Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices inversas
Introducción
¡Hola!
Qué gusto saber de ti en esta nueva clase, espero que sigas encontrando fascinante este curso de Álgebra Lineal, en esta ocasión tenemos el tema de Resolución de ecuaciones lineales mediante matrices inversas.
En esta clase veremos cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales, que representan procesos de la vida real, mediante una estrategia más concisa y formal que los métodos presentados en la primera clase.
Esta estrategia alternativa para resolver sistemas de ecuaciones lineales emplea matrices inversas y la representación matricial de los sistemas de ecuaciones lineales. Por lo anterior, primero definiremos a las matrices inversas y explicaremos un par de métodos para obtenerlas. Luego veremos cómo un sistema de ecuaciones lineales puede ser resuelto mediante una matriz inversa.
Ten en cuenta que la estrategia de solución presentada en esta clase digital es válida sólo para sistemas de ecuaciones lineales con solución única, ya que las matrices inversas están definidas sólo para matrices de coeficientes cuadradas (mismo número de ecuaciones y de incógnitas) no singulares (con determinante diferente de cero).
Sin más preámbulos, vamos a comenzar.
Desarrollo del tema
Definiciones
Matriz identidad
Una matriz identidad (I) es una matriz cuadrada (igual número de renglones y columnas) en la que los elementos en la diagonal principal son iguales a uno; mientras que los elementos fuera de la diagonal principal son cero. La principal característica de una matriz identidad es que, al multiplicarla por un vector o una matriz, el resultado es ese mismo vector o matriz.
Matriz transpuesta
Esta matriz se obtiene al convertir los renglones de una matriz A en las columnas de matriz transpuesta (AT).
Matriz de cofactores
Una matriz de cofactores (B) es una matriz cuadrada cuyos elementos bij son conocidos como cofactores y están definidos mediante la siguiente expresión:
Donde i es el número de renglón y j el número de columna del cofactor. |Mij| es el determinante de la matriz menor que resulta de eliminar el renglón i y la columna j de la matriz A.
Matriz adjunta
La matriz adjunta de A es la traspuesta de la matriz de cofactores, es decir, Adj(A) = BT.
Matriz inversa
Una matriz inversa (A-1) es una matriz que al multiplicarla por la matriz original (A) da como resultado una matriz identidad. Sólo las matrices cuadradas no singulares (con determinante diferente de cero) son invertibles.
Métodos para invertir matrices
Método 1: Por eliminación gaussiana
En este método formamos una matriz extendida con la matriz de coeficientes (A) en la parte izquierda y una matriz identidad de la misma dimensión en la parte extendida. Luego aplicamos el procedimiento de eliminación gaussiana a la matriz extendida para que después de una serie de pasos obtengamos una matriz equivalente con unos en la diagonal principal y ceros fuera de ella. La matriz que queda en la parte extendida es la inversa A-1. Revisa el siguiente enlace para ver un video corto con el cálculo de una Matriz inversa por el método de eliminación gaussiana y una aplicación (GeoGebra, Autor: Allan Avendaño).
Ejemplos resueltos: Matriz inversa – Método por eliminación gaussiana.
Video explicativo: Matrices inversas: Método por eliminación gaussiana.
Método 2: Pormenores y cofactores
Vamos a invertir una matriz de coeficientes cuadrada A dada por:
La matriz de cofactores correspondiente es:
Donde cada uno de los cofactores bij se obtiene mediante la Ec. 1. En este segundo método obtenemos la matriz inversa de A como:
Ahora ve al siguiente enlace para ver un material interactivo para la obtención de una Matriz inversa por el método pormenores y cofactores (GeoGebra, Autor: Alfonso Meléndez).
Ejemplos resueltos: Matriz inversa – Método pormenores y cofactores.
Video explicativo: Matrices inversas: Método pormenores y cofactores.
Determinantes: Método general
El determinante de A puede ser calculado mediante la Regla de Sarrus (Fuente: GeoGebra, Autor: Elvira Martínez y Carlos Romero) cuando la matriz es de dimensión 2×2 o 3×3. El método general para resolver determinantes de matrices cuadradas de cualquier dimensión es:
Ejemplos resueltos: Cálculo de determinantes.
Video explicativo: Determinantes.
