Sistemas de ecuaciones lineales
Introducción
Hola!
Es un privilegio darte la bienvenida a tu primera clase digital del curso de “Álgebra Lineal” en donde aplicaremos diferentes herramientas matemáticas y aprenderemos a resolverlas adecuadamente. Espero que te mantengas con mucho ánimo y disfrutes este curso preparado para ti.
Aprenderás que muchos procesos de la vida práctica dependen de varias variables. Cuando los procesos dependen de variables elevadas a la primera potencia se pueden representar a través de un conjunto de ecuaciones de primer orden conocido como sistema de ecuaciones lineales.
En esta clase digital presentamos los principales métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método gráfico, sustitución, igualación, suma y resta, regla de Cramer, Gauss y Gauss-Jordan. También analizamos los tipos de soluciones y la clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales. Lo anterior con la finalidad de aplicar estos métodos a condiciones particulares de optimización en diferentes campos de la ingeniería.
Vamos a comenzar.
Recuerda que lo importante es que logres aprender lo mejor posible. Espero que el curso sea de tu agrado.
¡Te deseo muchísimo éxito!
Desarrollo del tema
Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método gráfico, de sustitución, igualación, suma y resta, y la regla de Cramer son especialmente útiles para resolver sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.
Para sistemas de ecuaciones lineales de mayor dimensión (cualquier número de ecuaciones y de incógnitas), es mejor usar métodos más sistemáticos como el método de Gauss y el de Gauss-Jordan que incluso pueden programarse con relativa facilidad en algún lenguaje o herramienta de programación.
En general los sistemas de ecuaciones lineales pueden tener tres tipos de solución; solución única, soluciones infinitas o no tener ninguna solución. Además, los sistemas de ecuaciones lineales pueden clasificarse en función de sus términos independientes como sistemas heterogéneos o como sistemas homogéneos.
Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2×2
Método gráfico
Consiste en despejar la variable dependiente (y) de cada una de las ecuaciones, realizar una tabulación de valores, graficar los pares ordenados (x,y) y dibujar la línea que une a los puntos de cada ecuación. Gráficamente un sistema de 2×2 queda representado como un par de líneas rectas en el plano xy; mientras que un sistema de 3×3 es representado como tres planos en un espacio tridimensional. En cualquier caso, la solución del sistema de ecuaciones es el punto en donde se intersectan las rectas o los planos.
Método de sustitución
En este método despejamos una incógnita de una ecuación y la sustituimos en la segunda ecuación para obtener una tercera ecuación que depende de una incógnita. De esta última ecuación despejamos la incógnita y obtenemos su valor. Luego sustituimos el valor encontrado en cualquiera de las dos ecuaciones originales, despejamos la incógnita restante y calculamos su valor.
Método de igualación
En el método de igualación despejamos la misma incógnita de ambas ecuaciones e igualamos las expresiones resultantes para obtener una tercera ecuación que depende de una incógnita. De esta ecuación despejamos la incógnita y obtenemos su valor. Luego sustituimos el valor encontrado en cualquiera de las dos ecuaciones donde ya está despejada la incógnita restante y calculamos su valor.
Método de suma y resta
En este método multiplicamos a la ecuación 1 por el coeficiente de la incógnita x en la segunda ecuación, y luego multiplicamos a la ecuación 2 por el coeficiente de la incógnita x en la primera ecuación. Luego sumamos o restamos las ecuaciones obtenidas en el paso anterior de tal manera que se elimine el término que depende de x para obtener una ecuación con una incógnita. De esta última ecuación despejamos la incógnita y obtenemos su valor. Luego sustituimos el valor encontrado en cualquiera de las dos ecuaciones originales, despejamos la incógnita restante y obtenemos su valor.
Regla de Cramer
La regla de Cramer está basada en el cálculo de determinantes. Aquí es importante recordar que los determinantes sólo están definidos para matrices cuadradas (mismo número de ecuaciones y de incógnitas). Existen varios métodos para obtener determinantes, aquí utilizamos la Regla de Sarrus que puedes revisar en el siguiente vínculo: Regla de Sarrus (Fuente: GeoGebra, Autor: Eduardo Timón Moliner). Cabe mencionar que la regla de Sarrus calcula correctamente el determinante de matrices de 2×2 y 3×3; para matrices de mayor dimensión se requieren otros métodos.
