Sistemas de ecuaciones diferenciales matriciales
Introducción
¡Hola!
Espero que te encuentres gozando de una salud impecable y sobre todo mantengas tu buen ánimo para continuar con tu última clase del curso a la cual se le ha llamado Sistemas de ecuaciones diferenciales matriciales del curso de Álgebra Lineal.
Algunas matrices de coeficientes no son diagonalizables debido a la dependencia lineal de sus vectores propios. Cuando una matriz de coeficientes no es diagonalizable podemos obtener su forma canónica de Jordan, la cual proporciona información similar a la matriz diagonal.
En esta clase definiremos conceptos como los bloques de Jordan y las matrices de Jordan; y mostraremos cómo obtenerlas. También presentaremos una aplicación importante de los valores y vectores propios que consiste en la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales matriciales de primer orden. Finalmente aplicaremos este método de solución al análisis de un modelo de población tipo presa-depredador.
Espero que disfrutes tu última sesión. ¡Mucho éxito!
Desarrollo del tema
Formas canónicas de jordan
Bloques de Jordan
Un bloque de Jordan B(λ) es una matriz cuadrada de dimensión nxn con el mismo valor λ en todos los elementos de la diagonal principal, unos arriba de la diagonal principal y ceros en los elementos restantes. Los siguientes son algunos ejemplos de bloques de Jordan,
Matriz de Jordan
Una matriz de Jordan (J) es una matriz cuadrada de dimensión kxk que tiene bloques de Jordan en la diagonal principal y ceros en los elementos restantes; es decir:
En una matriz de Jordan cada uno de los bloques puede tener una dimensión distinta. Además, es interesante notar que cuando una matriz de Jordan está formada por bloques de 1×1 obtenemos una matriz diagonal; por lo tanto, una matriz diagonal es una matriz de Jordan.
Formas canónicas de Jordan
Para cualquier matriz cuadrada (A) de dimensión kxk existe una matriz C tal que se cumple la siguiente transformación de semejanza,
J es una matriz de Jordan cuyos elementos en la diagonal principal coinciden con sus valores propios y con los de la matriz A; por lo tanto, J es semejante a la matriz A. Esta matriz de Jordan es conocida como la Forma Canónica de Jordan de la matriz A.
Cuando la matriz A es diagonalizable, la matriz C está formada por los vectores propios linealmente independientes de A. Sin embargo, cuando la matriz A no es diagonalizable los vectores propios de A son dependientes. En este último caso, la matriz C estará formada por un vector propio repetido o dependiente v1 y por un vector propio generalizadov2 que satisface la siguiente ecuación:
De esta manera obtendremos la forma canónica de Jordan para matrices diagonalizables y no diagonalizables.
Ejemplos resueltos: Formas canónicas de Jordan.
Video explicativo: Formas canónicas de Jordan.
Sistemas de ecuaciones diferenciales matriciales
Ecuación diferencial
Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye derivadas con respecto de al menos una variable independiente. Las ecuaciones diferenciales a menudo surgen cuando modelamos procesos naturales o de laboratorio. Por ejemplo, frecuentemente es relevante la tasa relativa de crecimiento de una población de una especie, la cual está definida por la siguiente expresión:
Donde x´(t) es dx/dt y x(t) es la función de población con respecto del tiempo t. Si la población ha llegado al estado estable, entonces la tasa relativa de crecimiento es igual a una constante (a), y podemos reescribir la Ec. 5 de la siguiente manera,
Las funciones que son proporcionales a su primera derivada son las exponenciales. Por esa razón, la función solución de la Ec. 6 es:
x0 es un valor inicial que corresponde al valor de la función x en t=0 y necesitamos conocerlo para obtener la solución particular de la ecuación diferencial.
Sistema de ecuaciones diferenciales matriciales
Frecuentemente necesitamos analizar procesos en los que están relacionadas varias funciones determinadas por ecuaciones diferenciales. Así pues, un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de ecuaciones diferenciales que dependen de las mismas funciones. Existe una amplia variedad de ecuaciones diferenciales y métodos para resolverlas, aquí consideraremos un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden con n funciones desconocidas de la siguiente forma,
La representación matricial de este sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden es:
Podemos expresar a la Ec. 9 de manera compacta como:
de las funciones solución del sistema de ecuaciones. Esta ecuación matricial es muy parecida a la Ec. 6 y también tiene una solución exponencial de tipo eAt; sin embargo, es importante recordar que la Ec. 10 no es escalar, sino matricial y por esta razón necesitamos definir eAt.
Matriz solución principal
eAt es una matriz cuadrada que se denomina matriz exponencial o matriz solución principal de la ecuación x´(t)=Ax(t). Para obtener la matriz solución principal identificamos dos casos: matrices diagonalizables y matrices no diagonalizables.
Si la matriz A es diagonalizable, entonces primero obtenemos su forma canónica de Jordan (matriz diagonal),
Cuando la matriz A no es diagonalizable hay una modificación en el procedimiento. Por ejemplo, para una matriz A de 2×2 no diagonalizable debemos calcular su forma canónica de Jordan como,
Para matrices no diagonalizables de mayor dimensión seguimos el razonamiento anterior y la estructura de las matrices de Jordan. Una vez que determinamos la matriz eJt obtenemos la matriz solución principal mediante la siguiente ecuación:
Donde C es la matriz formada con los vectores propios linealmente independientes de la matriz A. En caso de que la matriz A tenga valores y vectores propios dependientes calculamos un vector propio generalizado para formar la matriz C.
