Valores y vectores propios
Introducción
¡Hola!
¡Qué emoción volvernos a encontrar! Espero que sigas con ese mismo ímpetu de la primera clase y continúes aprendiendo, por lo tanto te invito a esta séptima clase titulada Valores y vectores propios del curso Álgebra Lineal.
En la clase anterior vimos el concepto de las transformaciones lineales. Una de las transformaciones lineales más usadas es la que da origen a los valores y vectores propios (también conocidos como valores y vectores característicos, o eigenvalores y eigenvectores). Las valores y vectores propios son características intrínsecas de los objetos o procesos modelados a través de sistemas de ecuaciones lineales y han encontrado aplicación en muchas áreas de la ciencia. Por ejemplo, los valores y vectores propios son usados en filogenética a través del análisis de componentes principales para determinar si un grupo de cepas pertenecen al mismo linaje. También pueden ser usados para determinar cómo varía la población de una especie, generación con generación. Adicionalmente, también son útiles para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales que pueden representar la interacción entre dos o más especies; algo que veremos en la próxima clase. Las anteriores son sólo algunas aplicaciones de los valores y vectores propios, pero sin duda tienen aplicación en casi todas las áreas de la ciencia.
En esta clase presentaremos el método analítico para obtener valores y vectores propios. Además, veremos el concepto de semejanza de matrices que nos permitirá darle una representación más simple y fundamental a una matriz de coeficientes.
Veamos de qué tratan en concreto los valores y vectores propios.
Desarrollo del tema
Valores y vectores propios
Consideremos un sistema de ecuaciones lineales con mismo número de ecuaciones y de incógnitas como el siguiente:
La representación matricial del sistema de ecuaciones anteriores es:
Los valores y vectores propios del sistema de ecuaciones lineales anterior y que podemos escribir de manera compacta como Ax=b dependen únicamente de la matriz de coeficientes A, la cual a su vez está determinada por las características del proceso u objeto modelado.
Los valores y vectores propios surgen de una transformación lineal en particular que toma un vector x y lo transforma en el mismo vector multiplicado por un escalar λ. Es decir,
Donde x es el vector propio y λ el valor propio. Podemos escribir esta transformación lineal como:
I es una matriz identidad con la misma dimensión que A que nos permite compensar la dimensión al factorizar x. La Ec. 5 es un sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuyas soluciones de interés son las soluciones infinitas, que son justamente los vectores propios x. Así que debemos encontrar las condiciones para que la Ec. 5 tenga soluciones infinitas. Esto ocurre cuando la matriz entre los paréntesis de la Ec. 5 es singular: por lo tanto,
La solución de este determinante genera una función que depende de λ y que es conocida como polinomio característico p(λ). Las raíces del polinomio característico son los valores propios λ de la matriz A. Una matriz A de dimensión nxn tiene n valores característicos que pueden ser reales, imaginarios o complejos (Ver el contenido interactivo Naturaleza de los valores propios, Fuente: GeoGebra, Autor: Antón Valdes Gómez). Después de calcular los valores característicos, los sustituimos uno a uno en la Ec. 5 para calcular el vector propio x asociado a cada valor de λ. Cabe mencionar que el vector propio asociado a un valor λ de hecho no es único, sino que es un conjunto infinito de vectores que usualmente se expresan como el espacio generado por el o los vectores base. Para facilitar la interpretación de los valores y vectores propios te propongo que revises el Visualizador de valores y vectores propios (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Meléndez).
Una aplicación interesante de los valores y vectores propios son los modelos de crecimiento de población como el descrito en la sección 8.2 de Grossman, 2019. La solución de este ejercicio puede comprobarse fácilmente con el archivo: Solución del Modelo de Crecimiento de Población.
Ejemplos resueltos: Valores y vectores propios.
Video explicativo: Valores y vectores propios.
Matrices semejantes
Semejanza
Dos matrices cuadradas son semejantes (no iguales) cuando tienen los mismos valores propios. Para que dos matrices cuadradas A y B sean semejantes, debe existir una matriz C tal que se cumpla la transformación de semejanza:
Una de las características más relevantes de la transformación de semejanza es que nos permite representar a una matriz A mediante una matriz semejante más sencilla y fundamental.
Diagonalización de matrices
Matriz diagonal
En una matriz diagonal, uno o más elementos en su diagonal principal son diferentes de cero; mientras que los elementos fuera de la diagonal principal son cero.
En muchas ocasiones, resulta útil representar a una matriz de manera más sencilla a través de una matriz diagonal semejante debido a que en las matrices diagonales los valores propios son los elementos en su diagonal principal.
Proceso de diagonalización
Para obtener una matriz diagonal D semejante a una matriz A se debe cumplir la siguiente transformación de semejanza:
Para encontrar la matriz diagonal D, calculamos los vectores propios de A y los convertimos en las columnas de C para después invertirla y resolver la Ec. 8. Como es de esperarse, los elementos en la diagonal principal de D serán sus valores propios y coincidirán con los de la matriz A. Opcionalmente, te sugiero revisar el siguiente contenido hipermedia: Tres aplicaciones de los valores y vectores propios (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Meléndez).