En la regla de Cramer primeramente calculamos el determinante (D) de la matriz de coeficientes. Luego calculamos el determinante (Dx) de una matriz similar a la matriz de coeficientes, pero reemplazando la columna de coeficientes de x por los términos independientes del sistema de ecuaciones lineales. Después calculamos el determinante (Dy) de otra matriz similar a la matriz de coeficientes, pero reemplazando ahora la columna de coeficientes de y por los términos independientes. Finalmente calculamos la solución como x=Dx/D y y=Dy/D.
Adicionalmente, puedes consultar los siguientes Problemas aplicados (Fuente: GeoGebra, Autor: Andrés).
Ejemplos resueltos: Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2×2.
Video explicativo: Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales de dimensión 2×2. Tipos de soluciones.
Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales mxn
Método de Gauss
El método de Gauss está basado en la eliminación gaussiana que opera sobre una matriz extendida formada por la matriz de coeficientes y los términos independientes. La eliminación gaussiana es un procedimiento que obtiene matrices equivalentes más simples. En la eliminación gaussiana se divide el primer renglón de la matriz extendida entre el primer elemento de la diagonal principal para convertirlo en 1 y que funcione como pivote. Luego, el nuevo primer renglón se multiplica por el elemento debajo del pivote y le restamos el renglón 2 para obtener un nuevo renglón 2 con cero debajo del pivote. La operación anterior se repite para hacer cero todos los elementos debajo del pivote. Posteriormente se repiten los pasos anteriores en todas las columnas de la matriz de coeficientes y se obtiene una matriz extendida con unos en la diagonal principal y ceros debajo de ella. Esta matriz extendida luego se escribe como un sistema de ecuaciones para aplicar un proceso de sustitución inversa en que una incógnita quedará resuelta en la última ecuación. Luego, con la incógnita resuelta y la ecuación previa se resuelve otra incógnita, y así sucesivamente hasta encontrar los valores de todas las variables desconocidas. En este método debemos tener especial cuidado en el orden en que aplicamos los pasos del procedimiento haciendo unos y ceros primero en la columna uno, luego en la dos, y así sucesivamente hasta llegar a la última columna de la matriz de coeficientes.
Método de Gauss-Jordan
El método de Gauss-Jordan es una generalización del método de Gauss que funciona de manera más sistemática; también opera sobre la matriz extendida formada por la matriz de coeficientes y el vector de términos independientes. En este método aplicamos la eliminación gaussiana para convertir en unos todos los elementos de la diagonal principal y ceros los elementos que están fuera de la diagonal principal. Después de completar la eliminación gaussiana, los valores que quedan en la parte extendida de la matriz son la solución del sistema de ecuaciones lineales y aparecen en el mismo orden que las incógnitas en las ecuaciones. Te invito a revisar el siguiente contenido interactivo con el Método de Gauss-Jordan (Fuente: GeoGebra, Autor: Omar Trujillo).
Ejemplos resueltos: Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales de dimensión mxn.
Video explicativo: Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales de dimensión mxn.
Tipos de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales
Solución única
La solución única se presenta cuando existe sólo una combinación de valores para las incógnitas que hace que todas las ecuaciones del sistema se cumplan de manera simultánea. Los sistemas de ecuaciones con solución única geométricamente corresponden a rectas o planos que se intersectan en un punto único cuyas coordenadas son la solución del sistema. Los sistemas de ecuaciones con solución única son conocidos como sistemas consistentes (Fuente: GeoGebra, Autor: Adrian). Cuando un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única su matriz de coeficientes es «no singular» y su determinante es diferente de cero.
Soluciones infinitas
Cuando un sistema de ecuaciones tiene soluciones infinitas existe un número infinito de combinaciones de valores para las incógnitas que hacen que las ecuaciones se cumplan simultáneamente. En estos casos una o más incógnitas podrán tomar cualquier valor real que seleccionemos (variable arbitraria) y las otras incógnitas quedarán determinadas por expresiones matemáticas que dependen de las variables arbitrarias. Los sistemas de ecuaciones con soluciones infinitas son dependientes (Fuente: GeoGebra, Autor: Adrian); además geométricamente corresponden a rectas o planos que están uno sobre el otro, por lo cual existe un número infinito de intersecciones o soluciones. Un sistema de ecuaciones lineales con soluciones infinitas no implica que cualquier combinación de valores es una solución. Cuando un sistema de ecuaciones lineales tiene soluciones infinitas su matriz de coeficientes es «singular» y su determinante es cero.
