El método de volumen finito
para problemas convectivo-difusivos
Introducción
¡Hola!
Siempre es un gusto saludarte y saber que tienes el ánimo para continuar, te invito a seguir en este camino formativo en tu cuarta clase titulada El método de volumen finito para problemas convectivo-difusivos de la unidad de aprendizaje Introducción al volumen finito.
Hasta ahora hemos estudiado problemas de discretización de la ecuación de difusión, el cual involucra en el caso de que la variable dependiente es la temperatura, la propagación de alguna cantidad como el calor a través de un medio sólido. Sin embargo, otro término importante que aparece en las ecuaciones de conservación es el término convectivo representado por el operador de divergencia. Este término a diferencia de los términos difusivos no siempre lleva a sistemas estables que permitan una predicción física razonable. Por ejemplo, veremos que existen varias formas de discretizar los cuales se conocen como esquemas de discretización y el sistema de ecuaciones algebraicas que se derivará al final dependerá del esquema seleccionado. Además, estos esquemas no son incondicionalmente estables como es el caso de los términos difusivos, en cambio, sólo serán estables en ciertos regímenes parametrizados por el número de Peclet local (recuerda que este número adimensional representa la razón de transporte advectivo con respecto al transporte difusivo).
Para entender este término puedes imaginar un río cuya agua se encuentra en movimiento, y tú estás situado en un punto del río en el cual puedes estar midiendo el contenido de sal. Luego, en un punto aguas abajo de donde estás colocado, una persona arroja un costal de sal, y segundos después tú registras un incremento sustancial del contenido de sal, pero conforme esta porción de fluido se mueve, el contenido de sal que registras volverá a bajar de forma súbita. Este fenómeno puede ser explicado a través del término convectivo, y sus propiedades de transporte estarán reflejadas en el proceso de discretización.
En aplicaciones en la ingeniería, este término ayuda a entender no solo el cambio de la concentración de alguna especie como resultado de un proceso químico. También sirve para entender cómo fluye el calor o el momento en un fluido.
¡Espero te resulte interesante esta clase, empecemos!
Desarrollo del tema
Ecuación de advección
Para comenzar considera la ecuación de advección pura. Esta se consigue despreciando los términos difusivos. En el caso de una sola dimensión, esta ecuación implica una derivada total del cambio de un flujo (tal como el flujo de momento, el flujo de calor o flujo de alguna especie) , y por tanto expresa la conservación de dicho flujo. En particular para el caso de advección pura, una forma de resolver un problema donde las condiciones de frontera cambian de una frontera a otra implica un cambio súbito de la variable dependiente la cual puede ser expresada por una función de paso. Este problema, aunque no es muy realista (puesto que todos los fenómenos de transporte involucran una mezcla de transporte por advección y difusión) muestra una característica importante del fenómeno advectivo. Este puedes ser representado en la Figura 1. En este caso considera dos paredes infinitamente largas donde existe un fluido con una concentración de 1 en el lado izquierdo y de 0 en el lado derecho. Como se observa en la Figura 1, en el caso de advección pura la concentración deberá cambiar de forma súbita en algún punto en el dominio para satisfacer las condiciones de frontera. Sin embargo, en presencia del término difusivo, el perfil de concentración es suavizado evitando el cambio súbito. Por lo tanto, en la pendiente de este cambio de concentración indica qué tan relevante es el término advectivo con respecto al término difusivo.
Ecuación de advección difusión
En el caso de advección-difusión, como se mostró en la Figura. 1, se espera que el perfil sea más suave. Así, también lo esperado es que esta propiedad se preserve después de la discretización. Existen otras propiedades que tienen los términos advectivos las cuales son:
- Propiedad de Conservación. Después de la integración de la ecuación de advección-difusión en una región finita se obtiene una relación involucrando flujos de la cantidad transportada a través de las fronteras del volumen de control. Entonces, para asegurar que la propiedad se conserve en todos los volúmenes de control es necesario que en cada uno de los elementos discretizados esta cantidad se conserve. Esto se consigue de una manera consistente ya que el flujo que sale de una cara adyacente con respecto a otra de los elementos discretizados debe ser igual en magnitud.
