Clase digital 3. Productos y cocientes notables

Productos y cocientes notables

Introducción

Hola, confío encontrarte con bien, continuamos con este trayecto formativo. En esta clase abordaremos la importancia que los productos y cocientes notables tienen en la vida cotidiana, de tal manera que al encontrar la solución de los monomios, binomios y polinomios se espera contribuir a que las y los estudiantes alcancen las competencias definidas. Además, se analizaremos el uso de métodos de solución de productos notables y ecuaciones lineales de primer grado para verificar si las y los estudiantes pueden demostrar que han alcanzado los objetivos, dado que, son conceptos importantes en álgebra y nos permiten simplificar y resolver expresiones algebraicas de manera más eficiente.

De esta manera, esta clase se centra en elementos importantes que alinean la Experiencia de Aprendizaje (EA) que se pretende alcanzar. Al traducir enunciados al lenguaje algebraico estarán relacionando procesos matemáticos para hallar las soluciones de una ecuación. Los temas que abordaremos son de suma importancia para que posteriormente puedas llegar encontrar la solución a ecuaciones cuadráticas.

Por lo tanto, durante la clase, exploraremos ejemplos y ejercicios prácticos para comprender y aplicar estos conceptos de producto y cocientes notables. También veremos cómo podemos utilizar estas propiedades en la resolución de problemas y la simplificación de expresiones algebraicas más complejas. ¡Prepárate para expandir tus habilidades algebraicas!

Sin otro particular, doy inicio a esta clase.

Desarrollo del tema

3.1 Monomios, binomios, trinomios y polinomios

Los monomios, binomios, trinomios y polinomios son términos utilizados en álgebra para describir diversas expresiones algebraicas.

Características de los monomios:

• Los monomios representan las expresiones algebraicas más simples y constan de un número, compuesto por una o varias letras.
• El número se denomina coeficiente, y las letras conforman la parte literal.
• El grado de un monomio se refiere a la suma de los exponentes de sus letras.

Aquí tienes algunos ejemplos:

Los monomios son considerados semejantes si comparten la misma parte literal. La suma o resta de dos monomios semejantes genera otro monomio, donde el coeficiente es la suma o resta de los coeficientes respectivos. Ejemplos:

La suma o resta de monomios semejantes a veces permite simplificar expresiones algebraicas operando con los monomios que comparten similitud.

El producto de dos monomios, sean semejantes o no, resulta en otro monomio. El coeficiente es el producto de los coeficientes, y la parte literal es el producto de las partes literales. Ejemplos:

Para que el cociente de dos monomios sea, a su vez, un monomio, el grado del monomio divisor debe ser igual o mayor que el del dividendo. En caso contrario, el resultado es una fracción algebraica. Ejemplos:

Un binomio, es la suma de dos monomios. Ejemplo:

Un trinomio es la suma de tres monomios. Ejemplo:

Un polinomio se define como una suma finita o diferencia de términos con exponentes enteros no negativos en las variables. Si un polinomio solo contiene la variable x, se le llama «polinomio en x». Los siguientes ejemplos son representativos de polinomios:

El exponente más grande de un polinomio en una variable es el grado del polinomio. Se dice que una constante distinta de 0 tiene grado 0 (un polinomio 0 no tiene grado). Por ejemplo, 5x³ – 8x² + 7x -4 es un polinomio de grado 3. Un polinomio debe tener más de una variable. Un término que contenga más de una variable tiene un grado igual a la suma de todos los exponentes que aparecen en las variables en el término. Por ejemplo, – 3x⁴ y³ z⁵ es de grado 4 + 3 + 5 = 12. El grado de un polinomio en más de una variable es igual al grado más alto de cualquier término que aparezca en el polinomio. Según esta definición, el polinomio 2x⁴ y³ – 3x⁵ y + x⁶ y² es de grado 8 debido al término x⁶ y².

Suma y diferencia de polinomios

Para visualizar mejor lo que es un polinomio, imaginemos que los símbolos representan objetos de naturaleza distinta, por ejemplo, a puede ser libros, b puede ser lápices, c libretas, d frascos de tinta. Entonces el contenido del cajón de mi escritorio puede ser simbólicamente expresado así, por ejemplo:

Si mi hermana tiene su escritorio descrito por el polinomio:

Y si me cediera el contenido de su escritorio, entonces yo tendría:

Este ejemplo es para mostrarles que cuando se suman o restan (a ese respecto es igual) polinomios, es preciso agrupar los monomios iguales y aplicar las reglas de la suma y la resta de números a sus coeficientes numéricos. Ejemplo, sumar o restar según indique.

Para una comprensión más detallada, te invito a ver los siguientes videos preparados por GCFAprendeLibre (2023). Estos videos ofrecen explicaciones paso a paso y ejemplos para sumar y restar polinomios de manera efectiva.

Multiplicación

Las propiedades asociativa y distributiva, junto con las propiedades de los exponentes, también se usan para encontrar el producto de dos polinomios. Por ejemplo:

Ahora se usa la propiedad distributiva tres veces consecutivas a la derecha del símbolo de igualdad, para obtener:

También se puede escribir de la siguiente manera:

Este producto se llama diferencia de cuadrados: ( x + y) (x – y) = x² – y² como los productos de este tipo son frecuentes, es importante reconocer cuándo debe usarse este patrón.

Te invito a ver el siguiente video de Khan Academy (2013), donde se explican los pasos para realizar la multiplicación de polinomios. Aprenderás cómo multiplicar término por término, distribuir y combinar términos semejantes para obtener el producto final. Además, se presentarán ejemplos prácticos para que puedas comprender y aplicar estos pasos de manera efectiva. ¡No te lo pierdas!

