Transformaciones lineales
Introducción
¡Hola!
Es un placer encontrarte, espero que sigas gozando de una excelente salud y tengas buen ánimo por aprender cosas nuevas de este curso, por ello te invito a la sexta clase titulada Transformaciones lineales del curso Álgebra Lineal.
Cuando observamos a los objetos desde un punto de vista distinto podemos apreciar mejor algunas características que antes pasamos inadvertidas. Esta es justo la intención de las transformaciones lineales, que podamos apreciar características de los sistemas de ecuaciones lineales que difícilmente captamos directamente de las ecuaciones algebraicas.
En esta clase digital representaremos a los sistemas de ecuaciones lineales como transformaciones lineales que tienen propiedades distintivas como el núcleo, nulidad, imagen y rango. Además, veremos que cualquier transformación lineal puede estar representada como una matriz de transformación. Mas aún, frecuentemente necesitamos aplicar dos o más transformaciones lineales a un mismo vector, y por consiguiente se incrementa la cantidad de cálculos. En estos casos, es probable que podamos aplicar operaciones con transformaciones lineales con la finalidad de reducir la cantidad de trabajo.
¡Veamos de qué tratan las transformaciones lineales!
Desarrollo del tema
Transformaciones
Transformación
En álgebra lineal las transformaciones son funciones que toman un vector v del espacio vectorial V y lo convierten en otro vector w que pertenece a un espacio vectorial distinto W, es decir.
Lo anterior se lee como «la transformación del vector v es igual al vector transformado w«.
Una transformación lineal puede tener una infinidad de efectos distintos sobre un vector. Entre los efectos más comunes que producen las transformaciones lineales sobre los vectores tenemos las expansiones, contracciones, reflexiones, proyecciones y rotaciones, aunque son frecuentes las transformaciones lineales que implican una combinación de los efectos anteriores. En el siguiente enlace encontrarás material interactivo que muestra la interpretación gráfica de Algunas transformaciones lineales en el plano (Fuente: GeoGebra, Autor: José Luis Dávila).
En la siguiente ecuación mostramos una transformación lineal de reflexión respecto al eje y.
En este caso, la transformación gráficamente funciona como un espejo que refleja a los vectores teniendo como eje de simetría al eje y. Además, las transformaciones lineales no necesariamente toman y generan vectores de la misma dimensión como en la ecuación anterior; sino que pueden tomar un vector de cualquier dimensión y transformarlo en un vector con dimensión distinta.
Podemos interpretar a un sistema de ecuaciones lineales con representación matricial (Ax=b) como una función que toma un vector x de productos y lo convierte en un vector b de materias primas requeridas para generar dichos productos. Al resolver la ecuación matricial para x estaríamos determinando la cantidad de productos generados a través un proceso empleando una cierta cantidad de materia prima b. Lo anterior es una interpretación del uso práctico que pueden tener las transformaciones.
Transformación lineal
Las transformaciones son lineales cuando cumplen con los siguientes requisitos de linealidad:
Cuando una transformación cumple con las Ecs. 3 y 4 decimos que es una transformación lineal. Si una transformación no cumple con uno o ambos requisitos de linealidad entonces es una transformación no-lineal. En esta UDA nos concentraremos en propiedades, operaciones y aplicaciones de las transformaciones lineales.
Ejemplos resueltos: Definiciones de las transformaciones lineales
Video explicativo: Definiciones de transformaciones lineales
Propiedades de las transformaciones lineales
Las transformaciones lineales tienen cuatro propiedades que son el núcleo, la nulidad, la imagen y el rango. Las transformaciones no-lineales no cuentan con estas propiedades.
Núcleo
El núcleo de una transformación lineal Nu(T) está formado por todos aquellos vectores v que pertenecen al espacio vectorial V y que al ser transformados dan como resultado el vector cero. Es decir,
En la mayoría de las ocasiones resulta más conveniente expresar al núcleo como el conjunto de vectores generado a través de combinaciones lineales de sus vectores base.
Nulidad
La nulidad de una transformación lineal ν(T) es la dimensión del núcleo, es decir, el número de vectores en la base del núcleo. Podemos expresar a la nulidad como:
Cuando el núcleo de una transformación sólo contiene al vector cero, entonces la nulidad es cero.
