Aplicaciones de la Derivada (general)
Introducción
¡Hola!
Es muy grato tenerte como estudiante en este curso, para mi es un gran honor encontrarme con personas tan disciplinadas y comprometidas con su educación como lo eres tú ¡Te felicito!
Volviendo al tema de las clases, te invito a proseguir con esta nueva sesión número 16 titulada Aplicaciones de la Derivada (general) del curso Cálculo Diferencial.
Vamos a iniciar una clase en la cual, vamos a aplicar lo que aprendimos de los criterios de la primera y segunda derivada y los conceptos relacionados.
Sabemos que, todos los días nos enfrentamos a situaciones que, en algún momento, pueden ser problemáticas, y de las cuales siempre intentamos una mejora en la calidad, una mayor utilidad, optimizar recursos, etc. Por ejemplo, en un invernadero, en cualquier época del año, siempre se busca invertir la menor cantidad posible de insumos para lograr tener un mayor beneficio. Otro ejemplo podría ser el cálculo de la velocidad máxima de un auto tipo camioneta para optimizar el gasto de gasolina al viajar de una ciudad a otra. Pero podría ser un viaje en avión, o un cohete espacial. Aquí es donde entra la aplicación de las derivadas referente a máximos o mínimos. En esta clase vamos a revisar algunos problemas prácticos, de forma general, respecto a la aplicación de máximos y mínimos en diferentes temas relacionados a las ciencias o tecnología, que surgen en la vida cotidiana.
En el transcurso del estudio de las aplicaciones piensa en un tema para tu proyecto final con base a este tema.
Dicho lo anterior, continuemos nuestra clase. ¡Ánimo!
Desarrollo del tema
Estamos ahora en un punto fundamental e importante del Cálculo Diferencial. Estamos por utilizar todos nuestros conocimientos matemáticos como la aritmética, el álgebra, la geometría analítica y por supuesto el Cálculo Diferencial. No te preocupes, si no lo recuerdas todo, ya que en el trayecto podrás investigarlos, leerlos, ponerlos en práctica, y seguir intentando hasta tener resultados.
Es importante que te tengas confianza y que preguntes, que veas cómo se resolvieron problemas similares y sobre todo, darte cuenta que no todos empiezan a resolver los problemas de la misma manera. Hay quien los resuelve muy rápido, hay quien se tarda más, lo importante es practicar, aplicar el razonamiento crítico y vivir la emoción de resolver los problemas. No tienes que resolver demasiados, pero sí los suficientes para darte cuenta de que has aprendido sobre un tema, que tiene aplicación en la vida cotidiana.
Ten en mente, que resolver problemas prácticos de máximos y mínimos puede significar en la mayoría de los casos la optimización de recursos, y en consecuencia, un ahorro económico. ¿Conoces alguna empresa donde no quieran tener ahorros económicos?
Debes entender, que no existe una regla estandarizada para resolver este tipo de problemas, pero si hay algunas instrucciones por las cuales podemos guiarnos, pero depende de tu raciocinio, que las intercales, o modifiques en algún momento, y eso es válido mientras llegues a un resultado congruente.
Veamos las instrucciones por pasos.
Paso 1. Si el problema lo permite, elabora un esquema que incluya datos y variables, como los que hacías en física de la prepa.
Paso 2. A partir del enunciado del problema, y con tus conocimientos matemáticos, establece las relaciones necesarias entre datos y variables. ¿Cuántas? Las que consideres necesarias, con el tiempo descartarás y sabrás con cuántas puedes resolver un problema.
Paso 3. Cuando identifiques qué función vas a maximizar o minimizar, ponla en términos de una sola variable.
Paso 4. Utiliza cualquiera de los criterios de la derivada que ya conoces, para calcular los máximos y los mínimos.
Paso 5. Construye una gráfica de la función para corroborar resultados.
Paso 6. Si no concuerdan los resultados, revisa tu procedimiento y corrige.
Ahora vamos a resolver algunos problemas, que te darán idea de cómo se aplican estas instrucciones y al mismo tiempo te darás una idea de lo que se trata el aplicar los conocimientos matemáticos para llegar a una solución.
Empezamos.
Ejemplo 1. Encuentra dos números positivos cuya suma sea 60, de manera que el producto del primero por el cuadrado del segundo sea Máximo.
