El método de volumen finito
para problemas difusivos
Introducción
¡Hola!
Qué gusto poder encontrarte en esta nueva sesión, espero que sigas descubriendo esta unidad de aprendizaje Introducción al volumen finito y lo encuentres fascinante, en esta ocasión abordaremos el tema: El método de volumen finito para problemas difusivos.
En este tema aprenderás acerca de la ecuación de difusión en estado estable, la cual representa el flujo de alguna cantidad conservada a través de un medio. En particular nos referiremos al caso de la energía, donde la variable dependiente será la temperatura. En este caso, se le conoce como la ecuación de calor. Esta ecuación representa de una forma matemática la ley de la conservación de la energía que se deriva de la primera ley de la termodinámica y es de suma importancia en todos los procesos que involucren cambios de temperatura en medios sólidos.
La ecuación de calor, describe cómo se comporta la temperatura en un medio sólido. Por ejemplo, si te interesa saber cómo fluye el calor en una superficie extendida, la ecuación gobernante será la ecuación de calor. Esta ecuación también toma un papel muy importante en el estudio de intercambiadores de calor, enfriamiento de microchips y en el diseño de paredes aislantes.
Matemáticamente, esta ecuación de difusión es una ecuación diferencial parabólica y durante este tema explorarás cómo se discretiza llevándola a un sistema de ecuaciones algebráicas que pueden ser resueltas por los métodos iterativos que se estudiaron en el tema anterior. Además, las ecuaciones algebraicas que resultan de la discretización tienen la propiedad de ser diagonalmente dominantes, lo cual será un prototipo de ecuación para entender la estabilidad de los métodos iterativos.
No dudes en repasar los términos de clases anteriores que aún se te dificultan ya que a lo largo del presente tema esta terminología será usada de forma continua.
En este contexto, espero que el desarrollo de esta clase te resulte interesante. ¡Comencemos!
Desarrollo del tema
Ecuación de difusión
La ecuación de difusión describe el movimiento de la materia, el momento o la energía a través de un medio. Este movimiento es debido al gradiente de alguna de estas cantidades. En general, el fenómeno de difusión está representado por la segunda derivada de una variable tal como la velocidad o temperatura con respecto a una posición espacial. En particular, cuando la variable de interés es la temperatura la ecuación de difusión expresa la razón de cambio del calor debido a este gradiente y la ecuación es conocida como la ecuación de calor. En el siguiente video podrás ver una animación relacionada con la ecuación de difusión:
Durante este tema nos enfocaremos en el estado estable, el cual es definido como el estado en el límite de un tiempo infinito. Esto implica que cualquier dependencia temporal de la temperatura (en el caso de la ecuación de calor) es despreciable.
La ecuación de difusión es una ecuación diferencial parabólica, y esta propiedad se ve reflejada al momento de su discretización. Esto es, en las ecuaciones parabólicas para poder entender lo que pasa en un medio, es necesario conocer lo que pasa en las fronteras, y esta información se propaga a todo el medio. Sin embargo, este proceso se hace a una velocidad sin límite por lo que esta ecuación solo describe fenómenos que no se encuentran muy fuera del equilibrio. Para más información acerca de procesos muy fuera del equilibrio te invito a revisar la referencia 3.
En el proceso de discretización, tal como lo hicimos en los temas pasados es necesario pasar de la ecuación diferencial parcial a una ecuación semidiscretizada. Este procedimiento se realiza mediante la integración de la ecuación de conservación. Posteriormente, los términos semidiscretizados son aproximados mediante aproximaciones de Taylor.
El resultado de este proceso de discretización es un sistema de ecuaciones algebraicas donde el término de la diagonal será igual o mayor a la suma de todos los términos fuera de la diagonal. Esta clase de matrices es conocida como matrices diagonalmente dominantes, los cuales implican que el eigenvalor más grande será menor que la unidad (radio espectral). Y esta es la propiedad que se busca al emplear los métodos iterativos, es decir, siempre que se obtenga un sistema de ecuaciones algebraicas con radio espectral menor que 1, el método convergerá. Aunque esta propiedad es automática en la discretización de los problemas de difusión, no lo es en general, tal como lo veremos en el siguiente tema, cuando se trata de la discretización de advección difusión este es un factor que hay que tomar en cuenta para poder tener resultados coherentes en el proceso de solución de las ecuaciones algebraicas. En la siguiente presentación titulada El método del volumen finito para problemas difusivos, se muestra con más detalle el proceso de discretización para la ecuación de difusión.
Para este tema revisaremos tus conocimientos para discretizar la ecuación de calor. Tomemos el caso de una aleta de sección transversal constante. El propósito de una aleta o superficie extendida es incrementar el área de contacto con algún fluido con coeficiente de calor bajo con el fin de incrementar el flujo de calor y esta ecuación esta representada por una ecuación diferencial parabólica.
En el siguiente enlace podrás descargar el Proyecto 1, relacionado a la discretización de la ecuación de calor. Con lo que has aprendido hasta ahora tendrás que encontrar una solución numérica usando la metodología del volumen finito.
Conclusión
Para concluir la clase repasemos lo siguiente: durante este tema se revisó cómo discretizar la ecuación de difusión, la cual es usada para modelar cambios de concentración, temperatura o momento en un medio con respecto a variables tanto espaciales como temporales. En particular, se enfatizó el uso y la importancia de la ecuación de difusión cuando la variable dependiente es la temperatura. En este caso, los problemas de transferencia de calor en aletas e intercambiadores de calor son analizados a través de ecuaciones como esta.
En la consigna asignada en este tema podrás observar que la condición de interacción de la aleta con un fluido externo es tomada en cuenta en forma de un término fuente, es decir, un término que depende de la variable dependiente pero no de sus derivadas.
Matemáticamente, la ecuación diferencial es una ecuación hiperbólica cuyas características son heredadas al sistema de ecuaciones algebraicas que se obtienen al final de la discretización, es decir, en cada renglón de la ecuación algebraica los términos fuera del término diagonal están relacionados con todos los términos alrededor de este, justo como sucede al determinar lo que ocurre en la ecuación parabólica donde es necesario conocer lo que pasa en las fronteras del dominio.
En cuanto a la estabilidad del método, las ecuaciones en estado estable y parabólicas siempre llevarán a sistemas de ecuaciones algebraicas incondicionalmente estables, con propiedades que te ayudarán a entender los criterios de estabilidad en los próximos temas.
Finalmente, recuerda que en todo proceso de discretización de ecuaciones algebraicas es necesario que compruebes que tu respuesta y conclusiones no depende del número de elementos que elijas, ya que esto es una mera elección del ingeniero analista y la respuesta física no puede depender de esto.
Has llegado al final de la sesión y como puedes observar sigues abonando información valiosa a tu aprendizaje, te invito a continuar sumando información realizando la tarea asignada a esta clase. Recuerda que te espero en la próxima sesión.
Fuentes de información
- Moukalled, F., Mangani, L., & Darwish, M. (2016). The finite volume method in computational fluid dynamics (Vol. 113, pp. 10-1007). Berlin, Germany: Springer.
- Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2011). Numerical methods for engineers (Vol. 2). New York: Mcgraw-hill.
- Lebon, G., Jou, D., & Casas-Vázquez, J. (2008). Understanding non-equilibrium thermodynamics (Vol. 295). Berlin: Springer.