Clase digital 3. Vectores

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Vectores

Introducción

En Física es fundamental distinguir que trabajamos con dos clases de magnitudes, por un lado están las magnitudes escalares que solamente requieren expresar una dimensión y las unidades y por el otro, las cantidades vectoriales que requieren de una dirección y un sentido además de la dimensión y las unidades.

Las cantidades vectoriales se pueden representar gráficamente como flechas, con el tamaño de acuerdo con la dimensión y en la dirección correspondiente. Esto nos permite sumarlas y restarlas de manera gráfica utilizando varios métodos; nosotros utilizaremos el método gráfico del polígono que puede usarse perfectamente para cualquier número de vectores. Aprenderemos también cómo se realiza la descomposición y la composición rectangular de un vector de manera gráfica y analítica; lo anterior resulta útil como una introducción al método analítico de las componentes para sumar vectores, el cual será estudiado en la última parte de esta lección.

El aprendizaje de los conceptos en relación con los vectores y sus operaciones te habilitará para el estudio posterior de la Estática y la Cinemática en esta unidad de aprendizaje de Física I, así como de la Dinámica, cuyos principios se abordarán en el primer bloque de Física II.

¡Iniciemos esta aventura con los vectores! ¡Adelante!

Desarrollo del tema

Características de un vector

Un vector es una cantidad matemática que posee magnitud, dirección, sentido y un origen o punto de aplicación. Los vectores se utilizan para representar cantidades vectoriales y gráficamente se dibujan como flechas en la dirección especificada, con un tamaño proporcional a la magnitud del vector y cuya punta indica el sentido. Véase la siguiente figura:

Figura 1. Características de un vector.
Fuente: https://ney.one/fisica-concepto-de-vector-y-tipos-de-vectores/

Magnitudes escalares y vectoriales

En Física, muy frecuentemente hacemos referencia a diferentes magnitudes físicas: hablamos de una presión atmosférica de 101.3 kPa, de una temperatura ambiente de 20 ºC, de la velocidad del aire de 20 km/h hacia el norte, del diámetro de 3 m de la trayectoria circular de un objeto, de una aceleración vertical negativa de 9.81 m/s2, de una fuerza horizontal de +100 N, etc. Observando con detenimiento podemos notar que se trata de diferentes tipos de magnitudes porque en algunas tenemos que especificar, adicionalmente, una dirección y un sentido para hacernos entender de manera correcta. Y en realidad así es, ya que utilizamos cotidianamente dos tipos de magnitudes físicas: magnitudes escalares y magnitudes vectoriales.

Las magnitudes escalares son aquellas que quedan perfectamente especificadas con tan sólo indicar su dimensión expresada en números y las unidades de medida. Por otro lado, las magnitudes vectoriales para definirlas cabalmente requieren que además de la magnitud y de las unidades de medida, se indique la dirección, el sentido en el que actúan y en algunos casos, como el de las fuerzas, debe especificarse el origen o punto de aplicación.

El estudio de la figura 2 puede contribuir a sintetizar las similitudes y diferencias entre los dos tipos de magnitudes físicas.

Figura 2. Magnitudes escalares y vectoriales.
Fuente: https://entenderlasmates.blogspot.com/2016/10/magnitudes-escalares-y-magnitudes.html

El estudio del video presentado a continuación puede apoyarte para que comprendas de una mejor manera los tipos de magnitudes físicas y sus características, para lo cual se incluyen algunos ejemplos de ambas.

Una vez que tenemos claro lo que son los vectores y que éstos se pueden representar por medio de flechas en el plano cartesiano indicando su magnitud, dirección y sentido, ahora es conveniente definir cómo vamos a nombrarlos de tal manera que al denotar un vector quede claramente definido su magnitud, dirección, sentido y el punto de aplicación.

Según Tippens, P. (2011:45) la dirección de un vector puede indicarse utilizando como referencia los puntos cardinales norte (N), sur (S), este (E) y oeste (O).