Cabe mencionar que para calcular el determinante de A también es posible usar otros renglones de las matrices A y B, siempre y cuando se use el mismo número de renglón en ambas matrices. El determinante de matrices grandes puede implicar una cantidad considerable de operaciones; así que es muy recomendable aplicar propiedades de los determinantes siempre que sea posible a fin de reducir el tiempo y trabajo requerido. Te invito a revisar el contenido interactivo de Resumen de propiedades de los determinantes (Fuente: GeoGebra, Autor: Matematicaula) y los Ejemplos del uso de propiedades de los determinantes.
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices inversas
Podemos representar a cualquier sistema de ecuaciones lineales mediante su forma matricial como:
Para resolver esta ecuación matricial no podemos dividir entre la matriz A para despejar al vector x porque la división entre vectores o matrices no está definida, no existe; así que necesitamos una estrategia diferente. Para despejar y encontrar el vector solución x multiplicamos por la izquierda ambos lados de la ecuación por A-1:
Ahora recordemos que el resultado de multiplicar una matriz por su inversa es una matriz identidad. Por consiguiente, obtenemos:
También recordemos que al multiplicar cualquier matriz o vector por una matriz identidad el resultado es la misma matriz o vector. Así logramos resolver la ecuación matricial y obtenemos:
De esta manera calculamos el vector solución del sistema de ecuaciones lineales. La ecuación anterior es válida para cualquier sistema de ecuaciones lineales con solución única, por lo que es innecesario deducirla cada vez que resolvamos un problema. En este método usualmente calculamos la matriz A-1 (mayor parte del trabajo) para después multiplicarla por el vector de términos independientes b, y así obtener el vector solución x. Te recomiendo revisar el siguiente video con un par de Problemas aplicados resueltos con matrices inversas.
Conclusión
En conclusión, los sistemas de ecuaciones lineales con solución única pueden ser resueltos no sólo mediante los métodos revisados en la primera clase digital, sino que también pueden ser resueltos mediante matrices inversas. Este método de solución alternativo emplea una representación más concisa y un procedimiento sistemático.
No todas las matrices de coeficientes son invertibles. Sólo las matrices cuadradas no singulares (con determinante diferente de cero) tienen inversa.
El método para resolver sistemas de ecuaciones lineales por matrices inversas es especialmente apropiado para su implementación en un algoritmo computacional. Además, tiene la ventaja de que con la matriz inversa podemos calcular otras soluciones para diferentes condiciones con tal sólo un producto matricial; mientras que con los métodos de Gauss y Gauss-Jordan tendríamos que repetir el procedimiento completo.
¡Excelente! Ya eres capaz de resolver sistemas de ecuaciones lineales usando diferentes métodos. ¡Sigue adelante!
Has llegado al final de la sesión y como puedes observar sigues abonando información valiosa a tu aprendizaje, te invito a continuar sumando información realizando la tarea asignada a esta clase. Recuerda que te espero en la próxima sesión.
Fuentes de información
- Grossman, S. & Godoy, J. (2019). Álgebra Lineal. (8ª ed.). Mc Graw Hill.
- Luque, C., Sánchez, Y. & Jiménez H. (2018). De los Grupos Abelianos al Álgebra Lineal Abstracta. (1ª Ed.). Universidad Pedagógica Nacional.
- Poole, D. (2018). Álgebra Lineal. Una Introducción Moderna. (4ª ed.). Cengage Learning.
- Saldarriaga, O. & Giraldo, H. (2018). Álgebra Lineal con el uso de Matlab. Universidad de Antioquia.
- Lay, D., McDonald, J. & Lay, S. (2016). Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. (5ª ed.). Pearson Education.
- Larson, R. (2015). Fundamentos de Álgebra Lineal. (7ª ed.). Cengage Learning.
- Gutiérrez, E. & Ochoa, S. (2014). Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Editorial Patria.
- Hitt, F. (2012). Álgebra Lineal. Pearson Education.
- Kolman, B. & Hill, D. (2012). Álgebra Lineal. Fundamentos y Aplicaciones. (8ª ed.). Pearson Education.
- Nicholson, W. (2003). Álgebra Lineal con Aplicaciones. (4ª ed.). Mc Graw Hill.
- GeoGebra: https://www.geogebra.org