Clase digital 2. Introducción al álgebra

Introducción al álgebra

Introducción

Iniciamos la clase 2 del “curso de nivelación en matemáticas a Nivel Medio Superior” en esta clase retomaremos el empleo de los números enteros y leyes de los signos tema visto en la clase 1 e incluiremos el uso de literales, mismas que son importantes para lograr el manejo del lenguaje algebraico además de ser fundamental para el conocimiento y aplicación del álgebra, siendo uno de los temas centrales para continuar con el estudio de las matemáticas. En aritmética las cantidades se representan por números que indican valores determinados, a diferencia de álgebra las cantidades se estudian en forma general, utilizando cantidades representadas por símbolos que no solo son los números si no que se usan otros como las letras del alfabeto que pueden representar cualquier valor único.

Una letra representa cualquier valor porque dicho símbolo asumirá el valor que nosotros le asignemos, y es único porque dentro de un mismo problema esa letra no puede representar otro valor distinto al que le hemos asignado. (2020.) Manual de álgebra₂.

Por lo tanto en esta clase abordaremos el estudio del álgebra, que es la rama de las matemáticas que tiene por objeto de estudio la generalización del cálculo aritmético mediante expresiones compuestas de constantes (números) y variables (letras). Iniciaremos con la introducción al lenguaje algebraico, para continuar con la presentación de un término algebraico y sus componentes, términos semejantes, leyes de los signos, propiedades de los exponentes y finalmente con operaciones de polinomios.

Desarrollo del tema

Elementos teóricos (saber)

Se llama lenguaje algebraico, al conjunto de símbolos que permiten generalizar, homogeneizar y formular los cálculos de la aritmética. Gracias a la utilización de este sistema, se puede desarrollar la traducción de las expresiones del lenguaje coloquial a enunciados algebraicos, que a su vez contribuyen a la resolución de inconvenientes cotidianos.

En el lenguaje algebraico, se emplean todas las letras que forman parte del alfabeto romano o latino, a modo de regla general, las primeras letras se usan como constantes, mientras que las tres últimas (X / Y / Z) se usan como variables o incógnitas que dependen de la expresión o función. (2023,29 de junio)

El lenguaje algebraico nos permite estructurar diferentes operaciones, por ejemplo:

¿Qué es un término algebraico y las partes que lo componen?

Un término algebraico es el productos de un factor numérico por una o más variables literales, las partes que lo componen son:

• Coeficiente
• Exponente
• Signo
• Parte literal

• Los términos. Son términos semejantes si sus partes variable son iguales. En la expresión anterior 7 x³ – 3 x³ son términos semejantes. –14 x² , – 8 x y 9 son términos no semejantes.
• Los términos semejantes pueden ser sumados o restados usando la Propiedad distributiva.
• Los términos simétricos. Son aquellos que se encuentran a la misma distancia del cero pero en sentidos opuestos uno positivo y otro negativo. Ejemplo: – 5x² y +5 x².

Recordemos leyes de los Signos

Para las sumas y restas

• Si son signos iguales se suman y se pone el signo que tienen ambos.
• Si son signos diferentes, se restan y se pone el signo del mayor valor absoluto.

Para las multiplicaciones y divisiones

• Si los números que intervienen en la multiplicación o división tienen signos iguales, el signo del resultado será positivo, de lo contrario el resultado será negativo.

Propiedades de las potencias (propiedades de los exponentes)

En esta parte 𝑎 y 𝑏 denotan números reales; 𝑚 y 𝑛 denotan números enteros positivos. Primero daremos las definiciones de la potencia 𝑛 de 𝑎, 𝑎^𝑛, y enseguida las propiedades correspondientes.

Definición:
𝑎² = 𝑎 ∙ 𝑎, 𝑎³ = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 y, en general, si 𝑛 es un entero positivo , (donde la 𝑎 se multiplica a si misma
𝑛 veces). En 𝑎^𝑛, 𝑛 se llama exponente, 𝑎 es la base y 𝑎^𝑛 se denomina la potencia 𝑛 de 𝑎.

Monomios

Características

Las siguientes expresiones algebraicas:

Están formadas por el producto de un número y de una letra, reciben el nombre de monomios. Un monomio está formado por un coeficiente y por una parte literal.

Suma y resta

Observa que los monomios 12𝑥³ y 4𝑥³ tienen la misma parte literal. Reciben el nombre de monomios semejantes. Para sumar o restar monomios semejantes se suman o se restan los coeficientes y se deja la misma parte literal.

Si los monomios no son semejantes la suma o resta se deja indicada. Si una expresión algebraica está formada por monomios no todos ellos semejantes, únicamente se suman o restan los que son semejantes entre sí.

2x – x² + 3x = 5x -x²

Esta operación recibe el nombre de reducción de términos semejantes.

Multiplicación

Para multiplicar dos monomios se multiplican los coeficientes y se multiplican las partes literales.

  Se suman los exponentes

Para multiplicar un número por un monomio se multiplica el número por el coeficiente del monomio y se deja la misma parte literal.

