Espacios y subespacios vectoriales
Introducción
¡Hola!
Me siento muy feliz al saber que sigues aprovechando este curso de Álgebra Lineal, espero que lo sigas disfrutando, por lo tanto, te invito a comenzar nuestra quinta clase con el tema Espacios y subespacios vectoriales.
En muchas ocasiones, los sistemas de ecuaciones, que representan alguna situación de interés, tienen soluciones infinitas. Si ese conjunto de soluciones infinitas cumple con 10 axiomas definidos para este propósito, entonces constituyen un espacio vectorial. En esta clase determinaremos si un conjunto de vectores es un espacio vectorial. Además, veremos que los espacios vectoriales pueden ser representados de manera compacta a través de un conjunto finito de vectores conocidos como base del espacio vectorial. Más aún, aprenderemos a representar un vector en términos de la base que más nos sea conveniente. Finalmente, veremos un proceso para obtener bases ortonormales que facilitan considerablemente las operaciones con los vectores de un determinado espacio vectorial.
Los espacios vectoriales pudieran parecer un concepto abstracto muy lejano de nuestras actividades comunes, pero no es así. Por ejemplo, los dispositivos digitales que usamos cotidianamente como los teléfonos, computadoras, televisiones y servicios de telecomunicaciones emplean algoritmos basados en espacios vectoriales que detectan y corrigen errores en la transmisión de datos.
Sin más que agregar, te invito a proseguir. ¡Éxito!
Desarrollo del tema
Espacios vectoriales
Un espacio vectorial o espacio lineal es un conjunto de vectores que cumple con diez axiomas definidos para este propósito. Los axiomas son afirmaciones que por su naturaleza se consideran verdaderas. Los axiomas de los espacios vectoriales están relacionados con las operaciones de suma de vectores y con la multiplicación de vectores por escalares. Para determinar si un grupo de vectores forma un espacio vectorial es necesario comprobar que cumple con todos y cada uno de los diez axiomas. Cuando un grupo de vectores no cumple con uno o más axiomas no es un espacio vectorial. Por favor, revisa detalladamente los Axiomas de los espacios vectoriales (Fuente: GeoGebra, Autor: Allan Avendaño). También presentamos una aplicación interactiva con el Espacio vectorial generado por el producto cruz (Fuente: GeoGebra, Autor: Melany Tapia).
Ejemplos resueltos: Espacios vectoriales
Video explicativo: Espacios vectoriales y sus axiomas
Subespacios vectoriales
Subespacio vectorial
Un subespacio vectorial es un espacio vectorial (hijo) que está contenido dentro de otro espacio vectorial mayor (padre). Los subespacios vectoriales heredan propiedades del espacio vectorial padre y por esa razón, para determinar si un subconjunto de vectores es un subespacio vectorial es suficiente con comprobar el cumplimiento de sólo dos axiomas: «Cerradura bajo la suma» y «Cerradura bajo la multiplicación por un escalar«. En el siguiente enlace mostramos un material interactivo que te ayudará a identificar si un vector pertenece a un Subespacio vectorial (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Meléndez).
Ejemplos resueltos: Subespacios vectoriales
Video explicativo: Subespacios vectoriales
Combinaciones lineales y espacio generado
Combinación lineal
Una combinación lineal es una suma de vectores que están multiplicados por escalares. En el siguiente enlace presentamos la interpretación gráfica de una Combinación lineal (Fuente: GeoGebra, Autor: Chapitall).
Conjunto generador
Un conjunto generador es grupo de n vectores v1, v2, v3, … vn que pertenecen a un espacio vectorial y que a través de combinaciones lineales pueden generar a todos los demás vectores de ese espacio vectorial.
Espacio generado
Es el conjunto de vectores que son generados mediante combinaciones lineales de n vectores generadores v1, v2, v3, … vn de un espacio vectorial.