A partir de la siguiente figura:



a)

Se aprecia que para indicar la dirección de un vector se mide el ángulo a partir del este haciendo girar una línea hacia el norte o hacia el sur; en su caso, se puede indicar la dirección midiendo el ángulo a partir del oeste hacia el norte o hacia el sur.

b)

Se aprecia que para indicar la dirección de un vector se mide el ángulo a partir del este haciendo girar una línea hacia el norte o hacia el sur; en su caso, se puede indicar la dirección midiendo el ángulo a partir del oeste hacia el norte o hacia el sur.

Figura 3. La dirección de un vector puede indicarse con referencia a los
puntos cardinales norte (N), sur (S), este (E) y oeste (O). (Tippens, 2011:45).
Fuente: https://fisica1bachillerato4.blogspot.com/2018/02/blog-post.html

Para señalar la dirección de un vector en el plano cartesiano también se puede utilizar el ángulo medido en posición normal, esto es, a partir del eje (x) positivo en el sentido contrario de las manecillas del reloj, como se señala en la figura 4.

Figura 4. La dirección de un vector se indica como un ángulo medido en
sentido levógiro a partir del eje positivo x. (Tippens, 2011:46).
Fuente: https://fisica1bachillerato4.blogspot.com/2018/02/blog-post.html

Sistemas de vectores

Los vectores pueden dividirse para su estudio en vectores coplanares o no coplanares, vectores colineales y vectores concurrentes. A continuación se definen cada uno de estos sistemas:

  • Vectores coplanares. Los vectores son coplanares cuando se encuentran en el mismo plano; los vectores que no están en el mismo plano son no coplanares. Ver figura 5 a).
  • Vectores colineales. Los vectores que tienen la misma dirección o que se encuentran en la misma línea de acción forman un sistema de vectores colineales. Ver figura 5 b).
  • Vectores concurrentes. Cuando las líneas de acción de dos o más vectores se cruzan en un punto común a éstos se les conoce como concurrentes y al punto donde se cruzan constituye el punto de aplicación. Ver figura 5 c).

a) Coplanares – no coplanares

b) Colineales

c) Concurrentes

Figura 5. Sistemas de vectores. (Pérez, H., 2016:41).

Suma y resta de vectores por el método gráfico del polígono

Para sumar o restar vectores se pueden usar métodos gráficos o analíticos; tanto en los métodos gráficos como en los analíticos se toman en cuenta la magnitud, la dirección y el sentido de los vectores. El método gráfico que vamos a estudiar en este curso es el del polígono, el cual puede ser usado para sumar o restar cualquier número de vectores; los métodos gráficos o analíticos del triángulo y del paralelogramo se utilizan exclusivamente para sumar pares de vectores y pueden ser considerados como casos especiales del método del polígono.

Antes de sumar vectores estudia a continuación el video Representación gráfica de Vectores con los puntos cardinales para entender cómo se grafican los vectores:

El método del polígono es el método gráfico más general para sumar vectores y puede ser utilizado para 2 o más. El método consiste en los pasos siguientes:

  1. Definir, primeramente, la escala más conveniente de acuerdo con el espacio disponible para realizar la figura;
  2. Con base a esta escala, se determina el tamaño de la flecha que va a representar a cada vector;
  3. Se toma cualquiera de los vectores y se dibuja a partir del origen del plano cartesiano con la medida y la dirección correspondiente;
  4. Se dibuja el siguiente vector, con su magnitud y dirección, a partir de la punta del primer vector;
  5. Se repite el mismo procedimiento hasta que se trazan todos los vectores que se desean sumar;
  6. El vector suma es el que une el extremo inicial del primer vector con la punta final del último vector;
  7. Se mide la longitud del vector resultante y se calcula su magnitud utilizando la escala definida al principio;
  8. Se mide el ángulo del vector resultante a partir del eje positivo de las (x) (o a partir del Este), en el sentido contrario de las manecillas del reloj.

Estudia y repasa con atención los siguientes videos, lo que te resultará útil para afianzar el método:

Pero hasta ahora no hemos hablado de la resta de vectores. Pues bien, una resta la podemos convertir en una suma de vectores: A – B = A + (-B). Y ¿Cómo se calcula el negativo del vector B? Veamos: El vector B lo podemos escribir como B = B, Ø, en el que B en negritas es el vector en sí mismo, B sin negritas es la magnitud del vector B y Ø representa la dirección del vector medida en sentido levógiro, es decir, opuesto a las manecillas del reloj a partir del eje positivo de las x (o a partir del Este). El vector negativo de un vector tiene entonces la misma magnitud pero su dirección medida en el sentido levógiro será Ø + 180º.

