Aplicaciones de la derivada (administración)
Introducción
¡Hola!
Es una alegría encontrarnos en este espacio formativo, espero que sigas gozando de buena salud y de un excelente ánimo pues te ayudarán bastante para completar este curso que ya está entrando a su etapa final; por lo tanto te invito a tu clase 17 titulada Aplicaciones de la derivada (administración) del curso Cálculo Diferencial.
Vamos a continuar aplicando lo que aprendimos de los criterios de la primera y segunda derivada y los conceptos relacionados al tema, pero a problemas concernientes con la administración, economía y temas afines.
Sabemos hasta ahora que las matemáticas aplicadas como el cálculo diferencial y sus funciones pueden representar algún criterio para tomar decisiones. Por ejemplo, una función puede simbolizar las utilidades, o los ingresos, costos o el nivel de contaminación de una empresa. Esta función se expresa en términos de alguna variable que afecta su comportamiento y debe seleccionarse adecuadamente por la persona que va a tomar la decisión con el fin de conseguir un objetivo preestablecido. Ya sabemos que una función la podemos estudiar al graficar, derivar, y aplicar los criterios de la derivada, pero ahora con un fin específico.
Un criterio común para seleccionar alguna opción, en la toma de decisiones en las áreas de las ciencias sociales tiene como objetivo maximizar algún beneficio. Esto se refiere a la ganancia total de la empresa, la utilidad que tiene un producto o un servicio para un consumidor, la calidad del producto, entre otros. Por otro lado, se desea minimizar el costo de producción total o de un producto terminado, los tiempos muertos en la línea de producción, o los desperdicios de material, así como los costos de envío.
En economía se clasifican los problemas de maximización o minimización como problemas de optimización y deben entenderse como “la búsqueda de lo mejor”. Sin embargo, los términos máximo o mínimo, de forma matemática, no implican una optimización y es por esto por lo que también se les conoce como valores extremos.
Debemos recordar que la esencia del problema de optimización es elegir, sobre la base del criterio seleccionado, la mejor alternativa para resolver un problema.
Sin más que agregar, te invito a empezar la clase.
Desarrollo del tema
De la clase anterior, ya tenemos idea de que cuando se formula un problema de optimización, primero hay que definir la función objetivo, en donde la variable dependiente es en esencia el objeto a maximizar o minimizar y el conjunto de variables independientes son los elementos que afectan de manera directa o indirecta y que toman ciertos valores correspondientes al problema que se esté resolviendo.
Uno de los objetivos de una empresa es lograr el máximo beneficio o utilidad U(x). Esto se refiere a la cantidad de dinero que ha de ganar al vender sus productos y obtener un ingreso I(x) por esa venta, menos la parte que corresponde a solventar los gastos necesarios o costos C(x) para llevar a cabo la producción.
U(x) = I(x) – C(x)
La empresa siempre espera vender la mayor cantidad de artículos que le sea posible a fin de obtener el máximo de ganancia, pero si desea vender tanto, también debe reducir al máximo los costos en los que incurre al llevar a cabo su ciclo productivo, es decir, la empresa espera optimizar sus recursos al maximizar su beneficio y minimizar sus costos.
Maximizar el beneficio de cualquier empresa implica:
- Maximizar el ingreso, es decir, vender la mayor cantidad de artículos posibles con un nivel de costos constante.
- Maximizar el ingreso y minimizar el nivel de costos.
- Minimizar los costos y mantener constante el nivel de ventas para que no se vea afectado el ingreso.
A veces no es tan importante solo conocer los niveles de utilidad o el beneficio total de una empresa, sino que interesa más el impacto en las utilidades ante pequeñas variaciones en los insumos y por esto al maximizar o minimizar es relevante la marginalidad de una función.
Piensa que para una empresa es relevante conocer en qué monto se incrementarán sus costos cuando tiene que producir mayor cantidad de bienes, o bien, en qué cantidad se incrementarán sus utilidades cuando crecen sus ingresos. Así lo que interesa conocer es el ingreso marginal, el costo marginal y por lo tanto, la utilidad marginal. Se conoce que, si el ingreso total se iguala al costo total, la utilidad o beneficio será cero, pero si el ingreso marginal se iguala al costo marginal, la utilidad será máxima o mínima.