3.2 Productos notables

Los productos notables son herramientas útiles en álgebra para simplificar expresiones algebraicas, factorizar polinomios y realizar cálculos más eficientes. Reconociendo estos patrones, podemos ahorrar tiempo y esfuerzo en la multiplicación y simplificación de expresiones. A continuación, se presentan algunos productos notables, analiza detenidamente el recurso digital y da clic en el menú horizontal para cambiar de diapositiva.

Es momento de poner a prueba tus conocimientos, te invito a realizar la siguiente práctica que se encuentra en GeoGebra, sobre productos notables y después debes ver video donde se explica a detalle estos conceptos mediante ejercicios resueltos.

3.3 División de polinomios

Vamos a empezar por recordar que la multiplicación de monomios decía que los coeficientes numéricos se multiplican y los exponentes de los factores iguales se suman. Por ejemplo:

Ahora, con la división se hace a la inversa: se dividen los coeficientes y se restan los exponentes. Por ejemplo:

Del mismo modo, el polinomio se divide, dividiendo cada término o monomio por el monomio divisor. Ejemplo:

Entrar a la siguiente página web de GeoGebra te ayudará a reforzar y evaluar tu aprendizaje sobre la división de los polinomios. En este recurso encontrarás ejercicios interactivos, explicaciones detalladas y ejemplos resueltos que te permitirán practicar y mejorar tus habilidades en este tema.

3.4 Ecuaciones de primer grado

Una ecuación es una igualdad que solo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada x. Cuando solo aparece una letra que siempre está elevada a uno, tenemos una ecuación de primer grado con una incógnita. Según la clasificación de las ecuaciones:

a. Atendiendo a su posibilidad de solución

1. Ecuación compatible. Es la que admite solución. Esta, a su vez podrá ser:

• Determinada. Si presenta un número limitado de soluciones.
  Ejemplo:

• Indeterminada. Si presenta un número ilimitado de soluciones.
  Ejemplo:

(9x – π)⁰ = 1…C.S. = {1;2;3;…}

2. Ecuación incompatible. Es la que no admite solución, frecuentemente se le da el nombre de Ecuación absurda. Ejemplo:

Nunca se verifica, pues no existe algún valor de x que haga cierta igualdad.

b. Atendiendo a la naturaleza de las expresiones que intervienen en la igualdad

1. Ecuación algebraica. Es aquella en la cual en ambos miembros de la igualdad solo intervienen expresiones algebraicas. Una ecuación algebraica puede ser:

• Ecuación algebraica racional.
  Ejemplo:

• Ecuación algebraica irracional.
  Ejemplo:

2. Ecuación trascendente. Es aquella en la que al menos uno de los miembros de la igualdad es una expresión trascendente.
Ejemplo:

sen 2x – 1 = 0

c. Atendiendo a sus incógnitas, las ecuaciones podrán ser de una, dos, tres o más incógnitas.

d. Atendiendo a su grado, las ecuaciones podrán ser

• Ecuación de primer grado o lineal.
• Ecuación de segundo grado o cuadrática.
• Ecuación de tercer grado o cúbicas.

Las ecuaciones de primer grado, su forma general es:

Las partes de una ecuación se dice que son:

En la clase digital número 2, vimos los pasos para resolver una ecuación lineal o de primer grado. Por lo tanto, ahora te voy a dar algunas recomendaciones o sugerencias para resolver problemas con dichas ecuaciones de primer grado:

A continuación, te presento una actividad en GeoGebra sobre los que aprendiste en este tema, se explica el concepto de ecuación de primer grado, un ejemplo de solución y graficación, te invito a analizar y dar lectura para que posteriormente resuelvas los ejercicios propuestos al final, recuerda que puedes consultar tus lecciones.

Conclusión

Resolver ecuaciones ayuda a desarrollar la capacidad creativa del intelecto y a solucionar problemas de la vida cotidiana con mayor celeridad. Los problemas sobre ecuaciones contribuyen al desarrollo del razonamiento lógico o casual, tan importante en el ser humano.

Es increíble ver cómo muchos al principio tienen miedo a las matemáticas, pero con la práctica desarrollan una gran capacidad y habilidad para la solución de problemas. Ahora utilizas el razonamiento lógico y no mecánico como habías estado acostumbrado. A estas alturas ya te podrás dar cuenta que las matemáticas no son cosa del otro mundo, es más, tal vez se han convertido en tu materia favorita porque te han ayudado a obtener buenas notas en tus otras asignaturas, y eso se debe a que aceptaste el reto de dominarlas.

Los productos notables son útiles para simplificar expresiones algebraicas, factorizar polinomios y realizar cálculos más rápidos en álgebra. Al reconocer estos patrones, podemos ahorrar tiempo y esfuerzo en la multiplicación y simplificación de expresiones. Asimismo, aprender sobre monomios, binomios, trinomios y polinomios es fundamental en el álgebra ya que nos permite trabajar con expresiones algebraicas de manera más eficiente y comprender mejor la estructura y propiedades de las mismas, nos permite realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división de estas expresiones, simplificar y factorizar polinomios, encontrar raíces y soluciones de ecuaciones polinómicas, entre otras aplicaciones.

Para finalizar la clase te invitamos a contestar el siguiente examen:

Fuentes de información

• Egoavil, J. R. (2014). Fundamentos de matemática: Introducción al nivel universitario (pp. 11-32). Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas. https://search-ebscohost-com.ugto.idm.oclc.org/login.aspx?direcd=true&db=e000xww&AN=1042759&lala=es&site=ehost-live&scope=site.
• Figueroa, M. (2010). Aritmética y álgebra (pp. 89-114). Firmas Press. https://elibro-net.ugto.idm.oclc.org/es/ereader/ugto/36338?page=1