Representación matricial de los sistemas de ecuaciones lineales
Introducción
¡Hola!
Es un gusto encontrarte nuevamente, espero que estés aprendiendo mucho, sobre todo, que tu ánimo no decaiga y sigas conociendo más acerca de los temas que se te presentan. Te invito a continuar en la segunda clase denominada Representación matricial de los sistemas de ecuaciones lineales del curso de Álgebra Lineal.
Existen dos tipos de variables: escalares y vectoriales. Los escalares representan variables que están completamente definidas por su magnitud como el tiempo, la masa y la distancia; por otra parte, los vectores representan variables con magnitud y dirección como la velocidad, las fuerzas, y los campos gravitatorios y electromagnéticos. A su vez, una matriz puede ser entendida como un conjunto de vectores renglón o vectores columna.
Los sistemas de ecuaciones lineales, que sirven para modelar procesos pueden ser representados de manera muy compacta y eficiente a través de matrices y vectores que multiplicamos matricialmente. Sin embargo, las operaciones con vectores y matrices son diferentes a las operaciones aritméticas con escalares. Por esta razón, resulta indispensable dominar la estructura e interpretación de los vectores y matrices; así como sus operaciones.
En esta clase digital veremos el significado y representación de los vectores y matrices; así como la operación del producto matricial que nos ayudará a obtener la representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales. Posteriormente, en la clase digital 3 veremos que la representación matricial de los sistemas de ecuaciones lineales es útil para resolverlos mediante un método alternativo.
Necesitamos aprender más. ¡Vamos muy bien, te deseo muchísimo éxito!
Desarrollo del tema
Representación de un vector
Vector
Los vectores son un conjunto de números que tienen un orden específico y que sirven para representar variables con magnitud y dirección. Los vectores comúnmente son denotados con letras minúsculas escritas con letra negrita o con una flecha en la parte superior. La dimensión de un vector es determinada mediante su número de elementos o componentes.
Los vectores pueden ser representados de varias maneras: gráficamente, con pares ordenados o coordenadas en planos cartesianos, con coordenadas polares o mediante la suma de vectores unitarios escalados.
Representación gráfica
Un vector puede ser representado como un segmento de recta dirigido o flecha. La longitud de la flecha es proporcional a la magnitud y el ángulo que se forma entre la flecha y la dirección positiva del eje horizontal determinará la dirección.
Representación con pares ordenados o representación cartesiana
Un vector también puede ser presentado con un par ordenado (x,y) y gráficamente equivale al punto en donde termina la punta de la flecha del vector si éste es trazado a partir del origen del plano cartesiano. El primer elemento del par ordenado indica la coordenada horizontal (x) y el segundo elemento indica la coordenada vertical (y) de la punta de la flecha. Los elementos del par ordenado también son conocidos como componentes del vector; ejemplo: v = (3,4).
Representación polar
En la notación polar, un vector es representado mediante la magnitud y el ángulo que le da dirección. Ejemplo:
El vector v = (1,-3) puede escribirse en la notación polar como v = 5 a 53.13°.
Representación polar
En la notación polar, un vector es representado mediante la magnitud y el ángulo que le da dirección. Ejemplo:
El vector v = (1,-3) puede escribirse en la notación polar como v = 5 a 53.13°.
Representación con vectores unitarios
Adicionalmente, un vector puede ser representado a través de la suma de vectores unitarios que están multiplicados por escalares, donde los escalares son las componentes del vector. Un vector unitario tiene una magnitud igual a uno. Para esta representación es común usar vectores unitarios perpendiculares entre sí, los más comunes son los vectores i = (1,0) y j = (0,1) por su sencillez y practicidad. Ejemplo: el vector v = (3,4) también puede representarse como v = 3i + 4j.
Te invito a revisar el material interactivo: Vectores en 1D y 2D. Componentes de un vector. (Fuente: PhET Simulaciones interactivas, Universidad de Colorado).
Cambios de representación de un vector
Representación cartesiana a polar
Para cambiar un vector cartesiano bidimensional (con 2 componentes) a la notación polar calculamos la magnitud como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes del vector (como en el teorema de Pitágoras) y la dirección con θ=arctan(y/x). Si el vector es tridimensional calculamos la magnitud de manera similar al caso anterior y la dirección estará determinada por 3 ángulos, los ángulos directores que se calculan a partir de los cosenos directores.
Debemos poner especial atención al aplicar la función arco-tangente ya que al estar definida como un cociente hay una ambigüedad entre los vectores del primero y tercer cuadrante, y entre los vectores del segundo y cuarto cuadrante; sin embargo, podemos superar fácilmente esta ambigüedad al revisar los signos de las componentes del vector y ubicarlo en el cuadrante apropiado. Todos los ángulos son medidos con respecto al eje horizontal. Los ángulos positivos son medidos en la dirección contraria a las manecillas de reloj y los ángulos negativos son medidos en la dirección de las manecillas del reloj.
Representación polar a cartesiana
En este caso es necesario calcular las componentes del vector o elementos del par ordenado. Para obtener la componente horizontal podemos usar la función Cos(θ) = cateto adyacente / hipotenusa. El ángulo θ es el ángulo formado por el vector y el eje horizontal, el cateto adyacente es la componente horizontal del vector y la hipotenusa es la magnitud del vector. De la función coseno despejamos el cateto adyacente. De manera análoga, usamos la función Sen(θ) = cateto opuesto / hipotenusa. El cateto opuesto es la componente vertical del vector. De la función seno despejamos el cateto opuesto. Este proceso es conocido como descomposición de un vector y adquiere especial relevancia para la suma y resta de vectores.