El video El negativo de un vector presentado a continuación te ayudará a entender lo anterior:

Por lo tanto, para restar vectores gráficamente primero se expresa la resta como una suma de vectores y luego se utiliza el método gráfico del polígono ya explicado algunos párrafos antes. Los siguientes videos te ayudarán a entender el procedimiento:

El video Métodos gráficos para la suma y resta de vectores (polígono) presentado a continuación ejemplifica claramente la suma y la resta de vectores de manera muy clara.

Suma de vectores por el método analítico de componentes rectangulares

Para sumar vectores analíticamente se pueden utilizar los métodos analíticos del triángulo, del paralelogramo o, el más general, el método de las componentes rectangulares. En este curso de Física I concentramos nuestra atención en el estudio del método de las componentes.

La suma de vectores usando el método de componentes requiere aprender primero qué son y cómo se calculan las componentes de un vector. El siguiente video ¿Qué son las componentes de un vector? te ayudará a comprender el concepto de componentes de un vector y el signo asociado a cada una dependiendo del cuadrante en el que se ubica un vector dado:

El siguiente video Cómo hallar las componentes de un vector expone la manera de utilizar lo aprendido hasta ahora:

Ahora ya estamos en condiciones de sumar un sistema de vectores utilizando componentes rectangulares, con vectores en cualquier cuadrante, incluyendo casos especiales como son los vectores verticales y los horizontales. Estudia los siguientes videos:

  1. El video Vectores Suma por Componentes Rectangulares explica la suma de 3 vectores cuya dirección se indica como el ángulo agudo que forma cada vector con el eje (x). En este caso el vector resultante queda localizado en el cuadrante I y se muestra también cómo calcular su magnitud y dirección:
  1. Este segundo video Vectores Suma usando componentes Rectangulares incluye un vector (P) ubicado sobre el eje (x) y el vector R localizado justo en el (y) negativo con el objeto de mostrar cómo se calculan las componentes en esos casos especiales. También ahora la dirección de cada vector se especifica usando el ángulo agudo que cada uno forma con el eje (x), por lo cual deberíamos asegurarnos de calcular éstos antes de comenzar nuestro proceso de solución en problemas posteriores, sean de estudio o para la solución de problemas reales. A continuación reproduce y estudia el video:

Puedes estudiar y fortalecer tu comprensión y aprendizaje de los temas de este bloque II de Vectores leyendo y practicando el contenido de las páginas 45-59 del libro Física Conceptos y aplicaciones del autor Paul E. Tippens, Séptima edición revisada, editorial Mc Graw Hill (2011). Solicita la ayuda de tu profesor(a) cuando lo juzguen conveniente.

Conclusión

Hemos aprendido en esta lección un concepto importante y que resulta por demás relevante en la Física y para la ciencia en general: el concepto de vector. Aprendimos cuáles son sus características, cómo se representan los vectores de manera gráfica y escrita y cuáles son los diferentes tipos de sistemas en los que actúan los vectores.

También practicamos y profundizamos en el método gráfico del polígono utilizado para sumar y restar vectores; el método analítico estudiado en este curso es el método de descomposición rectangular, el cual resulta práctico, útil y que puede ser empleado para sumar o restar 2 o más vectores. Resulta imperativo subrayar, que aunque por el método gráfico no se logra el resultado exacto que se obtiene con el procedimiento analítico, no obstante el realizar las figuras que representen una situación bajo estudio en la que se involucran los vectores nos permite visualizar y entender qué es la suma de vectores, cómo es la resta, qué es la resultante y, por tanto, desarrollar la habilidad para juzgar nuestro resultado.

Por último, toda vez que hayamos aprendido el concepto de vector y sus operaciones, estamos en condiciones idóneas para abordar la Estática en la siguiente lección, así como de la Cinemática en el último tercio de este curso de Física y, como ya se dijo, de los principios de la Dinámica, tema que será abordado en el curso de Física II.