Factorización
Introducción
¡Bien hecho! Estás a punto de concluir el curso, has llegado a tu última clase, en donde, abordaremos temas de factorización, una herramienta fundamental en álgebra para descomponer expresiones algebraicas en factores más simples.
La factorización nos permite expresar una expresión algebraica como el producto de factores irreducibles. Esto nos ayuda a simplificar las expresiones, encontrar soluciones a ecuaciones e identificar patrones en los polinomios.
Durante esta clase, exploraremos diferentes sistemas de factorización, como la factorización por factor común, la factorización de un trinomio cuadrado perfecto, la factorización de la diferencia de cuadrados, la factorización por agrupación y más. Aprenderás técnicas y estrategias para identificar los factores comunes, reconocer patrones y simplificar las expresiones algebraicas. Además, se presentarán ejemplos resueltos y ejercicios prácticos para que puedas aplicar tus conocimientos y fortalecer tus habilidades de factorización. También, te ayudará a desarrollar habilidades analíticas y de resolución de problemas que son aplicables en una amplia gama de campos.
Para concluir la clase, se abordarán los temas relacionados a las ecuaciones cuadráticas, aprenderás los diferentes métodos de solución para las ecuaciones cuadráticas, como la factorización, la fórmula general y el método de completar el cuadrado. Cada método tiene sus propias ventajas y se aplica en situaciones particulares.
Además, entenderás la importancia y la aplicación de las ecuaciones cuadráticas en diversos campos, como la física, la economía, la ingeniería y otras ciencias. Estas ecuaciones nos permiten modelar situaciones del mundo real y encontrar soluciones para problemas prácticos.
¡Disfrútalo y aprovecha al máximo esta última clase!
Desarrollo del tema
4.1 Sistemas de factorización
La definición propuesta para factorizar, según Aguilar y Bravo (2009) es expresar una suma o diferencia de términos como el producto indicado de sus factores; éstos se presentan en la forma más simple. En ese sentido, existen sistemas de factorización o métodos sistemáticos utilizados para factorizar expresiones algebraicas de manera eficiente y precisa. A continuación, te presento algunos sistemas de factorización comunes, te recomiendo revisar las lecciones de la clase digital número 3 “Productos y cocientes notables”, en caso de tener dudas sobre los pasos si se siguen para la factorización:
1. Factorización por factor común
Consiste en encontrar el factor común más grande entre los términos de una expresión y factorizar fuera de la expresión.
2. Factorización por factor común por agrupación de términos
Se agrupan los términos que tengan algún factor común, de tal modo que la expresión restante pueda factorizarse.
3. Factorización por diferencia de cuadrados
Lo que da como resultado el producto de binomios conjugados. a2 – b2 = ( a + b )( a – b )
4. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto a2 ± 2ab + b2
5. Factorización del trinomio de la forma x2 + bx + c
6. Factorización de un trinomio de la forma. ax2 + bx + c
Te invito a visualizar el siguiente video de Matemáticas del profe Alex (2018), donde aprenderás a saber qué método utilizar cuando necesites factorizar.
4.2 Mínimo común múltiplo de polinomios
El mínimo común múltiplo (mcm) es un concepto que se aplica principalmente a los números enteros. No se define directamente para los polinomios, sin embargo, cuando hablamos de polinomios, podemos encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores de fracciones algebraicas. En este caso, el mcm se refiere al polinomio más pequeño que contiene a todos los denominadores de las fracciones algebraicas involucradas. Para encontrar el mcm de dos o más polinomios, se deben seguir los siguientes pasos:
- Factorizar cada polinomio en factores irreducibles.
- Identificar los factores comunes y no comunes de los polinomios.
- Tomar el producto de los factores comunes y no comunes, elevando cada factor a su mayor exponente. El resultado obtenido será el mínimo común múltiplo de los polinomios.
Es importante tener en cuenta que, al igual que con los números enteros, el mcm de dos polinomios puede no existir si no tienen factores comunes o si sus factores comunes no se pueden multiplicar para obtener el polinomio más pequeño que los contiene a ambos.
4.3 Concepto y tipos de ecuaciones cuadráticas
Una ecuación cuadrática es una ecuación algebraica de segundo grado, es decir, una ecuación en la que la variable o incógnita está elevada al cuadrado. Las ecuaciones cuadráticas son ampliamente estudiadas en álgebra y tienen diversas aplicaciones en matemáticas y en otras áreas como física, economía, ingeniería, entre otras. Se utilizan para modelar situaciones en las que la relación entre variables es cuadrática.
Por otro lado, un sistema de ecuaciones cuadráticas, geométricamente se generan cuando se intersecan una recta y una curva con ecuación cuadrática (circunferencia, parábola, elipse e hipérbola) o dos ecuaciones cuadráticas; la solución que satisface ambas ecuaciones son los puntos de intersección. Existen diferentes tipos de ecuaciones cuadráticas, algunos de los cuales son los siguientes:
4.4 Métodos de solución y aplicación de las ecuaciones cuadráticas
Existen varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, algunos de los cuales son los siguientes:
El video de Cogollo (2023) se muestra a continuación y nos da un ejemplo de aplicación de una ecuación cuadrática mediante el método de factorización. Te invito a visualizar y reflexionar.
Es momento de conocer cómo es resolver un problema de aplicación mediante la graficación de una ecuación cuadrática, por lo tanto, te invito a revisar la siguiente actividad en GeoGebra done encontrarás un video con los pasos que se siguen en el método, así como un ejemplo de solución con la fórmula general.
Conclusión
La factorización es una herramienta importante en el álgebra que nos permite descomponer una expresión algebraica en factores más simples. La factorización nos ayuda a comprender mejor la estructura y propiedades de las expresiones algebraicas, facilitando la resolución de ecuaciones y la simplificación de cálculos.
La factorización nos permite identificar patrones, encontrar raíces y soluciones de ecuaciones, simplificar fracciones algebraicas, determinar propiedades de los polinomios, entre otros. Además, la factorización es útil en aplicaciones prácticas como la resolución de problemas de matemáticas, física, ingeniería y ciencias en general.
Al factorizar una expresión, podemos expresarla de diferentes formas, lo que nos brinda flexibilidad para trabajar con ella y realizar operaciones algebraicas de manera más eficiente. Además, la factorización nos ayuda a simplificar expresiones y encontrar valores numéricos de manera más fácil. Es importante practicar y dominar las técnicas de factorización, ya que nos permiten resolver ecuaciones y simplificar expresiones de manera más efectiva. La factorización es una habilidad fundamental en el álgebra y es la base para comprender conceptos más avanzados en matemáticas.
Las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones algebraicas de segundo grado que tienen una amplia aplicación en diversos campos de las matemáticas y otras disciplinas. Son de gran importancia debido a su capacidad para modelar situaciones en las que la relación entre variables es cuadrática. Al resolver ecuaciones cuadráticas, podemos determinar los valores de la variable que satisfacen la ecuación y encontrar soluciones reales o complejas.
Para finalizar la clase te invitamos a contestar el siguiente examen:
Fuentes de información
- Figueroa, M. (2010). Aritmética y álgebra (pp. 124-140). Firmas Press. https://elibro-net.ugto.idm.oclc.org/es/ereader/ugto/36338?page=1
- Aguilar M, A., Bravo Vázquez, F., & Gallego Ruiz, H. (2009). Matemáticas simplificadas. (pp. 308-320). Prentice Hall. https://drive.google.com/file/d/0B8uuoDP4HDHOTVhlVHh2RTVyZzg/edit?resourcekey=0-CkxNEsahz1LnkVQKRSdWcQ