Independencia lineal
Un grupo de vectores v1, v2, v3, … vn es linealmente independiente cuando ninguno de estos vectores es múltiplo de otro y tampoco es posible representar a uno de esos vectores como una combinación lineal de los demás. Existen dos herramientas para determinar si un grupo de vectores es linealmente independiente o dependiente. En el primer caso necesitamos n vectores de dimensión n para que estos vectores se conviertan en las columnas de una matriz cuadrada; si el determinante de esa matriz es diferente de cero, entonces los vectores son independientes o de lo contrario son dependientes. En el segundo caso debemos encontrar los escalares C1, C2, C3, … Cn que hacen que se cumpla la siguiente ecuación:
escalares C1, C2, C3, … Cn que hacen que se cumpla la siguiente ecuación:
Si la Ec. 1 tiene solución única será la trivial (C1=C2=C3= … =Cn=0) y los vectores son independientes. De lo contrario, el sistema tendrá soluciones infinitas y los vectores serán dependientes.
Toma en cuenta que un espacio vectorial de dimensión n tiene como máximo n vectores linealmente independientes. Además, un conjunto de n vectores linealmente independientes genera al espacio vectorial Rn. También es importante considerar que el concepto de independencia lineal aplica no sólo a grupos de vectores, sino también a matrices y polinomios. Finalmente, te invito a explorar el contenido hipermedia acerca de la Independencia y dependencia lineal (Fuente: GeoGebra, Autor: Carlos).
Ejemplos resueltos: Independencia lineal y combinaciones lineales
Video explicativo: Independencia lineal y combinaciones lineales.
Bases y dimensiones
Base
La base es un conjunto finito de vectores {v1, v2, v3, … vn} linealmente independientes que generan al espacio vectorial V. Un espacio vectorial tiene un número infinito de bases.
Base canónica
Una base canónica está formada por un grupo de vectores linealmente independientes que tienen una componente igual a uno y las demás componentes son cero. A menudo se emplean bases canónicas por su sencillez y porque facilitan los cálculos. Ejemplo: Base canónica = {i=(1, 0); j=(0, 1)}.
Dimensión de un espacio vectorial
La dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores en la base. Todas las bases de un espacio vectorial tienen la misma dimensión. Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en un espacio vectorial de dimensión n constituye una base.
Cambios de base
Cambios de base
Usualmente, los vectores del espacio R2 son expresados como combinaciones lineales de una base canónica formada por los vectores unitarios {i=(1, 0); j=(0, 1)} o en el espacio R3 por los vectores i=(1, 0, 0); j=(0, 1, 0); k=(0, 0, 1)}. Sin embargo, en algunas ocasiones resulta más sencillo utilizar otras bases. Un ejemplo de esta situación ocurre cuando analizamos el movimiento de un objeto en un plano inclinado debido a la acción de una o más fuerzas; en estos casos, el uso de un sistema de coordenadas rotados facilita la solución del problema.
Supongamos que tenemos un vector v representado por una combinación lineal de la base B1={i=(1, 0); j=(0, 1)} y que necesitamos representarlo como una combinación de otra base B2 dada por B2={p=(a1, a2); q=(b1, b2)}. Para realizar este cambio de base aplicamos la siguiente ecuación:
T es una matriz de transición de B1 a B2. La matriz de transición está dada por T=C-1, donde C es una matriz cuyas columnas son los vectores p y q de la base B2. Te invito a que explores el contenido interactivo para Cambios de base (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Meléndez).
Para regresar un vector escrito en términos de la base B2 a la base B1 aplicamos la siguiente ecuación:
En este caso, la matriz de transición de B2 a B1 es C, la matriz formada con los vectores de la base 2.
Ejemplos resueltos: Bases, dimensiones y cambios de base.
Video explicativo: Bases, dimensiones y cambios de base.
