Clase digital 1. Operaciones básicas con números enteros y fraccionarios

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Operaciones básicas con números enteros y fraccionarios

Introducción

En esta primera lección del «Curso de Nivelación en Matemáticas a Nivel Medio Superior,» nos sumergiremos en el mundo de las operaciones básicas, que incluyen la suma, resta, multiplicación y división de números enteros y racionales. Para comenzar, es esencial recordar que los números reales se dividen en diversos conjuntos, como los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Dentro del conjunto de números naturales «N,» se encuentra un subconjunto llamado «Z» que nos permite representar tanto cantidades positivas como negativas. Ejemplos de números enteros incluyen {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 …}.

Además, exploraremos los números racionales o fraccionarios, que son aquellos que se pueden expresar como el cociente de dos enteros con un denominador distinto de cero. Los números racionales son esenciales para expresar medidas y comparar cantidades. Al expresar un número racional no entero en forma decimal, obtenemos un número decimal exacto o un número decimal periódico. Por ejemplo, 7/5 se convierte en 1.2, un decimal exacto, mientras que 15/7 es igual a 2.142857.

Una vez que hemos refrescado nuestra memoria sobre estos tipos de números, profundizaremos en las propiedades necesarias para llevar a cabo operaciones aritméticas con números enteros. Esto incluirá el estudio de las propiedades de la suma, resta, multiplicación y división en este contexto.

Finalmente, aplicaremos estas propiedades en el contexto de los números racionales, abordando la suma, resta, multiplicación, división, simplificación y la expresión decimal. Estos conocimientos son fundamentales para comprender y trabajar con números en diferentes formatos y serán la base de nuestra exploración en las próximas lecciones. ¡Comencemos este emocionante viaje hacia el mundo de las matemáticas!

Desarrollo del tema

Elementos teóricos (saber)

Los números reales surgen a partir de la utilización de fracciones por parte de los egipcios hacia el año 1000 a.c. posteriormente llegaron los aportes de los griegos que proclamaron la existencia de los números irracionales. Los números reales son la unión de los números racionales e irracionales.

Es importante recordar las siguientes definiciones:

  • Conjunto de los números naturales: N= {1, 2, 3, . . .∞}.
  • Conjunto de los números enteros: Z= {∞…−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 …∞}
  • Conjunto de los números racionales: Q= {m/n, m, n ∈ Z, n ≠ 0}. Incluye a los números enteros y fraccionarios.
  • Conjunto de los números irracionales: Todos los números que no se pueden escribir como m/n, m, n ∈ Z, n ≠ 0
  • Conjunto de los números reales: R es la unión de los números racionales e irracionales. N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R.
  • Valor absoluto de un número real a que se denota como |a| es: |a| = { a si x ≥ 0 } y |a| = {−a si x < 0
  • Fracciones equivalentes: a/b y c /d son equivalentes si y solo si ad = bc.

Operaciones aritméticas para los números enteros

Para sumar dos números enteros de igual signo se suman los valores absolutos de dichos números y se pone el signo de los sumandos. Ejemplo:

sumar +3 +2 = +5
sumar -5 -9 = -14

Para sumar dos números enteros de distinto signo se restan los valores absolutos de dichos números y se pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. Ejemplo:

(+3) + (-2) = +1
(-9) + (+1) = -8

Para sumar números decimales y números fraccionarios con signo se pueden usar las dos reglas que acaban de aprender.

Para restar dos números enteros se suma al primero el opuesto del segundo. Ejemplo:

(+12) – (+7) = (+12) + op(+7) = (+12) + (–7) = +5
(–12) – (+7) = (–12) + op(+7) = (–12) + (–7) = –19

Para multiplicar dos números enteros se debe:

  1. Multiplicar sus valores absolutos
  2. Aplicar la ley de los signos siendo la siguiente

Para dividir dos números enteros se debe:

  1. Calcular el cociente de sus valores absolutos.
  2. Aplicar y asignar al resultado un signo mediante la siguiente regla:

Operaciones con números racionales

Al igual que con otros tipos de números, con el uso de fracciones también es posible realizar operaciones básicas como la adición, la sustracción y la multiplicación. Cada una de estas tiene un algoritmo que debe seguirse para su resolución, que dependerá en gran medida del tipo de fracciones utilizadas en las diferentes operaciones. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico; además en el sistema de numeración decimal se usan diez símbolos o cifras: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 llamados dígitos, es un sistema posicional porque el valor de cada dígito depende de la posición en la que se encuentre.

