Introducción al mallado no estructurado
Introducción
¡Hola!
Espero que te encuentres gozando de una salud impecable y sobre todo mantengas tu buen ánimo para continuar con tu última clase de la unidad de aprendizaje Introducción al volumen finito a la cual se le ha llamado Introducción al mallado no estructurado.
Hemos llegado al final de esta unidad de aprendizaje. Hasta ahora todos los problemas que hemos atacado corresponden a geometrías sencillas que pueden ser discretizadas con elementos rectangulares. Sin embargo, es común encontrarse con geometrías complejas que no permiten que estos elementos se adapten correctamente a la geometría. Esto puede ocurrir en geometrías que contengan vértices hasta alas de avión. Sin embargo, en volumen finito es posible usar cualquier geometría para los elementos con los que se va a mallar. En general, a estos elementos se les conoce como el mallado no estructurado.
En los mallados no estructurados, las celdas y los nodos no tienen un orden particular, esto hace que sea muy difícil poder identificar la conectividad de cada uno de los elementos por sus índices. Usualmente, los mallados no estructurados involucran elementos de celda con forma triangular, pudiendo formar tetraedros o hexaedros en tres dimensiones.
A diferencia de los mallados estructurados, los mallados no estructurados ofrecen una gran flexibilidad en adaptarse a las geometrías complejas. La principal ventaja del mallado no estructurado es que se pueden generar automáticamente, independientemente de la complejidad del dominio computacional. Sin embargo, cuando los elementos de malla triangulares se encuentran muy distorsionados esta clase de elementos produce inestabilidades en la solución numérica. Además, al utilizar este tipo de mallado, el número de elementos tiende a incrementarse de forma considerable, por lo que de nueva cuenta, es necesaria para balancear los pros y los contras de usar este tipo de mallado.
En este contexto, ¡comencemos nuestra clase!
Desarrollo del tema
Mallado no estructurado
La principal ventaja del mallado no estructurado consiste en que no existe una estructura de líneas coordenadas impuestas por la malla, de allí lo del nombre no estructurado. En la práctica se suelen usar mayormente los elementos triangulares y cuadriláteros para mallados en 2D y elementos tetraédricos o hexaédricos para los problemas 3D. Sin embargo, cualquier geometría para los elementos puede ser usada o incluso una mezcla de geometrías de elementos, estos mallados se conocen como mallados híbridos.
Otra ventaja importante del mallado no estructurado consiste en que permite el cálculo de flujos en geometrías complejas sin necesidad de emplear mucho tiempo en el mallado. Incluso, muchos paquetes computacionales basados en volumen finito realizan este mallado de forma automática sin necesidad de especificaciones por parte del usuario. Además, es posible realizar refinamientos y adaptaciones de la malla, es mucho más sencillo en mallados no estructurados.
Existen dos formas de definir los volúmenes de control en los mallados no estructurados, estos son:
- Volúmenes centrados en la celda. En estos casos, los nodos son colocados en el centroide del volumen de control.
- Volúmenes de control centrados en los vértices. En estos casos los nodos son colocados en los vértices del mallado.
La discretización en los mallados no estructurados puede ser desarrollada a partir de las técnicas de volumen de control introducidas en los temas anteriores. En la siguiente presentación titulada Introducción al mallado no estructurado, podrás leer con más detalle el mecanismo de discretización usando el mallado no estructurado.
En particular, nos concentraremos en la discretización de los términos difusivos para mallado no estructurado. En la discretización de los términos difusivos, los términos completamente discretizados pueden descomponerse en un término que va en dirección del flujo difusivo más la contribución de un término que va en dirección perpendicular. Esto es:
Flujo difusivo 🡪 Flujo normal + Flujo cruzado
El flujo cruzado depende del ángulo formado por la cara longitudinal y normal al volumen de control. Este flujo produce errores debido al tipo de elemento, ya que usualmente se ignoran en la construcción de las ecuaciones de conservación. Este error usualmente es compensado usando correcciones tales como:
- Aproximación de mínima corrección
- Aproximación de corrección ortogonal
Otro error que induce el uso del mallado no estructurado está relacionado con el sesgo de los elementos. Esto es una medida de la desviación con respecto al mallado estructurado. Para entender el error debido al sesgo, recuerda que en ocasiones es necesario estimar cantidades de las caras de los elementos, ya que la información de los campos escalares se encuentra en los centroides de los mismos. La forma usual de estimar el valor de las caras es realizando una interpolación lineal entre las caras de los elementos, y cuando el elemento está muy sesgado la línea de interpolación ortogonal a las caras usualmente no pasa por el centroide del elemento (ver Figura 1).
La corrección debida al sesgo se compensa añadiendo un término proporcional a su derivada evaluada en la cara. Sin embargo, entre más grande sea el sesgo mayor será este error de aproximación.
Finalmente, la consigna 5 la podrás descargar en la siguiente liga, en el que podrás poner a prueba tus habilidades resolviendo la ecuación de difusión usando un mallado no estructurado.
Conclusión
En resumen, en este último tema revisamos otra forma de discretizar el espacio físico dentro de la metodología del volumen finito. Este tipo de discretización conocido como mallado no estructurado tiene varias ventajas, tal como, su facilidad de implementación en geometrías complejas y su adaptación geométrica a las mismas. Además, por el mallado no-estructurado no está limitado a elementos con una geometría en particular, esto es, puedes emplear cualquier geometría de elementos que te permita describir lo más correctamente el dominio físico que quieras modelar. Sin embargo, el mallado no estructurado induce varios errores debido a su geometría, tal como la aparición de flujos cruzados y el sesgo de los elementos.
Como siempre, al momento de modelar un equipo térmico o de otra naturaleza deberás balancear los pros y los contras de elegir un mallado ya sea estructurado o no estructurado. En general, es preferible (si la geometría lo permite) realizar un mallado estructurado debido a su estabilidad numérica en el proceso de solución numérica así como su exactitud. Sin embargo, en ocasiones esto no será posible y es aquí donde tu experiencia permitirá realizar la modelación lo mejor posible. En el caso que la única opción sea usar un mallado no-estructurado es usual revisar la calidad de malla que es una medida de la desviación de los elementos con respecto al caso de mínimo error debido al sesgo y la geometría de la malla, por lo que siempre que uses este mallado deberás verificar este parámetro.
¡Has concluido la última clase del curso! ¡Muchas felicidades! Ha sido un gozo compartir contigo este trayecto formativo. Deseo que el curso haya cumplido con tus expectativas y encuentres satisfacción con los temas abordados, así como con tu desempeño y compromiso. No olvides realizar la tarea asignada para la plena conclusión del curso. Espero encontrarte nuevamente, ¡hasta pronto!
Fuentes de información
- Moukalled, F., Mangani, L., & Darwish, M. (2016). The finite volume method in computational fluid dynamics (Vol. 113, pp. 10-1007). Berlin, Germany: Springer.
- Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2011). Numerical methods for engineers (Vol. 2). New York: Mcgraw-hill.
- Versteeg, H. K., & Malalasekera, W. (2007). An introduction to computational fluid dynamics: the finite volume method. Pearson education