Criterio de la primera derivada (Máximos y mínimos)
Introducción
¡Hola!
Qué gusto encontrarte nuevamente en este curso, te doy la bienvenida a la clase 14 titulada Criterio de la primera derivada (Máximos y mínimos) del curso Cálculo Diferencial.
Hola, ahora abordaremos un tema muy interesante, en el cual empezamos a ver la utilidad de la derivada de una función. A partir de esta clase vamos a usar las derivadas para analizar una función y observar su utilidad al evaluarla en diferentes puntos clave de la curva.
La visión de Newton y Leibnitz para relacionar los grandes problemas de la mecánica y de la geometría de la ciencia del siglo XVII, que básicamente se referían a incrementos y cantidades de cambio en el estudio del movimiento y la determinación de tangentes a una curva dada, respectivamente, proporcionó el método general para resolverlos que ya conocemos como derivación (o diferenciación). En el desarrollo de estas teorías surge la teoría del criterio de la primera derivada. Ahora la problemática no será el uso de la herramienta (derivar), sino la interpretación de los resultados.
La derivación de funciones es una herramienta muy poderosa que, asociada a la metodología del criterio de la primera derivada, permite encontrar los valores máximos y mínimos de una función. Para comprender este proceso, es necesario relacionarlo a la interpretación geométrica de la derivada. ¿La recuerdas?
Entonces estaremos observando los cambios de la pendiente a la curva, que se reflejan en el signo de esta, ya que también cambia el ángulo de la pendiente, debido a su posición en algún punto en la curva.
Vamos a ver de qué se trata esta metodología. Entremos en materia. ¡Éxito!
Desarrollo del tema
Vamos a empezar recordando algunos conceptos básicos que nos van a ser útiles para aplicar el criterio de la primera derivada con el objetivo de encontrar máximos y mínimos.
Recordemos que la pendiente de una recta es igual a la tangente de su ángulo de inclinación m = tan tan α.
También recordemos que la primera derivada de una función dy / dx es igual a la pendiente de cualquier recta tangente a la curva que representa a dicha función y
Ahora relacionando estos conceptos tenemos que si es un ángulo agudo, es decir < 90 ̊, la pendiente de la recta tangente es positiva, y por lo tanto, también la primera derivada es positiva, es decir > 0. Esto incluye que si es un ángulo obtuso, es decir > 90 ̊, la pendiente de la recta tangente es negativa, y por lo tanto, también la primera derivada es negativa, es decir < 0.
Definición:
f(x) es creciente en x = a si f'(x) > 0 y f(x) es decreciente en x = b si f'(x) < 0
En las siguientes gráficas se ilustra la definición dada de la función creciente y decreciente en algún valor de (x) cuando la primera derivada es positiva o negativa.
Observamos cómo la pendiente cambia de dirección cuando cambiamos el valor de (x), y este movimiento de la pendiente a lo largo de la curva, cambia su ángulo y por lo tanto el signo.
Observamos que independientemente del valor de (x), el signo de la derivada nos dirá si tenemos que f(x) es creciente o decreciente.
Nota: En la siguiente liga puedes jugar con la pendiente y obtener más información de la gráfica: La derivada y el crecimiento.
Ahora vamos a aprender cómo se calculan máximos y mínimos utilizando la información anterior. Tomemos en cuenta que si el ángulo de inclinación de una recta tangente a una curva es igual a 0 ̊, entonces la pendiente mT y la primera derivada y’ es igual a cero. ¿Cuándo sucede esto?
Definición 1:
f(x) tiene un máximo en x = c si cumple con las siguientes condiciones:
1. Que f'(c) = 0
2. Que f’ para un valor un poco menor que c sea positiva (>0), es decir, que f(x) para dicho valor sea creciente.
3. Que f’ para un valor un poco mayor que c sea negativa (<0), es decir, que f(x) para dicho valor sea decreciente.
Definición 2:
f(x) tiene un mínimo en x = c si cumple con las siguientes condiciones:
1. Que f'(c) = 0
2. Que f’ para un valor un poco menor que c sea negativo (<0), es decir, que f(x) para dicho valor sea decreciente.
3. Que f’ para un valor un poco mayor que c sea positivo (>0), es decir, que f(x) para dicho valor sea creciente.
Ahora vamos a hacer unos ejemplos para ilustrar cómo aplicar el criterio de la primera derivada:
Ejemplo 1: Determina los intervalos en donde las siguientes funciones son crecientes o decrecientes, también calcula sus máximos y mínimos.
Ahora practica aplicando el criterio de la primera derivada a las siguientes funciones.
¿Alguna duda en el procedimiento o los resultados? Contacta al docente para una asesoría.
Conclusión
Para concluir la clase repasemos lo siguiente:
El criterio de la primera derivada se utiliza para obtener máximos y mínimos de una función o curva. Para este criterio se debe observar cuando una función es creciente y decreciente. Usando los 3 criterios para determinar cuándo se tiene un máximo o un mínimo, se debe observar el signo de la derivada evaluada a los lados del valor crítico y verificar que la derivada evaluada en ese valor es cero. Estas tres condiciones nos ayudarán a determinar si efectivamente la curva muestra un máximo o un mínimo, o ambos.
Este criterio es sencillo porque solo se trabaja con la primera derivada de la función, y en caso de que no se den los valores críticos, estos se obtienen igualando la primera derivada a cero y despejando (x).
Es así como llegamos al término de esta clase. Espero que todas tus dudas se hayan disipado con la información propuesta. Para finalizar la clase debes hacer la actividad correspondiente. ¡Vas muy bien, ya casi terminas este trayecto formativo felicidades! Te espero en la siguiente clase.
Fuentes de información
- Swokowski, E. W. (1989). El Cálculo con Geometría Analítica. (2a ed.). Grupo Editorial Iberoamérica.
- Leithold, L. (1994).El Cálculo. (7a ed.). Oxford University Press.
- Máximo y mínimo relativos.