Imagen
La imagen de una transformación lineal im(T) está dada por el conjunto de vectores w que pertenecen al espacio transformado W y son obtenidos al aplicar la transformación T a vectores v que pertenecen al espacio V. La imagen también se puede expresar de manera equivalente como:
De manera similar al núcleo, es más conveniente expresar a la imagen como el conjunto de vectores generado a través de combinaciones lineales de los vectores base del espacio transformado W.
Rango
El rango de una transformación lineal está definido como la dimensión de la imagen, es decir,
Cabe mencionar que la suma de la nulidad más el rango es igual al número de renglones linealmente independientes de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones.
Ejemplos resueltos: Propiedades de las transformaciones lineales.
Video explicativo: Propiedades de las transformaciones lineales.
Representación matricial de las transformaciones lineales
Al principio de esta clase digital mencionamos que las transformaciones son funciones que toman un vector perteneciente a un espacio vectorial y lo convierten en otro vector que pertenece a un espacio vectorial distinto; pero no especificamos qué tipo de función porque aún no era indispensable. En concreto, las transformaciones lineales (T) son matrices (AT) que al multiplicarlas por un vector dan como resultado otro vector. Es decir,
Para obtener la representación matricial AT de una transformación lineal aplicamos la transformación a los vectores base del espacio vectorial original (V). Luego, convertimos los vectores transformados en las columnas de la matriz de transformación. Tomemos como ejemplo la transformación de reflexión mostrada en la Ec. 2,
A menos que se indique lo contrario, los vectores base del espacio original (V) son los vectores canónicos, en este caso i=(1, 0) y j=(0, 1). Al aplicar la transformación de reflexión a estos vectores base tenemos:
Después convertimos los vectores transformados en las columnas de la matriz de transformación dando como resultado,
Esta es la representación matricial de la transformación de reflexión dada por la Ec. 2. Podemos comprobar este resultado sustituyendo la transformación T en la Ec. 2 por su representación matricial de la siguiente manera:
Al resolver el producto matricial de la ecuación anterior queda en evidencia que ambos lados de la ecuación son iguales y por la tanto comprobamos que la Ec. 11 efectivamente es la representación matricial de la transformación de reflexión dada por la Ec. 2. Podemos obtener la representación matricial de cualquier transformación lineal de manera análoga a este ejemplo. En los siguientes vínculos puedes apreciar gráficamente Algunas transformaciones lineales con representación matricial (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Meléndez) y el Efecto de una transformación lineal sobre una fotografía (Fuente: GeoGebra, Autor: Laura Hidalgo).
Ejemplos resueltos: Representación matricial de las transformaciones lineales.
Video explicativo: Representación matricial de las transformaciones lineales.
Operaciones con transformaciones lineales
Frecuentemente encontramos que a un vector se le aplica más de una transformación lineal. En estos casos podemos simplificar los cálculos de dos o más transformaciones lineales en una sola haciendo uso de las operaciones con transformaciones lineales. Las operaciones con transformaciones lineales son: suma y resta de transformaciones lineales, multiplicación de una transformación lineal por un escalar o escalares y composición de transformaciones lineales. Además, las operaciones con transformaciones lineales tienen propiedades como la asociatividad de la suma, conmutatividad de la suma, idéntico aditivo, propiedad distributiva de la suma de transformaciones lineales respecto multiplicación por un escalar, propiedad distributiva de la suma de escalares respecto a la multiplicación de una transformación lineal por un escalar, propiedad pseudo-asociativa, idéntico multiplicativo de campo, etc.
A continuación, te invito a revisar un resumen en donde encontrarás la definición formal de las operaciones con transformaciones lineales, demostraciones, ejemplos y ejercicios propuestos: Operaciones con Transformaciones Lineales. (Fuente: Universidad de Guanajuato, Autor: José María Rico Martínez).
Ejemplos resueltos: Operaciones con transformaciones lineales.
Video explicativo: Operaciones con transformaciones lineales.
Para concluir el tema recordemos lo siguiente:
Las transformaciones lineales son herramientas algebraicas usadas para darle una representación alternativa a los sistemas de ecuaciones lineales. Esto nos permite obtener las propiedades de las transformaciones lineales que son: el núcleo, la nulidad, la imagen y el rango. Estas propiedades dependen únicamente de la matriz de transformación AT o equivalentemente de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales. Por lo tanto, una transformación lineal y sus propiedades son generales, ya que dependen únicamente del proceso modelado por el sistema de ecuaciones lineales y no por condiciones específicas establecidas para dicho proceso a través de los términos independientes.