Solución del sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden
La solución del sistema de ecuaciones diferenciales de la Ec. 9, que expresamos matricialmente como x´(t)=Ax(t), es:
Aplicación: modelo presa-depredador
x0 es el vector con los valores iniciales de las funciones solución y eAt es la matriz solución principal del sistema de ecuaciones diferenciales.
Consideremos un ecosistema en donde dos especies con poblaciones x1(t) y x2(t) interactúan mutuamente. Podríamos representar matemáticamente a este ecosistema a través de un modelo biológico simplificado determinado por el crecimiento relativo de ambas especies como:
Este sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden tiene tres casos particulares. Cuando a12 y a21 son negativos, las especies compiten por la supervivencia porque el aumento de una población implica la disminución de la otra; en este caso tenemos un «Modelo competitivo». Por otra parte, si a12 es negativo y a21 es positivo tendremos que un aumento en la población uno implica que la población dos crece y que un incremento en la población dos implica una disminución de la especie uno; por lo tanto, esto corresponde a un «Modelo presa-depredador» donde la especie 1 es la presa y la especie 2 la depredadora. Finalmente, si a12 y a21 son positivos tendríamos un «Modelo simbiótico» donde cada especie favorece el incremento de la población de la otra.
Consideremos el siguiente Modelo presa-depredador,
Para este sistema las poblaciones iniciales de presas y depredadores son x1(0)=100 y x2(0)=20, respectivamente; donde t está dada en años. La matriz de coeficientes de este sistema de ecuaciones diferenciales es:
Los valores propios de A son λ1=λ2=3, con un mismo vector propio v1=(1,-1). Un vector propio generalizado que satisface la ecuación (A-λI)v2=v1 es v2=(1,-2). Entonces,
La matriz solución principal es:
Por lo tanto, la solución de este sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden es:
De la ecuación anterior vemos que la población de presas como función del tiempo es x1(t)=100e3t-120te3t; mientras que la población de depredadores es x2(t)=20e3t+120te3t. Aunque al inicio la población de presas es cinco veces mayor que la de depredadores, conforme transcurre el tiempo la población de presas disminuye y los depredadores aumentan de tal manera que las presas serían exterminadas cuando x1(t)=100e3t-120te3t=0. Es decir, las presas serían eliminadas en t=5/6 de año o 10 meses y habría 1461 depredadores.
Ejemplos resueltos: Ecuaciones diferenciales matriciales aplicadas a un Modelo Presa-Depredador.
Video explicativo: Ecuaciones diferenciales matriciales aplicadas a un modelo Presa-Depredador.
Conclusión
Para concluir la clase repasemos lo siguiente:
En esta clase vimos que todas las matrices de coeficientes con mismo número de renglones y columnas tienen una forma canónica de Jordan, la cual es una matriz cuyos elementos en la diagonal principal coinciden con sus valores propios y con los de la matriz de coeficientes. Por lo tanto, las formas canónicas de Jordan son una representación más fundamental y práctica de una matriz de coeficientes, y podemos emplearlas en diversas aplicaciones incluyendo la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. Los sistemas de ecuaciones diferenciales sirven para modelar matemáticamente una gran diversidad de procesos naturales o de laboratorio tales como los modelos de crecimiento de población y nos permiten determinar el tipo de interacción que existe entre especies.
¡Enhorabuena!
¡Has concluido la última clase del curso! ¡Muchas felicidades! Ahora tienes más herramientas para analizar, predecir y controlar una amplia variedad de procesos en beneficio de las personas y el medio ambiente. Ha sido un gozo compartir contigo este trayecto formativo. Deseo que el curso haya cumplido con tus expectativas y encuentres satisfacción con los temas abordados, así como con tu desempeño y compromiso. No olvides realizar la tarea asignada para la plena conclusión del curso. Espero encontrarte nuevamente, ¡hasta pronto!
Fuentes de información
- Grossman, S. & Godoy, J. (2019). Álgebra Lineal. (8ª ed.). Mc Graw Hill.Ç
- Luque, C., Sánchez, Y. & Jiménez H. (2018). De los Grupos Abelianos al Álgebra Lineal Abstracta. (1ª Ed.). Universidad Pedagógica Nacional.
- Poole, D. (2018). Álgebra Lineal. Una Introducción Moderna. (4ª ed.). Cengage Learning.
- Saldarriaga, O. & Giraldo, H. (2018). Álgebra Lineal con el uso de Matlab. Universidad de Antioquia.
- Lay, D., McDonald, J. & Lay, S. (2016). Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. (5ª ed.). Pearson Education.
- Larson, R. (2015). Fundamentos de Álgebra Lineal. (7ª ed.). Cengage Learning.
- Gutiérrez, E. & Ochoa, S. (2014). Álgebra Lineal y sus Aplicaciones.Editorial Patria.
- Hitt, F. (2012). Álgebra Lineal. Pearson Education.
- Kolman, B. & Hill, D. (2012). Álgebra Lineal. Fundamentos y Aplicaciones. (8ª ed.). Pearson Education.
- Nicholson, W. (2003). Álgebra Lineal con Aplicaciones. (4ª ed.). Mc Graw Hill.
- GeoGebra: https://www.geogebra.org