Así, el resultado obtenido tanto al multiplicar dos monomios como al multiplicar un número por un monomio es un monomio.

Polinomios

Observa las siguientes expresiones algebraicas:

Todas las expresiones están formadas por sumas y/o restas de monomios.

Un polinomio es la suma de dos o más monomios no semejantes. Cada uno de estos monomios se llama término.

Suma y resta de polinomios

Para sumar dos polinomios, sumamos sus monomios semejantes y dejamos indicadas las sumas de los monomios no semejantes.

El opuesto de un polinomio es el resultante de cambiar los signos a todos sus coeficientes. Para restar dos polinomios, se suma al primero el opuesto del segundo.

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio del primer polinomio por cada uno de los monomios del otro y después se suman los términos semejantes.

Elementos procedimentales (saber hacer)

Como inicio de clase debes realizar el planteamiento y resolver el epitafio anterior a lo largo de la clase, utilizando las expresiones algebraicas.

Es considerado «el padre del álgebra» Diofanto de Alejandría, matemático griego aunque no se tiene certeza del periodo en que vivió, se estima que pudo ser (325-409 d.C.) nada se conoce con seguridad sobre su vida salvo la edad a la que falleció, gracias a este epitafio redactado en forma de problema y conservado en la antología griega.

«Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad.»

Te invito a que le des clic al siguiente enlace en el que puedes poner en practica el lenguaje algebraico.

Para conocer mas respecto a los términos algebraicos así como la suma y resta, observar el siguiente video titulado “Introducción al álgebra parte 1”.

Te invito a observaran el siguiente recurso audiovisual titulado “Introducción al álgebra parte 2” para saber más de la multiplicación y división algebraica.

Para ejercitar los conocimientos aprendidos, te invito a realizar diversos ejercicios en los siguientes enlaces.

Elementos actitudinales (valoración de las consecuencias de ese hacer)

Es momento de comparar los resultados y los procedimientos que utilizaron al resolver el epitafio de Diofanto e identificar que hay diferentes caminos para resolver un problema y entender que algunos son más directos que otros, se identificaran errores y se analizan de dónde pueden surgir: una operación mal efectuada, una lectura equivocada del problema o la aplicación de una técnica que no es adecuada para resolver el problema en cuestión. De esta manera, el error se convierte en una fuente de reflexión, análisis y aprendizaje.

Conclusión

Llegamos al final de la clase se resolvió el problema de Diofanto, así como otros problemas de la vida diaria donde se resuelven aplicando el álgebra, además de valorar que el álgebra es indispensable, ya que ésta es más que operaciones con letras y números, y puede estar tanto en las ganancias de una empresa (aplicación de las funciones exponenciales), como una pelota de béisbol lanzada (funciones trigonométricas), así como en una receta médica (ecuaciones e inecuaciones).

Para el uso del lenguaje algebraico entendimos que se utilizan las letras del abecedario en su forma minúscula (a,b,c,d,e,…,z), las primeras letras se usan para representar valores conocidos (variables) y las últimas letras se usan para representar valores desconocidos y se les llama incógnitas (x,y,z).

Aprendimos a identificar un término algebraico y las partes que lo integran, así mismo entender que cuando una expresión algebraica tiene un solo término se denomina monomio, dos términos algebraicos, binomio, tres términos trinomio y de dos o más términos se le denomina polinomio.

Cuando se tienen muchos términos es importante reducirlos para entender mejor la expresión por lo tanto, identificamos aquellos que sean semejantes (misma literal y el mismo exponente) para poder reducirlos realizamos las operaciones indicadas ya sea suma y/o resta, respetando y aplicando las leyes de los signos, comprendimos además que las operaciones se pueden realizar en forma vertical u horizontal y el resultado obtenido debe estar ordenado de acuerdo a sus literales y exponentes.

Se estudiaron las leyes de los exponentes pues son de utilidad para la realización de las operaciones. Realizaron otro tipo de operaciones (multiplicaciones) su algoritmo en las dos formas que se pueden efectuar (vertical u horizontal), de igual manera se aplicó la ley de los signos, y leyes de los exponentes. Aprendimos entonces a hacer todo tipo de operaciones algebraicas, siguiendo la estructura más adecuada y de acuerdo al número de términos.

Lo anterior te permitirá que puedas resolver problemas, además de entender conceptos y operaciones más complejas a Nivel Medio Superior, siendo esta una puerta de acceso a las matemáticas más avanzadas.

Para finalizar la clase te invitamos a contestar el siguiente examen:

Fuentes de información

• Manual de álgebra. (2020.) https://sitios.ucsc.cl/pace/wpcontent/uploads/sites/41/2020/03/ManualAlgebra.pdf
• Ibañez Carrasco Patricia. Matemáticas I Aritmética y álgebra . Ed. Cengage Learning. México, 2009.
• Aguilar Márquez Arturo, Álgebra cuarta edición. Ed. Pearson México, 2016.
• Oteyza de, Elena; et al. Álgebra. 3ª ed. Pearson educación. México, 2007.