Leyes de conservación del movimiento
de fluidos y condiciones de frontera
Introducción
¡Hola!
Es un gusto encontrarte nuevamente, espero que estés aprendiendo mucho, sobre todo, que tu ánimo no decaiga y sigas conociendo más acerca de los temas que se te presentan. Te invito a continuar en la segunda clase que incluye los temas:
- Leyes de conservación del movimiento de fluidos y condiciones de frontera
- Aspectos básicos de discretización
- Errores e incertidumbre en el modelado de la dinámica de fluidos computacionales
Durante esta sesión, revisaremos los conceptos fundamentales sobre las leyes de conservación. En particular, pondremos especial atención a la conservación de la masa, energía y momento. Es muy importante para esta unidad de aprendizaje entender como expresar las leyes de conservación en términos de ecuaciones diferenciales, ya que estas son las que se requieren para la aplicación del método del elemento finito. Como verás en los próximos temas, el volumen finito implica aplicar las leyes de conservación en pequeños volúmenes de control.
Por otra parte, este tema te ayudará a entender cómo el método de volumen finito induce ciertos errores de aproximación, y la importancia de rastrear el error que se induce al discretizar ecuaciones de conservación. Además, como se mencionó en el tema anterior se repasará la idea de independencia de mallado y del método numérico de la solución en la respuesta obtenida. Esto es, ya que el método numérico es un artificio matemático, la respuesta física no puede depender de la elección del método numérico.
Otro error que se induce al resolver las ecuaciones de conservación por el método del volumen finito reside en el error propio del método numérico de solución de las ecuaciones algebraicas finales. Esto es, el error que se tiene en el método del volumen finito al discretizar una ecuación diferencial estará compuesto de:
- El error de la discretización de la ecuación diferencial y
- El error debido a la forma de resolver las ecuaciones algebráicas
Así que, te invito a comenzar con buena actitud esta clase repasando las ecuaciones de conservación que de seguro ya conoces.
Desarrollo del tema
Leyes de conservación del movimiento de fluidos
En el estudio de las ecuaciones de conservación usualmente se tienen dos puntos de vista. El primero que es llamado el punto de vista Euleriano, implica que las variables de interés son observadas por un observador que se encuentra en un marco de referencia independiente. Puedes entender esto, como cuando observas la televisión y ves cómo los objetos se mueven en la pantalla. Así es como el punto de vista Euleriano funciona. Desde este punto de vista, la variable dependiente, por ejemplo, la velocidad, la temperatura o la concentración de alguna especie, depende de coordenadas en la cual está algún objeto o partícula de interés. Y las variables independientes serán la posición espacial así como el tiempo en el cual se hace el registro de la observación.
El segundo punto de vista, que es conocido como el punto de vista Lagrangiano, implica imaginar unas fronteras de tamaño y forma variable, pero con una masa constante.
En este punto de vista, lo puedes imaginar como si estuvieras montado en una partícula que está en movimiento y observas cómo las demás partículas se mueven contigo a una velocidad relativa a ti. En este punto de vista, las variables espaciales y el tiempo no son variables independientes y si sabes cómo el sistema de masa constante se comporta en un tiempo inicial se puede determinar por completo qué ocurrirá en un tiempo posterior.
Estos dos puntos de vista no son independientes. Es decir, lo que puedas concluir en un punto de vista es exactamente lo que puedes concluir en el otro. Y de hecho, ambos puntos de vista los podemos conectar a través del teorema de transporte de Reynolds. Este teorema de fundamental importancia en el estudio de las ecuaciones de conservación puedes entenderlo como una forma de mapear los términos Lagrangianos y Eulerianos. Y desde el punto de vista Euleriano que es en el marco donde se están definidas las herramientas del cálculo diferencial e integral que ya conoces es posible realizar la discretización o integración para conocer la variable de interés.
Te invito a visualizar la siguiente presentación titulada Leyes de conservación del movimiento de los fluidos donde podrás entender con más detalles cómo se escriben las ecuaciones de movimiento en forma diferencial usando estas herramientas.
