infinito.
- Determinar la existencia de un límite por medio de sus límites laterales.
- Determinar la continuidad de una función.
- Determinar las asíntotas de la función.
Contenido didáctico
Presentación de los contenidos
Los límites es el estudio de las funciones mientras se aproximan a cualquier x a la que denominamos a. Al estar estudiando los límites de la función no nos interesamos en conocer qué pasa en a solo en sus aproximaciones. Para poder determinar el límite de una función tenemos a nuestro alcance una serie de teoremas, que veremos paso a paso.
Existen funciones para los cuales no se aproximan a un f(x) en específico conforme nos aproximamos a a, si no que tiende a valores infinitos conforme más nos acercamos a a, esto nos habla del comportamiento de la función y decimos que tiende a -∞ o +∞, estudiando sus laterales.
Para determinar si un límite existe o no, se requiere estudiar sus límites laterales. Para afirmar la existencia de un límite, los límites laterales deben de cumplir dos condiciones: 1) los límites laterales deben existir y 2) ambos deben ser iguales.
Para conocer la continuidad de una función la sometemos a tres condiciones:
f(a) existe
f(x) existe
f(a) = f(x)
Una función puede tener asíntota vertical y horizontal u oblicua. El procedimiento para determinar si existe una asíntota horizontal es someter a la función a al comportamiento infinito y observar a que y se aproxima. En caso de no contar con una asíntota horizontal podría tener una asíntota oblicua la cual encontramos su función por medio de la división sintética.
| Título | Sinopsis | Tipo de recurso | Enlace web de consulta |
|---|---|---|---|
| Cálculo diferencial e integral | Concepto de límites, representación geométrica, teoremas de límites. (Pp. 55 – 77) | Contenido textual | [Acceder] |
| Cálculo diferencial e integral | Determinación del comportamiento para los límites al infinito. (Pp. 79 – 88) | Contenido textual | [Acceder] |
| Cálculo Diferencial e integral | Determinación de continuidad de una función. | Contenido textual | [Acceder] |
| LÍMITES – Clase completa: explicación desde cero | el traductor | Definición gráfica del concepto de límite. (Min 1:04 – 16:45 ; 29:08 – 40:24 ; 1:00:42 – 1:13:22) | Contenido hipermediado | [Acceder] |
| Leyes y Propiedades de los límites – Ejercicios Resueltos | Teoremas de los límites. | Contenido hipermediado | [Acceder] |
| LÍMITES INFINITOS – Ejercicios 1, 2 y 3 | Determinación de límites infinitos. | Contenido hipermediado | [Acceder] |
| LÍMITES – Clase completa: explicación desde cero | el traductor | Existencia de un límite estudiando sus límites laterales. (Min 16:45 – 29:08) | Contenido hipermediado | [Acceder] |
| Límites Laterales – Ejercicios Resueltos | Estudio de límites laterales y la existencia del bilateral. | Contenido hipermediado | [Acceder] |
| Estudio de funciones: Dominio, continuidad, crecimiento, concavidad y más | El traductor. | Determinación de la continuidad de una función. (Min 10:00 – 29:08) | Contenido hipermediado | [Acceder] |
| Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas – Ejercicios resueltos. | Obtener las asíntotas de una función. | Contenido hipermediado | [Acceder] |
| Límites al infinito | ejemplo 3 | Determinación del comportamiento de la función cuando tiende al infinito. | Contenido hipermediado | [Acceder] |
| Límites: concepto, definición e interpretación geométrica./ Límites infinitos / Limites laterales/ Continuidad: asíntotas vertical y horizontal/ Limites al infinito. | Definición, concepto e interpretación grafica de límites. | Presentación | [Acceder] |
Ideas relevantes de la clase digital
- Al estudiar límites estudiamos sus aproximaciones a un valor x determinado.
- Los teoremas de límites nos ayudan a determinar con mayor facilidad las aproximaciones.
- Es importante enfatizar que el infinito es un comportamiento de la función.
- Para que el límite bilateral exista los límites laterales deben existir y ser iguales.
- Para determinar si una función es continua en todo su dominio debe cumplir tres condiciones: f(a) exista, que f(x), exista y que ambos sean iguales.
- Para conocer el comportamiento de la función se necesita obtener sus asíntotas.