- Acotada. Como se ha mencionado a lo largo del curso, una vez que la ecuación de conservación se encuentra completamente discretizada se llega a un sistema de ecuaciones algebraicas que deben ser resueltas. Debido al gran número de elementos que se suelen requerir para representar correctamente un problema físico, es necesario emplear métodos iterativos los cuales requieren de proponer un valor inicial para comenzar con la iteración. Estos métodos serán convergentes si el radio espectral de la matriz (que en el caso de la discretización esta relacionada con el sistema de ecuaciones a resolver) es menor que la unidad. Esta condición se asegura si la matriz es diagonalmente dominante, esto es, si los términos de la diagonal siempre son mayores en valor absolutos a la suma de los términos fuera de la diagonal. Físicamente, esta condición implica que en ausencia de fuentes los valores de los nodos interiores deben estar acotados por los valores de los nodos de frontera.
- Propiedad de Transporte. Esta propiedad puede ser ilustrada al considerar dos nodos adyacentes E y W a un nodo central P. Ahora, definiendo el número adimensional de Peclet como la razón de la intensidad de términos advectivos sobre difusivos, entonces el valor de un elemento P estará influenciado mayormente por los nodos aguas abajo para números de Peclet mayores que la unidad (este es el caso donde dominan los términos advectivos). Sin embargo, para los casos en el que el número de Peclet sea mucho menor que la unidad, los términos difusivos son dominantes, y los valores de los elementos centrales están igualmente influenciados por los términos de frontera, tal como era el caso de las ecuaciones parabólicas. En la Figura 2, se representa estas situaciones.
En la siguiente presentación titulada El método de volumen finito para problemas convectivo-difusivos, podrás revisar con detalle el proceso de discretización para los términos advectivos así como algunos esquemas.
En el siguiente enlace encontrarás el Proyecto 2 el cual te servirá para practicar la forma de discretizar los términos advectivos.
Conclusión
En resumen, en este tema se estudió la discretización de los términos que involucran el movimiento de un fluido. Como pudiste observar, a pesar de que el método de discretización procede de la misma manera, existen ciertas sutilezas que debes tomar en cuenta para obtener un resultado razonable. En particular, siempre deberás tomar en cuenta las tres propiedades que se desea preservar durante el proceso de discretización, estas son:
- Propiedad de transporte,
- Acotada y
- Propiedad de conservación.
La propiedad de acotación es necesaria para poder garantizar la convergencia de la solución mediante los métodos iterativos, aunque no es necesaria si se resuelve el sistema de ecuaciones por métodos directos.
En las diapositivas se revisó que existen diversas elecciones que puedes hacer para discretizar estos términos. La elección de algún esquema será “mejor” que otra dependiendo de la naturaleza del sistema. Por ejemplo, en el caso de Pe<1 quizá sea mejor tomar en cuenta una discretización central, donde esperarías que los términos centrales de cada elemento se encuentren igualmente influenciados por los términos de frontera. En cambio, para Pe>1 quizá puedas optar por un esquema hacia delante. Sin embargo, la simpleza de este método se ve afectada por el pobre orden de error que maneja, y quizá quieras intentar un método de discretización de orden superior como lo es el QUICK al precio de realizar más operaciones y que el tiempo solución del sistema sea mucho más largo. Es decir, ¡nunca se obtiene nada gratis!, siempre tendrás que balancear los pros y los contras para tomar la mejor decisión.
Hasta aquí se concluye la sesión. ¡Te felicito, vas muy bien! Te recuerdo que tu aprendizaje depende mucho de tu entusiasmo para continuar. No olvides hacer y mandar como corresponde la tarea asignada. Te espero en tu próxima clase, hasta entonces.
Fuentes de información
- Moukalled, F., Mangani, L., & Darwish, M. (2016). The finite volume method in computational fluid dynamics (Vol. 113, pp. 10-1007). Berlin, Germany: Springer.
- Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2011). Numerical methods for engineers (Vol. 2). New York: Mcgraw-hill.
- Lebon, G., Jou, D., & Casas-Vázquez, J. (2008). Understanding non-equilibrium thermodynamics (Vol. 295). Berlin: Springer.