Aspectos básicos de discretización
Una vez que se tiene la ecuación de conservación que se quiere discretizar (que depende del fenómeno físico de interés) es tiempo de comenzar el proceso de discretización. Durante este paso, la ecuación de conservación es integrada para reducir el orden de la ecuación y se analizan las derivadas de la ecuación en puntos de frontera conocidos como puntos de integración. Estos puntos de integración te darán información sobre la aproximación de este paso. Sin embargo, usualmente después de este proceso la ecuación diferencial parcial aún depende de algunas derivadas evaluadas en los puntos de integración. Estas ecuaciones se conocen como ecuaciones semi-discretizadas. Como se observa en el volumen de control mostrado en la Figura 1, si tuvieras por ejemplo un flujo de energía en un pequeño elemento, la cantidad que entra por un lado del elemento deberá ser igual a la cantidad de energía que sale por el lado opuesto. Y para elementos sólidos el flujo de energía es directamente proporcional al gradiente de la temperatura. Este gradiente es una ecuación diferencial de primer orden, y en este caso está evaluado en las fronteras del volumen de control.
Por tanto, la ecuación final después de la integración dependerá del flujo de calor y por consiguiente del gradiente de temperatura. Te invito a visualizar la siguiente presentación titulada Errores e incertidumbre en el modelado CFD donde se presenta a detalle cómo llegar a esta forma semi-discretizada.
Aspectos básicos de discretización
En el último paso de la discretización es necesario utilizar aproximaciones para poder pasar de la forma semi-discretizada a una forma completamente discretizada. En este paso, nuevamente se induce un error de aproximación que hay que tomar en cuenta en el proceso. El proceso para pasar entonces de la ecuación semidiscretizada a la ecuación completamente discretizada consiste en tomar una aproximación tomando en cuenta una expansión de series de Taylor, y dependiendo de donde se trunque la serie será el error de esta aproximación. En este paso podrás observar que entre más términos en la expansión de la serie de Taylor se tomen en cuenta, la exactitud de la aproximación será mejor. Sin embargo, esto tiene el costo de que se requerirán más operaciones matemáticas para resolver el problema y dependiendo de la experiencia del programador hay que balancear el coste/beneficio de usar un esquema muy preciso contra el tiempo de cómputo.
Finalmente, como se mencionó en líneas anteriores, es necesario resolver un sistema de ecuaciones algebraicas por algún método numérico. En el volumen finito, el número de variables que usualmente se tienen para resolver es muy grande, por lo que tratar de resolver este sistema de ecuaciones por un método directo es muy alto y por tanto este sistema suele resolverse por un método iterativo, de nuevo induciendo un error al establecer un criterio de convergencia.
Te invito a visualizar la siguiente presentación titulada Aspectos básicos de discretización donde encontrarás detalladamente cómo calcular los errores de discretización en este proceso.
Conclusión
A continuación te muestro la información más relevante que debes recordar de esta sesión:
Las ecuaciones de conservación son la base para el método del volumen finito. Es decir, este método se basa en la discretización de dichas ecuaciones. Entonces, como ingeniero usualmente será necesario entender qué pasa con un determinado equipo térmico o qué sucede con los elementos internos del mismo sin necesidad de desmontarlo. Por ello, al conocer las ecuaciones matemáticas que describen el fenómeno obtendrás una herramienta poderosa para proponer mejoras al equipo térmico. Aquí es donde tu habilidad para discretizar las ecuaciones será de vital importancia.
En el proceso de aplicar el método del volumen finito es necesario tomar decisiones y tu experiencia será importante para obtener resultados confiables, por ello recuerda que siempre puedes consultar los foros recomendados de la web para aprender de los demás usuarios.
Sin embargo, como se vió en este tema el aplicar el método del volumen finito sin entender los errores que se inducen te pueden llevar a concluir cosas equivocadas. Por ello, siempre deberás tomar en cuenta los errores que se inducen y garantizar que la respuesta que das no dependa ni del método de solución ni del número de elementos que utilices.
Es así como finalizamos nuestra segunda clase. ¡Vas avanzando muy bien, te felicito! No olvides que para concluir la sesión debes hacer la tarea asignada y enviarla. Te encuentro en la siguiente clase, hasta luego.
Fuentes de información
- Moukalled, F., Mangani, L., & Darwish, M. (2016). The finite volume method in computational fluid dynamics (Vol. 113, pp. 10-1007). Berlin, Germany: Springer.
- Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2011). Numerical methods for engineers (Vol. 2). New York: Mcgraw-hill.
- White, F. (2015). Fluid Mechanics (8a ed.). McGraw-Hill.