Ejemplo 1: La demanda de un artículo que produce una compañía varía con el precio que ésta cobra por el artículo. La compañía determinó que los ingresos totales anuales I(x) (en miles de pesos) son una función del precio p (en pesos). Específicamente I(p) = -50p2 + 500p,
a) Determina el precio que debe cobrarse con el fin de maximizar los ingresos totales b) ¿Cuál es el valor de los ingresos anuales totales?
Solución a) Como ya nos dan la función solo procedemos a aplicar los criterios de la derivada conocidos.
Derivando: I'(p) = -100p + 500
Igualando a cero: -100p + 500 = 0
p = 5 pesos valor crítico para máximo o mínimo
El precio que la compañía debe cobrar para que el ingreso sea máximo es de 5 pesos por unidad.
Sacamos la segunda derivada: I»(p) = -100
Evaluando el valor crítico I»(5) = -100 < 0 entonces I(p) es ∩ y se comprueba que hay un máximo.
Solución b) Evaluando p=5 en I(p) = -50p2 + 500
I(5) = -50(5)2 + 500 = 1250
Se espera que los ingresos anuales totales sean máximos en $1250.0 miles de pesos cuando la compañía cobre 5 pesos por unidad.
Ejemplo 2: Un fruticultor calcula que, si se siembran 60 árboles por hectárea, cada árbol dará 500 manzanas al año aproximadamente. Si el rendimiento promedio por árbol se reduce a 5 manzanas por cada árbol adicional que se plante por hectárea. ¿Cuántos árboles por hectárea deben plantarse para maximizar la producción de dicha fruta?
Solución: En este problema no se da la función, entonces vamos a buscarla con la información del problema. Hacemos el ajuste tomando (x) cómo el número de árboles adicionales que serán plantados para obtener la producción ajustada P.
Sacando la segunda derivada: P»=-10
Evaluamos si en x = 20 hay un máximo o un mínimo aplicando el criterio de la segunda derivada.
P»(20)=-10, entonces P(x) es ∩ y se comprueba que hay un máximo.
Ejemplo 3: El costo de producción de x unidades diarias de un producto es de 1/2x2+10x+30 dólares, y el precio unitario de venta es 50 – 1/2x dólares. Encuentra a) número de unidades que se deben vender para obtener un beneficio máximo. b) Demuestre que el costo de producción de una unidad tiene un mínimo.
Solución para el inciso a): Ya conocemos la función U(x) = I(x)-C(x) (1)
Donde habíamos dicho que U(x) es la utilidad, ganancia o el beneficio
I(x) es el ingreso total por concepto de ventas
C(x) es el costo total de producción
En (2) se observa que la utilidad (máxima o mínima) se obtiene en los puntos donde el costo marginal sea igual al ingreso marginal.
Vamos a sustituir en la ecuación (1) los datos del problema:
Ahora aplicamos el criterio de la segunda derivada para saber si en x = 20 hay un máximo o un mínimo.
U»(x) = -2
U»(20) = -2, tenemos que Ux es ∩ y la función tiene un máximo.
Solución para el inciso b) Empezamos con la siguiente definición:
Ahora practica resolviendo los siguientes ejercicios en tu libreta:
Ejercicio 1: Una dependencia gubernamental de una ciudad ha estado experimentando con la estructura de precios de pasaje en el sistema de transporte público de microbuses. Esta dependencia abandonó la estructura de precios por zona, en la que el precio variaba, dependiendo del número de zonas a través de las cuales cruza el pasajero. El nuevo sistema por implementar requiere de precios fijos en el cual, el pasajero puede viajar a cualquier punto de la ciudad por el mismo precio.
La dependencia realizó una encuesta entre los ciudadanos para determinar el número de personas que utilizaran el sistema de microbuses si el precio fijo es igual para diferentes distancias. A partir de los resultados de la encuesta, los analistas de sistemas determinaron una función de demanda aproximada que expresa el número de pasajeros diarios como función del precio a cobrar. La función de demanda es:
x(p) = 1999 – 125p
Donde x es el número de pasajeros al día y p es el costo en pesos.
a) Determina el precio que debe cobrarse con el fin de maximizar el ingreso diario a partir del precio del pasaje.
b) ¿Cuál es el ingreso máximo esperado?
c) ¿Cuántos pasajeros al día se espera que viajen al pagar esta tarifa?
