Vectores en R2 y R3
Introducción
¡Hola!
Siempre es un gusto saludarte y saber que tienes el ánimo para continuar, te invito a seguir en este camino formativo en tu cuarta clase titulada Vectores en R2 y R3 del curso Álgebra Lineal.
Los vectores son conjuntos de números ordenados. Cada uno de los números o elementos del vector se conocen como componentes y están asociados a las variables del sistema de ecuaciones lineales. Si el sistema de ecuaciones depende de dos variables, entonces el vector de solución será de dimensión dos y tendrá dos componentes. De manera análoga, un sistema de ecuaciones con tres variables tendrá un vector solución de dimensión 3 (tres componentes) y así sucesivamente. De hecho, los vectores pueden tener cualquier dimensión o número de componentes ya que no están restringidos a representar variables espaciales. Si las componentes de un vector de dimensión dos son reales, entonces decimos que pertenece al espacio R2. Si el vector tiene 3, 4 o n componentes reales, entonces pertenecerán al espacio R3, R4 o Rn, respectivamente.
Los vectores representan variables con magnitud y dirección, y eso hace una gran diferencia con respecto a las variables escalares, ya que no obedecen a las mismas reglas matemáticas. Por ejemplo, podemos sumar cualquiera de los dos escalares, pero no podemos sumar vectores con direcciones diferentes. La única manera de sumar directamente dos vectores es que estos sean paralelos. En esta clase digital aprenderemos a realizar otras operaciones básicas con vectores y veremos cómo los vectores pueden formar líneas y planos en espacios tridimensionales. Muy pronto estas nuevas herramientas matemáticas nos permitirán comprender con profundidad las características de las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.
Vas progresando muy bien, no te detengas. Te invito a continuar la sesión, ¡mucho éxito!
Desarrollo del tema
Suma y resta de vectores
El método del paralelogramo es un método gráfico que consiste en dibujar al primer vector con su magnitud y dirección a partir del origen del sistema de coordenadas. Luego, trazamos el segundo vector iniciando en la punta del primer vector. Si hubiese otros vectores por sumar estos se trazan iniciando en la punta del vector anterior. El vector resultante es la flecha que une al origen con la punta del último vector. Te invito a revisar el siguiente contenido interactivo: Suma de vectores – Método del paralelogramo (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Meléndez).
La resta de vectores es un caso particular de la suma. Cuando a un vector le restamos uno o más vectores usamos la misma estrategia del paralelogramo, pero invertimos la dirección de los vectores restados. En el siguiente contenido interactivo podrás visualizar la Resta de vectores – Método del paralelogramo (Fuente:
GeoGebra, Autor: Alfonso Meléndez).
Método analítico
La única manera en que podemos sumar directamente dos vectores es que sean paralelos. Sin embargo, en general los vectores que necesitamos sumar pueden tener direcciones distintas. Para sumar dos vectores con direcciones distintas es indispensable obtener sus componentes para representarlos a través de la Notación Cartesiana (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Meléndez) o con vectores unitarios. Luego sumamos entre sí a las componentes horizontales y por separado a las componentes verticales. La suma de las componentes horizontales será la componente horizontal del vector resultante y la suma de las componentes verticales será la componente vertical del vector resultante.
En el caso de la resta de vectores también calculamos las componentes de los vectores. Luego multiplicamos por lo menos uno a las componentes de los vectores que se estén restando. Finalmente, sumamos las componentes horizontales y verticales por separado para obtener el vector resultante. Para sumar o restar vectores es indispensable que tengan la misma dimensión (mismo número de componentes).
Ejemplos resueltos: Suma y resta de vectores; Multiplicación de un vector o matriz por un escalar.
Video explicativo: Suma y resta de vectores. Multiplicación de un vector o matriz por un escalar.
Suma y resta de matrices
La suma de matrices consiste en sumar los elementos que se encuentran en la misma posición de los sumandos. Sólo es posible sumar matrices de la misma dimensión y el resultado es otra matriz de la misma dimensión que las que fueron sumadas.