Solución: El primer número lo registramos como (x), y el segundo como (y). De acuerdo con el enunciado tenemos que:
El problema nos está indicando que el producto debe ser máximo, por esta razón vamos a hacer que la función PM quede en términos de una sola variable. Entonces vamos a despejar la ecuación (1) y la sustituimos en la ecuación (2).
Usamos el criterio de la primera derivada con x2 = 20:
Ejemplo 2: Un hombre desea cercar un terreno rectangular, uno de sus lados coincide con la ribera de un río. Si cuenta con 400m de cerca ¿Qué dimensiones le permitirán abarcar la mayor área posible?
De acuerdo al enunciado, queremos hacer máxima el área, por lo tanto en la ecuación 2, la función A queda en términos de una sola variable.
Derivando: A’=400-4x
Igualando a cero: 400-4x=0
x=100 valor crítico para máximo o mínimo
Calculando la segunda derivada: A»= -4
Usando el criterio de la segunda derivada para evaluar máximo o mínimo, entonces:
A»(100) = -4 y f(x) es ∩
Entonces si x=100, y=400 -2(100) = 200. Y el área máxima es:
área máxima = (200)(100) = 20,000m2
Resultado: El terreno tiene por dimensiones: largo = 200m, ancho=100m. área máxima = 20,000m2
Ejemplo 3: Una página rectangular tiene 65 in2 de impresión. Los márgenes superior e inferior de la página tienen, cada uno, 0.5 in de ancho y los márgenes laterales tienen cada uno 1 in. ¿Cuáles habrán de ser las dimensiones de la página de manera que la cantidad de papel a utilizar sea mínima?
El problema nos indica que el área del papel debe ser mínima, por esto, la ecuación (2) queda en términos de una sola variable.
Entonces despejamos (1) y la sustituimos en (2):
¿Son ambos resultados adecuados para obtener un máximo o un mínimo? Si/No. Explica.
Vamos a evaluar si hay un mínimo en x1 = 11.40 y utilizaremos el criterio de la primera derivada.
Ejemplo 4: Se desea construir una caja sin tapa, cortando cuadros en las esquinas de una hoja de cartón de 30 cm de lado. ¿De qué medida deben cortarse los cuadros en las esquinas para obtener cajas de volumen máximo?
Derivando la ecuación (1): V’ = 900 – 240x + 12x2
¿Son válidos ambos valores para resolver el problema? ¿Por qué?
Obteniendo la segunda derivada: V»= -240 + 24x
Evaluamos x2 = 5 buscando un máximo aplicando el criterio de la segunda derivada.
V»(5) = -240+24(5) = -120 entonces por el signo f(x) es ∩ y comprobamos que hay un máximo.
Evaluamos el valor crítico para obtener el volumen de la caja máximo.
Ejercicios:
Ej.1 Se quiere construir un recipiente cilíndrico metálico de base circular, de 50000 litros de capacidad. Encuentre las dimensiones adecuadas para que la cantidad de metal (área total) sea mínima en caso de que el recipiente esté cerrado.
Ej. 2 Encuentre la altura del cono de volumen máximo que puede inscribirse en una esfera de radio R.
Ej. 3 Encuentre dos números enteros positivos cuyo producto sea 200 y la suma del primero más el doble del segundo sea mínimo.
Ej. 4 Se quiere construir una cisterna con una capacidad de 10000 litros. Si la forma de la cisterna es la de un paralelepípedo de base cuadrada y el costo del piso y de las paredes laterales es la mitad de lo que cuesta la tapa, encuentre qué medidas debe tener la cisterna para que su costo sea mínimo.
Conclusión
En conclusión, en esta clase hemos puesto en práctica los criterios de la primera y segunda derivada para algunas aplicaciones generales. Como puedes observar, necesitamos aplicar todo lo que sabemos de matemáticas como aritmética, álgebra, y lo que se aprendió de cálculo diferencial.
Hemos llegado al final de la sesión y me parece que vas sobre pasos muy seguros hacia el éxito. ¡Te felicito! No olvides la tarea asignada a esta clase, recuerda que es tu evidencia de aprendizaje, mándala como corresponde. Nos encontramos en la siguiente clase.
Fuentes de información
- Swokowski, E. W. (1989). El Cálculo con Geometría Analítica. (2a ed.). Grupo Editorial Iberoamérica.
- Leithold, L. (1994).El Cálculo. (7a ed.). Oxford University Press.
- Larson, R. (2006). Cálculo. (8a ed.). McGraw-Hill Interamericana