Cabe mencionar que no todas las matrices se pueden diagonalizar. Para que una matriz A de nxn sea diagonalizable es indispensable que tenga n vectores propios linealmente independientes. Cuando una matriz tiene valores y vectores propios repetidos es muy probable que no se pueda diagonalizar.
Ejemplos resueltos: Matrices semejantes y diagonalización.
Video explicativo: Matrices semejantes y diagonalización.
Matrices simétricas y diagonalización ortogonal
Matrices simétricas
En este tipo de matrices existe una correspondencia exacta entre los elementos que están a ambos lados de la diagonal principal. Si una matriz A es simétrica, entonces es igual a su transpuesta; es decir:
Un ejemplo de matriz simétrica es el siguiente:
Las matrices simétricas siempre tienen valores y vectores propios reales. Para diagonalizar una matriz simétrica es necesario aplicar un proceso de diagonalización ortogonal.
Matriz ortogonal
En las matrices ortogonales Q, las columnas representan vectores ortogonales o perpendiculares entre sí. Además, las matrices ortogonales tienen la propiedad de que su inversa es igual a su transpuesta y por lo tanto es fácil de calcular, es decir,
Diagonalización ortogonal
Para obtener una matriz diagonal D semejante a una matriz simétrica A debemos aplicar la siguiente transformación de semejanza,
La matriz Q es una matriz ortogonal cuyas columnas son vectores ortonormales obtenidos al aplicar el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt a los vectores propios de la matriz A. Veamos en el siguiente material interactivo el proceso de diagonalización ortogonal de matrices simétricas 2×2 y 3×3: Diagonalización ortogonal de matrices simétricas (Fuente: GeoGebra, Autor: Alfonso Meléndez).
Cuando una matriz A no es diagonalizable podemos obtener su Forma Canónica de Jordan que, aunque no es diagonal, también es semejante a la matriz A y tiene aplicaciones similares a la matriz diagonal. Las Formas Canónicas de Jordan serán definidas en la siguiente clase digital junto con una aplicación importante, la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales matriciales.
Ejemplos resueltos: Matrices simétricas y diagonalización ortogonal.
Video explicativo: Matrices simétricas y diagonalización ortogonal.
Conclusión
Para concluir la clase repasemos lo siguiente:
Las valores y vectores propios están determinados por la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales y están asociados a las propiedades intrínsecas del sistema u objeto estudiado. Los valores y vectores propios tienen aplicación en prácticamente todos los campos de la ciencia, incluyendo el análisis filogenético de microorganismos, modelos de crecimiento de población, la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales que representan las poblaciones de especies que interactúan sí, las vibraciones en sistemas mecánicos, sistemas eléctricos, procesamiento digital de imágenes y datos, y muchos más.
Adicionalmente, demostramos que en muchas ocasiones es posible representar a una matriz de coeficientes mediante una matriz diagonal más sencilla y práctica, pero con los mismos valores propios. También presentamos los métodos para diagonalizar matrices regulares y para la diagonalización ortogonal de matrices simétricas. Una de las aplicaciones más importantes de las matrices diagonales es justamente la solución de cierto tipo de sistemas de ecuaciones diferenciales.
Hemos llegado al final de la sesión y no me resta más que felicitarte por llegar hasta esta parte del curso. Te invito a que continúes con tu proceso formativo realizando la tarea asignada y mandarla como corresponde. Te encuentro próximamente.
Estás cerca de la meta, no te detengas.
Fuentes de información
- Grossman, S. & Godoy, J. (2019). Álgebra Lineal. (8ª ed.). Mc Graw Hill.Ç
- Luque, C., Sánchez, Y. & Jiménez H. (2018). De los Grupos Abelianos al Álgebra Lineal Abstracta. (1ª Ed.). Universidad Pedagógica Nacional.
- Poole, D. (2018). Álgebra Lineal. Una Introducción Moderna. (4ª ed.). Cengage Learning.
- Saldarriaga, O. & Giraldo, H. (2018). Álgebra Lineal con el uso de Matlab. Universidad de Antioquia.
- Lay, D., McDonald, J. & Lay, S. (2016). Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. (5ª ed.). Pearson Education.
- Larson, R. (2015). Fundamentos de Álgebra Lineal. (7ª ed.). Cengage Learning.
- Gutiérrez, E. & Ochoa, S. (2014). Álgebra Lineal y sus Aplicaciones.Editorial Patria.
- Hitt, F. (2012). Álgebra Lineal. Pearson Education.
- Kolman, B. & Hill, D. (2012). Álgebra Lineal. Fundamentos y Aplicaciones. (8ª ed.). Pearson Education.
- Nicholson, W. (2003). Álgebra Lineal con Aplicaciones. (4ª ed.). Mc Graw Hill.
- GeoGebra: https://www.geogebra.org