La resta de matrices también es un caso particular de la suma. Cuando a una matriz le restamos otra debemos multiplicar por lo menos uno a todos los elementos de la matriz que se resta para luego sumarla a la primera matriz. Por ser un caso especial de la suma, la resta de matrices también está definida sólo para matrices de la misma dimensión y el resultado es otra matriz con la misma dimensión que las matrices restadas.
Producto de un vector o matriz por un escalar
El producto de un vector o matriz por un escalar consiste en multiplicar todos los elementos del vector o matriz por dicho escalar. Gráficamente, al multiplicar un vector por un escalar obtenemos como resultado un vector con la misma dirección, pero más grande o pequeño según sea el escalar. Si el escalar es negativo, el sentido del vector resultante se invierte. En el siguiente contenido interactivo podrás visualizar el Producto de un vector por un escalar (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Meléndez).
Producto escalar de vectores (producto punto o producto interno)
El producto punto es una operación entre dos vectores de la misma dimensión y lo podemos obtener de dos maneras. Sea v1 = (a1, a2, a3, … an) y v2 = (b1, b2, b3, … bn), entonces el producto punto de estos vectores es la suma de los productos de sus componentes:
También podemos calcular el producto punto de dos vectores como el producto de sus magnitudes por el coseno del ángulo interno Φ que se forma entre ellos, es decir;
El producto punto entre dos vectores da como resultado un escalar, de allí el nombre de producto escalar de vectores. El producto punto a menudo es útil para determinar el ángulo formado por dos vectores, algo que es difícil determinar para vectores tridimensionales o de mayor dimensión. Además, el producto punto entre dos vectores perpendiculares (ortogonales) es cero. Adicionalmente, el producto punto es conmutativo. En el siguiente material interactivo mostramos una interpretación gráfica del Producto punto (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Meléndez).
Producto vectorial (producto cruz)
El producto cruz entre dos vectores da como resultado un tercer vector que es perpendicular a los vectores de la operación. En el caso de vectores en R2 y R3 podemos calcular el producto cruz de manera similar al determinante de una matriz.
Donde i, j y k son vectores unitarios coincidentes con los ejes x, y, z. Los coeficientes a son las componentes del vector v1 y los coeficientes b son las componentes del vector v2.
De manera alternativa podemos calcular el producto cruz como el producto de las magnitudes de los vectores por el seno del ángulo interno que se forma entre ellos y por un vector unitario n perpendicular a los vectores V1 y V2.
El producto cruz entre dos vectores paralelos es cero. Además, el producto cruz no es conmutativo. Te invito a revisar el siguiente material interactivo con la definición y ejemplos del Producto cruz (Fuente: GeoGebra, Autor: Alberto Gutiérrez).
Ejemplos resueltos: Producto punto y Producto cruz.
Video explicativo: Producto punto y Producto cruz.
Proyecciones de vectores
La proyección de un vector sobre otro puede interpretarse como la componente de un vector en la dirección de otro. La proyección de un vector u sobre un vector v está definida como:
De manera análoga, la proyección del vector v sobre u es:
Revisa el contenido interactivo de Proyecciones de vectores (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Meléndez) para que observes claramente su interpretación gráfica.
Video explicativo: Proyecciones de vectores.
Rectas en el espacio r3
La o las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales siempre pueden ser representadas como vectores. En ocasiones, los sistemas de ecuaciones tienen soluciones infinitas o un número infinito de vectores solución. Más aún, a veces los vectores solución de un sistema de ecuaciones se encuentran en una recta localizada en un espacio tridimensional, es decir, en R3. La ecuación de una recta en R3 puede ser definida de tres maneras equivalentes: ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y ecuaciones simétricas.
La ecuación vectorial de una recta L en el espacio R3 está determinada por todos los puntos con coordenadas (x, y, z) que cumplan con la siguiente ecuación:
Donde x1, y1 y z1 son las coordenadas de un punto conocido sobre la recta; a, b y c son las componentes de un vector director paralelo a la recta; y t es un factor de escala que permite encontrar diferentes puntos sobre la recta y puede tomar cualquier valor real. Igualando las componentes de la Ec. 7 anterior obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta L.