Sin solución
Existen sistemas de ecuaciones lineales en los que no hay ninguna combinación de valores para las incógnitas que haga que todas las ecuaciones se cumplan de manera simultánea. Los sistemas de ecuaciones sin solución geométricamente corresponden a rectas o planos paralelos y que por lo tanto no se cruzan. Estos sistemas de ecuaciones son conocidos como sistemas inconsistentes (Fuente: GeoGebra, Autor: Adrian). Cuando un sistema de ecuaciones lineales no tiene solución su matriz de coeficientes es «singular» y su determinante es cero.
Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales
Existen dos tipos de sistemas de ecuaciones lineales: heterogéneos y homogéneos.
Sistemas heterogéneos
Son sistemas de ecuaciones lineales en los que los términos independientes no son todos iguales a cero. Este tipo de sistemas pueden tener solución única, soluciones infinitas, o no tener solución.
Sistemas homogéneos
Son sistemas de ecuaciones lineales en los que los términos independientes son todos iguales a cero. Este tipo de sistemas siempre tienen al menos la solución trivial (cuando todas las incógnitas son iguales a cero); sin embargo, también pueden tener un número infinito de soluciones. En los sistemas homogéneos usualmente las soluciones de interés son las soluciones infinitas. En el siguiente contenido interactivo encontrarás ejemplos de Sistemas homogéneos 3×3 y 4×4 (Fuente: GeoGebra, Autor: José M. Melián).
Ejemplos resueltos: Sistemas heterogéneos y sistemas homogéneos.
Video explicativo: Sistemas heterogéneos y sistemas homogéneos.
Conclusión
En conclusión, muchos procesos reales que dependen de varias variables pueden ser representados a través de modelos matemáticos como los sistemas de ecuaciones lineales. Además, podemos resolver, entender y clasificar a los sistemas de ecuaciones lineales para predecir y controlar un proceso.
Si bien comenzamos revisando métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, posteriormente abordamos métodos de solución más sistemáticos y con mayor capacidad como los métodos de Gauss y de Gauss-Jordan que nos dan la posibilidad de resolver sistemas de ecuaciones lineales con cualquier número de ecuaciones y de incógnitas; así como sistemas homogéneos y heterogéneos con cualquier tipo de solución. Esto permite obtener la solución de cualquier sistema de ecuaciones lineales y establece las bases para un análisis más profundo del proceso de interés y su optimización.
Felicidades, has completado la primera clase digital. ¿Qué te pareció? Espero que hayas aprendido cosas nuevas acerca del tema, pues esto te hará más sencillo el recorrido de este curso. Sigue adelante, realiza y manda la tarea asignada. Te espero en la siguiente clase donde incorporaremos formalmente los conceptos de vectores y matrices con la finalidad de representar de manera alternativa a los sistemas de ecuaciones lineales.
Hasta entonces.
Fuentes de información
- Grossman, S. & Godoy, J. (2019). Álgebra Lineal. (8ª ed.). Mc Graw Hill
- Luque, C., Sánchez, Y. & Jiménez H. (2018). De los Grupos Abelianos al Álgebra Lineal Abstracta. (1ª Ed.). Universidad Pedagógica Nacional.
- Poole, D. (2018). Álgebra Lineal. Una Introducción Moderna. (4ª ed.). Cengage Learning.
- Saldarriaga, O. & Giraldo, H. (2018). Álgebra Lineal con el uso de Matlab. Universidad de Antioquia.
- Lay, D., McDonald, J. & Lay, S. (2016). Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. (5ª ed.). Pearson Education.
- Larson, R. (2015). Fundamentos de Álgebra Lineal. (7ª ed.). Cengage Learning.
- Gutiérrez, E. & Ochoa, S. (2014). Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Editorial Patria.
- Hitt, F. (2012). Álgebra Lineal. Pearson Education.
- Kolman, B. & Hill, D. (2012). Álgebra Lineal. Fundamentos y Aplicaciones. (8ª ed.). Pearson Education.
- Nicholson, W. (2003). Álgebra Lineal con Aplicaciones. (4ª ed.). Mc Graw Hill.
- GeoGebra: https://www.geogebra.org