El método de volumen finito
para problemas acoplados por presión
Introducción
¡Hola!
Es una alegría encontrarnos en este espacio formativo, espero que sigas gozando de buena salud y de un excelente ánimo pues te ayudarán bastante para completar este curso que ya está entrando a su etapa final; por lo tanto te invito a tu clase 6 titulada El método de volumen finito para problemas acoplados por presión de la unidad de aprendizaje Introducción al volumen finito.
En la clase 4 aprendimos sobre la discretización de los términos advectivos y revisamos la forma de resolver las ecuaciones completamente discretizadas para una variable dependiente. En particular nos concentramos en el caso donde la variable dependiente es la temperatura. Sin embargo, en volumen finito para el caso de la ecuación de conservación de momento la variable dependiente es una componente de la velocidad, y las ecuaciones de conservación consideradas se conocen como las ecuaciones de Navier-Stokes. Sin embargo, el principal problema de las ecuaciones de Navier-Stokes es que están acopladas a un campo de presión aunque la ecuación de conservación de masa solo involucra a las componentes de la velocidad. El objetivo principal de este tema será presentar un método para tratar con este problema y calcular una solución tanto para las componentes de la velocidad como para la presión.
Cabe mencionar que la mayoría de los problemas realistas que te enfrentarás en la ingeniería toman en cuenta un gradiente de presión no cero, por ello el conocer los algoritmos para resolver estos problemas forma una parte esencial de esta unidad de aprendizaje. Estos métodos, en general se basan en dar un valor inicial para los campos de presión y velocidad.
Con esta primera iteración se verifica que se satisfaga la ecuación de conservación de momento y posteriormente se da una corrección a los valores de presión verificando la desviación de esta solución preliminar basados en la ecuación de conservación de masa. De esta manera, mediante un proceso iterativo es posible aproximarse a una solución aproximada a las ecuaciones de conservación de masa y momento.
Estos problemas se conocen como problemas acoplados por presión y el método semi-implícito para problemas acoplados por presión es uno de los métodos más utilizados. En este tema nos concentraremos en este importante algoritmo y su implementación en la discretización por elemento finito.
¡Adelante! ¡Comencemos la clase!
Desarrollo del tema
Ecuaciones acopladas por presión
Las ecuaciones de momento (ecuaciones de Navier-Stokes) son ecuaciones vectoriales para el vector de velocidad. La principal dificultad de estas ecuaciones es que son un conjunto de ecuaciones vectoriales no lineales, sin embargo, numéricamente este problema puede ser tratado mediante un procedimiento iterativo. Por otra parte, el término viscoso representa un fenómeno difuso y este puede ser discretizado por los métodos que ya se han revisado, así como los términos advectivos. El principal problema, realmente es el acoplamiento con el campo de presión que aparece en las ecuaciones de Navier-Stokes.
La discretización del término de presión se puede llevar a cabo seleccionando, integrando el gradiente de presión tomando volúmenes de control. Sin embargo, este procedimiento lleva a considerar cambios en la presión entre los centroides a la derecha e izquierda del volumen de control, dejando a un lado el valor en el centroide. Sin embargo, para variaciones de presión rápidas entre centroides, esta discretización llevaría a considerar cambios de presión irrealistas. Para más detalles de esta discretización así como los problemas que conlleva te invito a revisar la siguiente presentación titulada El método del volumen finito para problemas acoplados por presión.
Para resolver este problema se ha propuesto que las variables vectoriales (velocidades) deben ser almacenadas en un mallado distinto al que se usa para los términos escalares (presión), de tal manera que no es necesario implementar ninguna interpolación. En la malla escalonada, la información del campo de velocidad está almacenada en las caras de las celdas, mientras que la información de la presión y otras variables escalares está almacenada en los centroides. Entonces, el algoritmo SIMPLE comienza por realizar la discretización de las ecuaciones de conservación en elementos centrados en las caras, mientras que las demás ecuaciones se discretizan en volúmenes de control centrados en los centroides (ver Figura 1).
Cabe mencionar que el algoritmo SIMPLE y el uso de mallado escalonado no es el único algoritmo disponible en la literatura. Te recomiendo que revises la referencia 1, para que consultes otros algoritmos para atacar los problemas acoplados por presión. Además, podrás consultar la siguiente liga para algunos comentarios adicionales sobre el algoritmo SIMPLE.
En resumen, el algoritmo SIMPLE está basado en:
- Fijar un valor para las condiciones de frontera.
- Calcular los gradientes de velocidad y momento.
- Resolver la ecuación de momento discretizada para determinar los campos de velocidad.
- Calcular los flujos másicos sin corregir en las caras de los volúmenes de control.
- Resolver la ecuación de corrección de presión para producir valores en el centroide de las celdas para la corrección de presión.
- Calcular la presión corregida sumando la corrección de la presión al valor previo de la presión.
- Determinar los valores corregidos de la presión en la frontera.
- Corregir los flujos másicos en las caras de los elementos.
- Corregir los valores de la velocidad.
Ahora que hemos revisado los fundamentos del algoritmo SIMPLE podrás resolver la consigna 4, en la que podrás implementar este algoritmo. Entra al siguiente enlace para descargar el archivo.
Conclusión
Para concluir la sesión repasemos lo siguiente:
Se revisó la discretización usando la metodología del volumen finito de los problemas acoplados por presión. De acuerdo con la principal problemática de estos sistemas radica en el acoplamiento del campo de la presión en la ecuación de transporte de momento y que no se encuentra esta variable en las ecuaciones de conservación de masa. Este acoplamiento lleva a varias dificultades, tales como la predicción de gradientes de presión constantes si se utilizan los métodos tal como se ha revisado hasta el momento. Como se revisó este problema se ha resuelto mediante la implementación del mallado escalonado, esto es, tomando dos mallados, uno para los campos escalares y otro para los campos vectoriales. Sin embargo, en problemas muy complejos este mallado requiere una cantidad de memoria muy grande para almacenar la información de las dos mallas generadas. Esta es la principal deficiencia del algoritmo SIMPLE.
A pesar de sus deficiencias, el algoritmo SIMPLE es uno de los más usados en la solución de problemas acoplados por presión. Este algoritmo asegura una convergencia de las ecuaciones de conservación de momento y masas de forma iterativa. La popularidad de este algoritmo radica en la estabilidad de la solución en gran cantidad de condiciones de flujo y al bajo número de operaciones que requiere en comparación con otros algoritmos. Sin embargo, existen variantes que mejoran la estabilidad al precio de incluir más operaciones en el algoritmo.
Hemos concluido la clase y como puedes notar has avanzado mucho durante el trayecto del curso ¡Muchas felicidades! Te invito a repasar los temas y conceptos revisados y la realización de las consignas para que se pueda alcanzar el aprendizaje esperado en esta clase. Te encuentro en tu última clase.
Fuentes de información
- Moukalled, F., Mangani, L., & Darwish, M. (2016). The finite volume method in computational fluid dynamics (Vol. 113, pp. 10-1007). Berlin, Germany: Springer.
- Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2011). Numerical methods for engineers (Vol. 2). New York: Mcgraw-hill.
- Versteeg, H. K., & Malalasekera, W. (2007). An introduction to computational fluid dynamics: the finite volume method. Pearson education