Despejando el factor de escala t de las ecuaciones paramétricas obtenemos las ecuaciones simétricas de la recta L en el espacio R3.
Las Ecs. 7, 8 y 9 muestran tres maneras distintas, pero totalmente equivalentes para establecer la ecuación de una recta en R3. Te invito a revisar el siguiente material donde podrás observar una animación acerca de la generación de una Recta en R3. (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Meléndez).
Ejemplos resueltos: Rectas en R3.
Video explicativo: Rectas en R3.
Planos en el espacio R3
Los vectores de solución de un sistema de ecuaciones lineales también pueden estar localizados geométricamente sobre un plano π en el espacio R3. Para obtener la ecuación de un plano en R3 necesitamos conocer un punto con coordenadas (x1, y1 y z1) sobre el plano, y un vector director perpendicular al plano con componentes a, b y c. A partir de esta información y mediante un producto punto obtenemos:
Esta expresión representa la ecuación de un plano π en R3. Te sugiero analizar las siguientes gráficas de Rectas y Planos en R3 (Fuente: GeoGebra, Autor: Chapitall).
Ejemplos resueltos: Planos en R3.Video explicativo: Planos en R3.
Conclusión
En conclusión, hemos visto que los vectores y matrices son conjuntos de números ordenados. Un vector puede tener cualquier número de elementos o componentes y puede estar representado de manera gráfica o mediante una notación matemática. Las operaciones básicas con vectores y matrices se realizan de manera diferente a las operaciones aritméticas con escalares. En esta clase digital presentamos las operaciones de suma y resta de vectores y matrices, la multiplicación de un vector o matriz por un escalar, el producto punto y el producto cruz. En esta clase usamos las operaciones básicas con vectores para obtener las ecuaciones de rectas y planos en el espacio R3. Las rectas y planos en R3 son espacios geométricos que representan al conjunto de soluciones de algunos sistemas de ecuaciones lineales. Pronto veremos que las operaciones con vectores y matrices son muy útiles para obtener no sólo la solución de sistemas de ecuaciones lineales, sino también las características de esas soluciones.
Hasta aquí se concluye la clase. Bien hecho, estás a la mitad de camino. ¡Te felicito, vas muy bien! Te recuerdo que depende mucho de tu entusiasmo por aprender. No olvides hacer y mandar como corresponde la tarea asignada. Te espero en tu próxima clase, hasta entonces.
Fuentes de información
- Grossman, S. & Godoy, J. (2019). Álgebra Lineal. (8ª ed.). Mc Graw Hill.Ç
- Luque, C., Sánchez, Y. & Jiménez H. (2018). De los Grupos Abelianos al Álgebra Lineal Abstracta. (1ª Ed.). Universidad Pedagógica Nacional.
- Poole, D. (2018). Álgebra Lineal. Una Introducción Moderna. (4ª ed.). Cengage Learning.
- Saldarriaga, O. & Giraldo, H. (2018). Álgebra Lineal con el uso de Matlab. Universidad de Antioquia.
- Lay, D., McDonald, J. & Lay, S. (2016). Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. (5ª ed.). Pearson Education.
- Larson, R. (2015). Fundamentos de Álgebra Lineal. (7ª ed.). Cengage Learning.
- Gutiérrez, E. & Ochoa, S. (2014). Álgebra Lineal y sus Aplicaciones.Editorial Patria.
- Hitt, F. (2012). Álgebra Lineal. Pearson Education.
- Kolman, B. & Hill, D. (2012). Álgebra Lineal. Fundamentos y Aplicaciones. (8ª ed.). Pearson Education.
- Nicholson, W. (2003). Álgebra Lineal con Aplicaciones. (4ª ed.). Mc Graw Hill.
- GeoGebra: https://www.geogebra.org