Para realizar la adición con números decimales en forma vertical, se procede igual que la adición con enteros, solo se requiere cuidar que todos los sumandos estén alineados a partir del punto decimal para identificar cada posición. Se suman décimos con décimos, centésimos con centésimos, y así sucesivamente.

Para restar números decimales se requiere cuidar la colocación de las cifras, si no hay la misma cantidad de cifras decimales se agregan ceros para igualarla. Posteriormente se restan y se baja el punto decimal.

Para resolver las multiplicaciones de números decimales se procede igual que las multiplicaciones de números enteros, y para colocar el punto decimal es sumando el número de cifras que hay a la derecha del punto decimal en el primer y segundo factor, y en el resultado poner esa cantidad de cifras decimales.

Para resolver la división con punto decimal, se transforma la división en otra que no tenga punto decimal en el divisor, esto se logra multiplicando el dividendo y el divisor por 10, 100, 1000…según el divisor tenga 1,2,3…, cifras decimales y posteriormente se resuelve.

Para sumar o restar dos o más fracciones que tienen diferente denominador se deben obtener fracciones equivalentes con denominador común y esto se logra calculando el mínimo común múltiplo (m.c.m) posterior a esto se procede a realizar la suma o resta.

Para multiplicar fracciones. Se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador. En la división de fracciones se debe realizar mediante la multiplicación del dividendo por el recíproco del divisor.

Cuando se tienen números mixtos y se debe sumar, restar, multiplicar o dividir , se puede hacer de dos formas:

  • Separando números enteros de fracciones, se realizan las operaciones y después estos resultados se deben sumar.
  • Otra forma es convertir las fracciones mixtas a fracciones impropias y posteriormente efectuar las operaciones correspondientes
Elementos procedimentales (saber hacer)

Iniciamos con el planteamiento de un problema, primero vamos a entender que es lo que buscamos de él y hacia dónde queremos llegar, para ello debemos apoyarnos en todo lo que se haya aprendido durante los ciclos escolares anteriores (conocimientos previos) que nos permitan entender el problema y quizá vislumbrar alguna vía de resolución, estos problemas se resolverán haciendo uso de las operaciones fundamentales como: la suma, resta, multiplicación y división de números enteros y racionales.

Para profundizar y enriquecer en la construcción de conocimientos, te invito a revisar los siguientes videos en los cuales se abordan los siguientes temas:

  • Entender la ley de los signos para la suma y resta así como el algoritmo para la realización de las operaciones.
  • Comprender la ley de los signos para la multiplicación y división de números enteros.
  • Conocer el algoritmo para la suma y resta de números fraccionarios y decimales

Para ejercitar los conocimientos, accede al siguiente enlace y realiza los ejercicios:

ACCEDE
Elementos actitudinales (valoración de las consecuencias de ese hacer)

Es momento de compartir con sus compañeros de clase los mecanismos que siguieron para comprender el planteamiento de los problemas, así como las operaciones necesarias que los llevaron a la solución de estas.

Para seguir practicando de manera constante los conocimientos adquiridos te invito a revisar el siguiente enlace.

ACCEDE

Conclusión

Hemos llegado al final de la lección ahora sabemos que los números enteros y racionales son importantes e indispensables para la solución de problemas de la vida cotidiana.

  • En lo que respecta a los números enteros, se recordó el algoritmo de la suma, resta, multiplicación y división de números enteros.
  • En los números decimales se revisó el procedimiento de solución de cada una de éstas y la importancia de colocar de manera correcta el punto decimal donde deba ir de acuerdo a la operación.
  • En el tema de fracciones, aprendimos que una fracción es un número que expresa una cantidad determinada de porciones que se toman de un todo dividido en partes iguales; que se representa con una barra oblicua u horizontal que separa al numerador del denominador.
  • También estudiamos el concepto de valor absoluto que es el valor numérico donde no se toma en cuenta el signo, ya sea positivo o negativo.
  • Para resolver sumas y restas de fracciones además del algoritmo, utilizamos el Mínimo Común múltiplo (m.c.m), obtención de fracciones equivalentes (simplificación de fracciones) y el valor absoluto de un número.
  • Para la multiplicación y división de fracciones se recordó como convertir fracciones mixtas a comunes, aplicación de las leyes de signos y el algoritmo que permite resolverlas.

Aprendimos a utilizar diversos recursos tecnológicos que refuerzan la comprensión hacia los temas estudiados.

Para finalizar la clase te invitamos a contestar el siguiente examen:

Fuentes de información