El método de volumen finito
para flujos en estado transitorio
Introducción
¡Hola!
Me siento muy feliz al saber que sigues aprovechando este curso, espero que lo sigas disfrutando, por lo tanto te invito a comenzar nuestra quinta clase con el tema El método de volumen finito para flujos en estado transitorio de la unidad de aprendizaje Introducción al volumen finito.
Hasta ahora sólo hemos considerado ecuaciones de conservación asociadas a variables como la temperatura, la velocidad o la concentración. Sin embargo, no se ha tenido en cuenta la contribución del tiempo a la ecuación de conservación. Esta contribución es de importancia al inicio de cualquier proceso, y por ello será de interés cuando se requiera entender qué ocurre con alguna variable al inicio del proceso.
Lo aprendido hasta ahora te servirá de herramienta para poder entender la forma de discretizar los términos dependientes del tiempo. En particular, los términos dependientes del tiempo tienen ciertas similitudes con los términos advectivos. En particular, al momento de discretizar estos términos tienen las mismas dificultades en lo que refiere a estabilidad. De forma similar que para los términos advectivos se pueden tomar decisiones en el momento de discretizarlos, estos esquemas son conocidos como discretización explícita e implícita. De estos esquemas, la discretización implícita es incondicionalmente estable tal como sucede con la ecuación de difusión. Sin embargo, el esquema explícito será o no estable dependiendo del tamaño espacial y temporal que se elija, información que está contenida en el número de Fourier. Además, existen otros esquemas que estudiaremos en esta unidad, que implican de alguna forma un término medio entre el esquema explícito e implícito conocido como la discretización de Crank-Nicholson.
Sin más preámbulo, comencemos con el estudio de la discretización de los términos temporales y el cálculo de los criterios de estabilidad.
¡Así que comencemos!
Desarrollo del tema
Ecuación de estado transitorio
Hasta ahora hemos estudiado las ecuaciones de conservación tomando en cuenta los términos difusivos, así como los términos difusivos. Sin embargo, no se ha tenido en cuenta la dependencia del tiempo. Tomar en cuenta la dependencia temporal implica añadir una nueva dimensión al problema asociado con una ecuación diferencial parabólica. Además, es usual solo almacenar dos valores de la variable dependiente en el tiempo, descartando la información de pasos previos. Esta es la principal diferencia con respecto a los términos advectivos, en los que para incrementar el orden de error se añaden más términos a la aproximación de estos términos relacionando el valor de la variable dependiente de un nodo con dos o más términos adyacentes. Otra diferencia fundamental con respecto a los términos advectivos es que siguiendo la naturaleza parabólica de la ecuación diferencial, al conocer lo que ocurre al inicio del tiempo t = t0, es posible marchar en el tiempo conociendo lo que ocurrirá en tiempos subsecuentes.
Entonces, para problemas en estado transiente las ecuaciones completamente discretizadas involucran términos espaciales y temporales. Así, mientras la discretización espacial es realizada en el espacio, la discretización temporal involucra añadir como variable dependiente adicional el tiempo.
Una aproximación para discretizar completamente los términos temporales involucra realizar una expansión de series de Taylor usando como variable dependiente el tiempo. Dependiendo del punto a partir del cual se haga la expansión se suelen utilizar dos aproximaciones conocidas como Euler hacia delante (esquema explícito), Euler hacia atrás (esquema implícito).
En las siguientes diapositivas podrás encontrar en detalle el proceso de discretización de los términos transientes. Por simplicidad, nos concentraremos en la discretización de la ecuación de difusión en estado transiente.
Esquema Euler hacia delante
El método del Euler hacia delante (esquema explícito) no requiere resolver un sistema de ecuaciones. En lugar de esto, el valor de la variable dependiente en un punto posterior depende de lo ocurrido en los nodos vecinos un tiempo anterior. La principal característica de estos esquemas es su capacidad de generar soluciones marchantes en el tiempo sin necesidad de resolver un sistema de ecuaciones en el mismo nivel temporal. Sin embargo, este esquema es condicionalmente estable, y por ello raramente es usado en paquetes computacionales especializados.
Fuente: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Leonhard_Euler.png
La estabilidad y convergencia de este esquema depende de la discretización temporal y espacial elegida. Courant et al. (Referencia 1 y 3), mostraron que para que estas soluciones converjan era necesario satisfacer la condición de que la suma de los términos centrales en el tiempo t.y el tiempo t+δt debe ser menor que cero, esto es
AC(t) + A(t + δt) < 0
Que puede ser escrita en términos del número adimensional de Fourier como Fo < 1/2, donde el número de Fourier representa la razón de el transporte difusivo con respecto al transporte transiente.
Esquema Euler hacia atrás
El esquema Euler hacia atrás (esquema implícito) a diferencia del esquema Euler hacia delante, es más costoso computacionalmente hablando. Esto ocurre debido a que la aproximación de series de Taylor se hacía en la dirección hacia atrás en el tiempo, entonces lo que ocurre a un nodo en el tiempo t está afectado por lo que le ocurre a todos los demás nodos en el mismo tiempo. Por lo tanto, en cada intervalo de tiempo es necesario resolver un sistema de ecuaciones algebráicas. Para el caso de la ecuación de difusión en estado transiente, la estabilidad del método numérico está garantizada por la condición de radio espectral menor que la unidad. Además, en el tiempo este esquema es incondicionalmente estable. Esta estabilidad está relacionada con el hecho de que los términos centrales en tiempos presentes y pasados siempre tienen signos distintos, garantizando que la solución está acotada en el tiempo.
Finalmente, estás listo para resolver el problema asignado en la consigna 3 de esta Unidad de Aprendizaje la cual puedes acceder a través de la siguiente liga.
Conclusión
En resumen: En este tema aprendimos sobre cómo discretizar el término transiente de una ecuación de conservación. Este término siempre llevará a un cambio en el carácter de la ecuación diferencial, que para el caso de la ecuación de difusión cambia la ecuación diferencial de elíptica a parabólica. Este cambio se ve reflejado en las propiedades de la ecuación y tendrán un impacto marcado en la forma de discretizar la ecuación diferencial.
En analogía con los términos advectivos, estos términos transientes llevarán a inestabilidades en la solución numérica y estas inestabilidades pueden ser predichas a través del criterio de Courant visto en esta unidad. Toma en cuenta que para los casos estudiados en la presente unidad solo tomamos el criterio de estabilidad para la ecuación de difusión en estado transiente, sin embargo, este criterio es mucho más general. Es decir, siempre que conozcas los coeficientes de los términos centrales podrás determinar el criterio de estabilidad.
Finalmente, se aprendió sobre las limitaciones de los dos esquemas más utilizados en la discretización de los términos transientes. El esquema explícito es fácil de resolver, su estabilidad depende del criterio de estabilidad, mientras que el esquema implícito es más difícil de resolver, pero es incondicionalmente estable, que se puede ver ya que este esquema satisface trivialmente el criterio de estabilidad.
Es así como se concluye pues con esta quinta sesión. ¡Felicitaciones por tu esfuerzo y dedicación! No olvides realizar y mandar en tiempo y forma tu tarea, hasta luego.
Fuentes de información
- Moukalled, F., Mangani, L., & Darwish, M. (2016). The finite volume method in computational fluid dynamics (Vol. 113, pp. 10-1007). Berlin, Germany: Springer.
- Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2011). Numerical methods for engineers (Vol. 2). New York: Mcgraw-hill.
- Courant, R., Friedrichs, K., & Lewy, H. (1928). Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik. Math Ann (in German) 100:32–74