Ejercicio 2: Una empresa que se dedica a prestar servicios de consultoría sobre aspectos publicitarios a diversas empresas que desean incrementar sus ventas anunciando sus productos en diversos medios, realizó encuestas acerca de los costos de publicidad y determinó que las funciones de costos al tomar en cuenta los costos de publicidad y de demanda de servicios de consultoría son:
Donde en la función de costos, C(x) es el costo de prestar x servicios al considerar los costos de publicidad, y en la función de demanda p es el precio de cada servicio que se prestó y x es el número de servicios prestados.
a) Determina el número de servicios que maximizan la ganancia.
b) Calcule el precio que garantiza la maximización de la ganancia si el precio está en miles de pesos.
Ejercicio 3: Una compañía realizó un estudio sobre sus ingresos y los costos en los que ha incurrido a fin de maximizar su ganancia. Si las funciones de costos y demanda que encontró la firma son:
Donde en la función de costos, C(x) es el costo de prestar x servicios al considerar los costos de publicidad, y en la función de demanda p es el precio de cada servicio que se prestó y x es el número de servicios prestados.
a) Determina el número de servicios que maximiza la ganancia.
b) Calcula el precio que garantiza la maximización de la ganancia si el precio está en miles de pesos.
Ejercicio 3: Una compañía de bienes raíces es propietaria de 150 departamentos que son ocupados en su totalidad cuando la renta en cada uno de ellos es de $1200.00. La compañía calcula que por cada $100.00 de aumento en la renta se desocupan 4 departamentos. ¿Con qué renta mensual la compañía obtendría el mayor ingreso?
Ahora solo queda practicar mucho para que confirmes que puedes resolver problemas de optimización usando los dos criterios de la derivada. También es tiempo de la primera revisión del proyecto final con base a este tema.
Conclusión
En resumen:
Lo que conocemos hasta ahora de optimización de funciones, es la consecuencia de los máximos y mínimos relativos de una función sometida a restricciones. De esta manera, recordemos, se pueden calcular de forma precisa las medidas mínimas de una lata de refresco para que contenga un cierto volumen. O bien el poder decidir ¿Qué esquinas cuadradas se pueden recortar en una placa de cartón para hacer una caja con volumen máximo?
Son muchos los problemas que surgen en las empresas para fabricar una cierta cantidad de unidades de un producto y conseguir el beneficio máximo, así como el costo mínimo de producción.
Hemos visto que una vez que tenemos la función a optimizar, obtendremos los extremos relativos mediante la derivada de la función, una vez que la igualamos a cero, Recordemos que la derivada nos da la pendiente de una función y como ya sabemos en los máximos y mínimos la pendiente es cero. Los criterios de la derivada nos han ayudado a determinar, evaluando alrededor de los valores críticos, si tenemos un máximo o un mínimo. Y con los cuales podemos determinar el punto en donde se ubican los extremos relativos o absolutos de la función, que al final del día, nos dan información para optimizar cualquier problema en cualquier área de las ciencias naturales, físicas, sociales, humanistas, de ingeniería, medicina, etc.
Puedes ahora ir pensando en algún problema de optimización para tu proyecto final.
Hemos concluido la clase y como puedes notar has avanzado mucho durante el trayecto del curso ¡Muchas felicidades! Te invito a repasar los temas y conceptos revisados y la realización de las consignas para que se pueda alcanzar el aprendizaje esperado en esta clase. Te encuentro en tu última clase.
Fuentes de información
- Swokowski, E. W. (1989). El Cálculo con Geometría Analítica. (2a ed.). Grupo Editorial Iberoamérica.
- Leithold, L. (1994).El Cálculo. (7a ed.). Oxford University Press.
- Larson, R. (2006). Cálculo. (8a ed.). McGraw-Hill Interamericana