Derivadas sucesivas
Introducción
¡Hola!
Me complace enormemente saber de ti, espero que compartas mi emoción y te sumes con una gran actitud y ánimo a esta clase 12 titulada Derivadas sucesivas del curso Cálculo Diferencial
Vamos a continuar aprendiendo sobre las derivadas. En esta clase vamos a practicar las derivadas sucesivas.
Vamos a estudiar que una derivada de orden superior o sucesiva es la derivada que resulta de formar una nueva función a partir de una primera derivada. Como ya sabemos, si se tiene una función f, que es derivable, se puede formar una nueva función que se denota por f’. Y como ya vimos antes, se lee primera derivada o f prima. De forma sucesiva se pueden obtener más funciones derivadas a partir de la primera, las cuales se van nombrando: segunda, tercera, cuarta, .. n-ésima derivada.
¿Cuántas veces podemos derivar una función? La respuesta es n-veces o hasta que se tenga como resultado 0. Y será que todas las funciones que se deriven n-veces ¿nos den cero al final? Piénsalo.
Las derivadas de orden superior tienen importantes aplicaciones como el dar información sobre el trazo de la gráfica de una función, la prueba de la segunda derivada para extremos relativos y la determinación de series infinitas.
Cuento con que esta clase sea de gran apoyo para ti. ¡Éxito!
Desarrollo del tema
Empezamos con el tema de las derivadas de diversos órdenes.
Supongamos que la función y = f(x) es derivable en un intervalo cerrado [a,b]. Los valores de la derivada f'(x) dependen generalmente de (x), es decir, la derivada f'(x) también es función de x. Si derivamos esta última función obtenemos la llamada segunda derivada de la función f(x).
Entonces, la derivada de la primera derivada se conoce también como derivada de segundo orden o derivada segunda de la función original y se designa por el símbolo y» o f»(x).
La derivada de la segunda derivada se conoce como derivada de tercer orden o derivada tercera y se designa por y»’ o f»'(x).
De forma general la derivada de la derivada de orden (n-1) se denomina derivada de n-ésimo orden de la función f(x) y se designa por el símbolo y(n) o fn(x). El orden de la derivada se pone entre paréntesis para no confundirlo con un exponente de potencia. Las derivadas de cuarto, quinto, sexto, etc; órdenes pueden designarse por cifras romanas como: yIV, yV, yVI, etc. En este caso el orden de la derivada se puede escribir sin paréntesis.
Ejemplo 1: y = x5, obtener sus n-ésimas derivadas.
Ejemplo 2: Sea la función y = ekx, donde k es una constante. Hallar una expresión general de su derivada de orden n.
Solución: y’ = kekx, y» = k2ekx, y»’ = k3ekx,…, y(n) = knekx
Ejemplo 3: Sea la función y = senx. Hallar y(n).
Ejercicios A: En las siguientes funciones determina la primera y segunda derivada.
Ejercicios B: hallar la tercera y cuarta derivada de los siguientes ejercicios:
Las derivadas sucesivas también se pueden expresar con la notación de Leibniz de la siguiente manera:
Primera derivada:
Segunda derivada:
En general podemos expresar las derivadas sucesivas con la notación de Leibniz, donde n representa el orden de la derivada.
Ejercicios C: Utiliza la notación de Leibniz para obtener la segunda y cuarta derivada de las siguientes funciones:
Nota: Para resolver dudas puedes solicitar asesorías con el profesor de la materia.
Conclusión
Para concluir recordemos lo siguiente:
Las derivadas sucesivas son interesantes porque nos brindan información de algún problema en particular con aplicación en la física, mecánica, economía, medicina, análisis de circuitos, etc.
La segunda derivada de una función es utilizada en el Cálculo Diferencial en las aplicaciones de la derivada para obtener concavidades en las funciones, puntos de inflexión, máximos y mínimos que aportan información importante que podremos observar en las gráficas de las funciones.
Con la segunda derivada también podremos evaluar si existen máximos y mínimos en problemas prácticos, y poder tomar decisiones en cuanto el criterio a utilizar.
Se debe tener cuidado con los signos al aplicar las fórmulas básicas de la derivación y estar atentos a las reglas del álgebra y las leyes de los exponentes. Con paciencia y práctica, tendrás más habilidad para resolver las derivadas, que te servirán de mucho para problemas de aplicación.
¡Te felicito por tu logro! Te invito a continuar con tu proceso formativo realizando y mandando la actividad asignada a esta clase. “Perseverar es sinónimo de tenacidad, no decaigas sigue perseverando en tu educación” Te encuentro en la siguiente clase. Hasta luego.
Fuentes de información
- Swokowski, E. W. (1989). El Cálculo con Geometría Analítica. (2a ed.). Grupo Editorial Iberoamérica.
- Leithold, L. (1994).El Cálculo. (7a ed.). Oxford University Press.
- Manual de fórmulas y tablas matemáticas.