Representación cartesiana a representación con vectores unitarios
El cambio es casi directo, las componentes del vector cartesiano son los escalares por los que se multiplican los vectores unitarios i y j.
Representación con vectores unitarios a representación cartesiana
Los escalares por los que están multiplicados los vectores unitarios i y j son los elementos del par ordenado o componentes del vector.
Matrices
Matriz
Una matriz es un conjunto de vectores renglón o vectores columna. La dimensión de las matrices es denotada como el producto del número de renglones (m) por el número de columnas (n); es decir, mxn. Usualmente, las matrices son denotadas con letras mayúsculas; ejemplo matriz A.
Producto matricial
El producto matricial (AB) es una operación entre dos matrices (A y B) o entre una matriz y un vector. Consiste en multiplicar los renglones de la matriz A por las columnas de la matriz B para obtener cada uno de los elementos de la matriz resultante. Para esta multiplicación de renglones por columnas se multiplican los elementos del renglón de la matriz A por los elementos que están en las respectivas posiciones de una columna de la matriz B y luego se suman dichos productos para obtener un elemento de la matriz resultante. El producto matricial sólo puede ser calculado cuando el número de columnas de la matriz A es igual al número de renglones de la matriz B. La matriz resultante tiene el mismo número de renglones de la matriz A y el número de columnas de la matriz B. El producto matricial no es conmutativo; así que en general el producto AB es diferente del producto BA. Te sugiero revisar los siguientes ejemplos: Producto matricial (ejemplo 1), y Producto matricial (ejemplo 2); Fuente: GeoGebra, Autor: Eduardo Timón Moliner.
Ejemplos: Definiciones de vectores y matrices. Representación de un vector y cambios de representación.
Video explicativo: Definiciones de vectores y matrices. Representación del vector y cambios de representación.
Representación matricial de los sistemas de ecuaciones lineales
Podemos representar un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas de la siguiente manera:
También es posible representar al sistema de ecuaciones lineales anterior de manera alternativa mediante vectores, una matriz y un producto matricial como:
También es posible representar al sistema de ecuaciones lineales anterior de manera alternativa mediante vectores, una matriz y un producto matricial como:
dado que:
Al igualar las componentes que están en las mismas posiciones de los vectores en la Ec. 3 obtenemos el sistema de ecuaciones lineales en su forma algebraica; así demostramos la equivalencia de las Ecs. 1 y la Ec. 2.
En la Ec. 2, la matriz de la izquierda es conocida como la matriz de coeficientes (A) por contener los coeficientes de las incógnitas en las ecuaciones. Los subíndices de los coeficientes «a» indican el renglón y columna del elemento. El vector con las incógnitas x1, x2, x3, … xn es el vector solución x y el vector de la derecha es el vector de términos independientes b. Sustituyendo estos parámetros en la ecuación matricial obtenemos la representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales:
Ten presente que esta ecuación no es algebraica, sino una ecuación matricial. Por esta razón, no la podemos resolver para x con operaciones aritméticas como lo hacemos para despejar una incógnita de una ecuación algebraica; sino que se emplea otra estrategia que revisaremos en la siguiente clase digital.
Ejemplos resueltos: Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales.
Video explicativo: Representación matricial de los sistemas de ecuaciones lineales.
Conclusión
En resumen, los vectores y matrices son herramientas matemáticas que nos permiten representar de manera más concisa a un sistema de ecuaciones lineales. Todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen una representación matricial. Para resolver una ecuación matricial es necesario aprender y dominar las operaciones con vectores y matrices, las cuales se realizan de manera distinta a las operaciones aritméticas que ya conocemos. Vimos que una de las operaciones básicas con matrices es el producto matricial y nos sirvió para obtener la representación matricial de los sistemas de ecuaciones lineales. En la próxima clase digital veremos que el producto matricial también nos permitirá resolver la ecuación matricial que representa a un sistema de ecuaciones lineales.
Lo has hecho muy bien, has llegado al final de esta clase. ¡Vas avanzando muy bien, te felicito! No olvides que para concluir la sesión debes hacer la tarea asignada y enviarla. Te espero en la siguiente clase digital para que juntos apliquemos lo ya aprendido y veamos un método alternativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales de una manera más eficiente.
Fuentes de información
- Grossman, S. & Godoy, J. (2019). Álgebra Lineal. (8ª ed.). Mc Graw Hill.
- Luque, C., Sánchez, Y. & Jiménez H. (2018). De los Grupos Abelianos al Álgebra Lineal Abstracta. (1ª Ed.). Universidad Pedagógica Nacional.
- Poole, D. (2018). Álgebra Lineal. Una Introducción Moderna. (4ª ed.). Cengage Learning.
- Saldarriaga, O. & Giraldo, H. (2018). Álgebra Lineal con el uso de Matlab. Universidad de Antioquia.
- Lay, D., McDonald, J. & Lay, S. (2016). Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. (5ª ed.). Pearson Education.
- Larson, R. (2015). Fundamentos de Álgebra Lineal. (7ª ed.). Cengage Learning.
- Gutiérrez, E. & Ochoa, S. (2014). Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Editorial Patria
- Hitt, F. (2012). Álgebra Lineal. Pearson Education.
- Kolman, B. & Hill, D. (2012). Álgebra Lineal. Fundamentos y Aplicaciones. (8ª ed.). Pearson Education.
- Nicholson, W. (2003). Álgebra Lineal con Aplicaciones. (4ª ed.). Mc Graw Hill.
- GeoGebra: https://www.geogebra.org
- Grossman, S. & Godoy, J. (2019). Álgebra Lineal. (8ª ed.). Mc Graw Hill.