Además, podemos interpretar a una transformación lineal como una caja negra que toma un vector v de un espacio vectorial V y lo convierte en otro vector w que pertenece a un espacio vectorial transformado W. Sólo necesitamos conocer al vector original v y al vector transformado w para determinar el efecto de la transformación lineal sobre los vectores. Mas aún vimos que las transformaciones lineales son funciones que representamos a través de matrices de transformación AT.
Finalmente, cuando necesitamos realizar varias transformaciones lineales a un vector es muy probable que podamos aplicar operaciones no al vector, sino a las transformaciones lineales con la finalidad de obtener una transformación lineal global que reduce la cantidad de trabajo que requerimos para transformar a un vector.
¡Genial, has llegado al final de esta clase! ¡Mis felicitaciones! En la próxima clase presentaremos una de las transformaciones lineales más usadas en diferentes campos de la ciencia: la transformación lineal para obtener valores y vectores propios. No olvides realizar y enviar correctamente la tarea asignada. Te espero en tu siguiente clase.
Conclusión
Para concluir el tema recordemos lo siguiente:
Las transformaciones lineales son herramientas algebraicas usadas para darle una representación alternativa a los sistemas de ecuaciones lineales. Esto nos permite obtener las propiedades de las transformaciones lineales que son: el núcleo, la nulidad, la imagen y el rango. Estas propiedades dependen únicamente de la matriz de transformación AT o equivalentemente de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales. Por lo tanto, una transformación lineal y sus propiedades son generales, ya que dependen únicamente del proceso modelado por el sistema de ecuaciones lineales y no por condiciones específicas establecidas para dicho proceso a través de los términos independientes.
Además, podemos interpretar a una transformación lineal como una caja negra que toma un vector v de un espacio vectorial V y lo convierte en otro vector w que pertenece a un espacio vectorial transformado W. Sólo necesitamos conocer al vector original v y al vector transformado w para determinar el efecto de la transformación lineal sobre los vectores. Mas aún vimos que las transformaciones lineales son funciones que representamos a través de matrices de transformación AT.
Finalmente, cuando necesitamos realizar varias transformaciones lineales a un vector es muy probable que podamos aplicar operaciones no al vector, sino a las transformaciones lineales con la finalidad de obtener una transformación lineal global que reduce la cantidad de trabajo que requerimos para transformar a un vector.
¡Genial, has llegado al final de esta clase! ¡Mis felicitaciones! En la próxima clase presentaremos una de las transformaciones lineales más usadas en diferentes campos de la ciencia: la transformación lineal para obtener valores y vectores propios. No olvides realizar y enviar correctamente la tarea asignada. Te espero en tu siguiente clase.
Fuentes de información
- Grossman, S. & Godoy, J. (2019). Álgebra Lineal. (8ª ed.). Mc Graw Hill.Ç
- Luque, C., Sánchez, Y. & Jiménez H. (2018). De los Grupos Abelianos al Álgebra Lineal Abstracta. (1ª Ed.). Universidad Pedagógica Nacional.
- Poole, D. (2018). Álgebra Lineal. Una Introducción Moderna. (4ª ed.). Cengage Learning.
- Saldarriaga, O. & Giraldo, H. (2018). Álgebra Lineal con el uso de Matlab. Universidad de Antioquia.
- Lay, D., McDonald, J. & Lay, S. (2016). Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. (5ª ed.). Pearson Education.
- Larson, R. (2015). Fundamentos de Álgebra Lineal. (7ª ed.). Cengage Learning.
- Gutiérrez, E. & Ochoa, S. (2014). Álgebra Lineal y sus Aplicaciones.Editorial Patria.
- Hitt, F. (2012). Álgebra Lineal. Pearson Education.
- Kolman, B. & Hill, D. (2012). Álgebra Lineal. Fundamentos y Aplicaciones. (8ª ed.). Pearson Education.
- Nicholson, W. (2003). Álgebra Lineal con Aplicaciones. (4ª ed.). Mc Graw Hill.
- GeoGebra: https://www.geogebra.org