Bases ortonormales
Los cambios de base son muy útiles para facilitar el análisis de situaciones de interés en diferentes áreas de las ciencias. Sin embargo, los vectores de la nueva base frecuentemente tienen una magnitud diferente de uno y en general no son ortogonales. No obstante, siempre es deseable representar a los vectores de un espacio vectorial en términos de bases ortonormales; es decir, con vectores base unitarios y perpendiculares entre sí, ya que las operaciones se simplifican considerablemente. Para obtener una base ortonormal aplicamos el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.
Ortonormalización de Gram-Schmidt
La ortonormalización de Gram-Schmidt consiste en que a partir de una base cualquiera obtengamos una base ortonormal formada por un conjunto de vectores que tengan la característica de ser unitarios y perpendiculares entre sí. Para calcular el primer vector (u1) de la base ortonormal tomamos el vector v1 de la base original y lo dividimos entre su magnitud para hacerlo unitario o normalizarlo. Después, para determinar el segundo vector ortonormal (u2) tomamos el vector v2 de la base original y los transformamos en un vector perpendicular a u1, para luego normalizarlo y obtener u2. Para encontrar un tercer vector ortonormal tomamos el vector v3 de la base original y lo transformamos en un vector perpendicular a u1 y u2, para luego normalizarlo y obtener u3. Finalmente, repetimos este último paso tantas veces como vectores haya en la base original. Te invito a revisar los detalles del Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt (Grossman, 2019); así como su Interpretación gráfica en R3 (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Meléndez) y los ejemplos resueltos del tema.
Ejemplos resueltos: Bases ortonormales.
Video explicativo: Bases ortonormales.
Conclusión
Se concluye el tema diciendo que en algunas ocasiones, los sistemas de ecuaciones lineales tienen soluciones infinitas, cada una de ellas representada por un vector solución. Si este conjunto de vectores solución tiene algunas características determinadas por el cumplimiento diez axiomas, entonces esos vectores forman un espacio o subespacio vectorial. Como los espacios vectoriales son conjuntos infinitos de vectores es más práctico representarlos mediante su base que es un conjunto finito de vectores linealmente independientes que generan al espacio vectorial. Los espacios vectoriales tienen una cantidad infinita de bases, todas ellas con la misma dimensión. Para facilitar la resolución de algunos problemas o situaciones de interés a menudo necesitamos realizar cambios de base y/o generar bases ortonormales que permiten simplificar los cálculos. Todos estos conceptos permiten determinar las características de los sistemas de ecuaciones lineales para predecir y controlar un proceso en nuestro beneficio.
Es así como se concluye con esta quinta sesión. ¡Felicitaciones por tu esfuerzo y dedicación, continúa haciéndolo! No olvides realizar y mandar en tiempo y forma tu tarea, hasta luego.
Fuentes de información
- Grossman, S. & Godoy, J. (2019). Álgebra Lineal. (8ª ed.). Mc Graw Hill.Ç
- Luque, C., Sánchez, Y. & Jiménez H. (2018). De los Grupos Abelianos al Álgebra Lineal Abstracta. (1ª Ed.). Universidad Pedagógica Nacional.
- Poole, D. (2018). Álgebra Lineal. Una Introducción Moderna. (4ª ed.). Cengage Learning.
- Saldarriaga, O. & Giraldo, H. (2018). Álgebra Lineal con el uso de Matlab. Universidad de Antioquia.
- Lay, D., McDonald, J. & Lay, S. (2016). Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. (5ª ed.). Pearson Education.
- Larson, R. (2015). Fundamentos de Álgebra Lineal. (7ª ed.). Cengage Learning.
- Gutiérrez, E. & Ochoa, S. (2014). Álgebra Lineal y sus Aplicaciones.Editorial Patria.
- Hitt, F. (2012). Álgebra Lineal. Pearson Education.
- Kolman, B. & Hill, D. (2012). Álgebra Lineal. Fundamentos y Aplicaciones. (8ª ed.). Pearson Education.
- Nicholson, W. (2003). Álgebra Lineal con Aplicaciones. (4ª ed.). Mc Graw Hill.
- GeoGebra: https://www.geogebra.org