Criterio de la segunda derivada (Máximos y mínimos)
Introducción
¡Hola!
¡Qué bueno es encontrarte nuevamente! Te doy la bienvenida a la clase digital 15 del curso Cálculo Diferencial en la que estudiaremos el tema Criterio de la segunda derivada (Máximos y mínimos).
En esta clase vamos a abordar el tema del criterio de la segunda derivada. Es importante recordar que es un teorema o método del cálculo diferencial, en el cual se usa la segunda derivada, para determinar los máximos o mínimos de una función matemática. Se basa en el concepto de concavidad o convexidad en un intervalo de una función, que se determina observando el signo de la segunda derivada evaluada en un punto crítico de la misma.
Básicamente se utiliza para determinar extremos locales en el caso de que trabajar con la primera derivada sea complicado o laborioso. Además, los puntos que anulan la segunda derivada son candidatos a ser puntos de inflexión, es decir, puntos donde la curvatura de la función cambia de tipo.
Veamos cómo es esto. ¡Mucho éxito!
Desarrollo del tema
Iniciamos con la idea de que la segunda derivada de una función también proporciona información sobre el comportamiento de dicha función. Para comenzar este estudio empecemos con las siguientes definiciones.
Además, consideramos que:
f(x) tiene un punto de inflexión, es decir, cambio de concavidad en x = d si cumple con las siguientes condiciones:
1. Que f»(d) = 0
2. Que f» para un valor un poco menor que d, sea positivo (+) o negativo (-).
3. Que f» para un valor un poco mayor que d, sea negativo (-) o positivo (+).
Vamos a utilizar las definiciones anteriores para aplicar el criterio de la segunda derivada para encontrar máximos y mínimos, así como otra definición muy importante para aplicar el criterio.
f(x) tiene un máximo en x = c si cumple con las siguientes condiciones:
1. Que f'(c) = 0
2. Que f»(c) < 0, entonces en (c,f(x)) es cóncava hacia abajo (∩)
f(x) tiene un mínimo en x = c si cumple con las siguientes condiciones:
1. Que f'(c) = 0
2. Que f»c > 0, entonces en (c,f(x)) es cóncava hacia arriba (∪).
Vamos a ver unos ejemplos para aplicar lo que acabamos de estudiar.
Ejemplo 1: En la siguiente función vamos a determinar las concavidades hacia abajo y hacia arriba y las coordenadas de sus puntos de inflexión.
Ejercicio 1: Repite el procedimiento para la siguiente función.
Ejemplo 2: Calcula los máximos y mínimos de la siguiente función aplicando el criterio de la segunda derivada.
Ahora practica el procedimiento del criterio de la segunda derivada para obtener máximos y mínimos.
Ejercicio 2:
Ejercicio 3: Gráfica las siguientes funciones. Indica en cada caso los intervalos donde es creciente o decreciente, intervalos donde es cóncava hacia abajo o cóncava hacia arriba, máximos o mínimos relativos y puntos de inflexión.
Conclusión
Concluimos la sesión mencionando que:
En esta clase aprendimos a clasificar los puntos de una función como máximos, mínimos, puntos de inflexión con base a la segunda derivada.
Ahora sabemos que la segunda derivada nos da información acerca de la primera derivada y la utilizamos para calcular los máximos y mínimos de la función. También sabemos que la pendiente de las rectas tangentes disminuye conforme avanzamos sobre el eje (x). Es decir, para valores negativos, las pendientes de las rectas tangentes son positivas y para valores positivos de las rectas tangentes son negativas.
Esto significa que la razón de cambio de la derivada de la función en el intervalo que vemos en la gráfica de la figura, es negativa ya que las pendientes van decreciendo.
En conclusión, si la segunda derivada de la función evaluada en un punto crítico es negativa, entonces el punto crítico corresponde a un máximo.
De manera semejante, si la derivada de una función en un punto crítico es positiva, entonces el punto crítico es un mínimo de la función.
Pero se tiene un caso especial. Cuando el valor de la segunda derivada de la función es evaluado en el punto crítico y es cero. En este punto, la derivada deja de crecer (o decrecer) y empieza a decrecer (o crecer). A este punto crítico lo llamaremos punto de inflexión.
Has concluido la clase. ¡Muchas felicidades! Recuerda que estás por terminar este curso, que tu ánimo no decaiga continúa esforzándote. No olvides realizar la tarea asignada y mandarla como corresponde. Te espero en la próxima sesión, ¡hasta pronto!
Fuentes de información
- Swokowski, E. W. (1989). El Cálculo con Geometría Analítica. (2a ed.). Grupo Editorial Iberoamérica.
- Leithold, L. (1994).El Cálculo. (7a ed.). Oxford University Press.
- Larson, R. (2006). Cálculo. (8a ed.). McGraw-Hill Interamericana