Clase digital 4. Operaciones con fuerzas

Operaciones con fuerzas

Presentación del tema

A partir de simplificar la situación real de fuerzas aplicadas a un cuerpo mediante un diagrama de cuerpo libre y considerando inicialmente al cuerpo como una partícula, podemos conocer el efecto final, como si lo realizase una sola fuerza a la que denominamos fuerza resultante, cuya acción puede ser anulada mediante una fuerza igual y de sentido contrario, como indica la tercera ley de Newton (o de acción y reacción), lo que se vuelve fundamental para el equilibrio de las estructuras de los edificios.

Para lo anterior, requerimos realizar operaciones con las fuerzas (sumas y restas), ya sea mediante métodos gráficos, a partir de la geometría como es el teorema del paralelogramo y sus derivaciones (teorema del triángulo y teorema del paralelogramo), o métodos algebraicos, a partir de la trigonometría, como es el uso de las leyes de senos y cosenos.

Además del movimiento rectilíneo producido por las fuerzas, el punto de aplicación de estas sobre el cuerpo puede producir un giro sobre un punto o un eje, a lo que denominamos momento, teniendo un giro o momento resultante por las acción de todas ellas (teorema de Varignon), y que puede también ser visto como un par de fuerzas de igual magnitud y diferente sentido aplicadas sobre el eje de giro.

Objetivo didáctico de la clase

Obtener la fuerza y el momento resultantes que producen el mismo efecto que un conjunto de fuerzas aplicadas a un cuerpo, a partir de operaciones gráficas o matemáticas.

Contenido didáctico

Presentación de los contenidos

Con la finalidad de obtener la resultante de un conjunto de fuerzas aplicadas a un cuerpo rígido, debemos realizar diversos procedimientos para resolver el problema planteado. Iniciamos por realizar una serie de simplificaciones, como son el considerar al cuerpo como una partícula, y pasar el diagrama espacial de la realidad a un diagrama de cuerpo libre, donde sólo se hacen constar las fuerzas aplicadas a partir de un punto en el espacio, para utilizar los métodos gráficos o los algebraicos en su solución.

Las partículas como sustitutos de los cuerpos rígidos

Las partículas son simplificaciones de la situación física real que se realizan para el análisis de la fuerzas actuantes sobre ellos, para evitar lidiar con el tamaño y la forma de los cuerpos involucrados, y suponer que todas las fuerzas que se ejercen sobre un cuerpo se suponen aplicadas en un mismo punto, permitiendo resolver más fácilmente el problema planteado.

Diagrama espacial y diagrama de cuerpo libre

El empleo de las partículas nos permite simplificar el estudio de los cuerpos, pasando de un diagrama espacial (una imagen completa de todo lo que pasa en el problema físico real) a un diagrama de cuerpo libre (una partícula en la que muestran las fuerzas actuando sobre ella), mediante el empleo de un punto geométrico de aplicación (un lugar del espacio sin dimensiones ni masa).

Un problema de estática en la vida real: el izado de un peso, ilustrado mediante un diagrama espacial (Ilustración 1), que puede ser simplificado mediante el uso de un diagrama de cuerpo libre (Ilustración 2), en el que el cuerpo izado es una partícula al final del vector vertical y el punto geométrico es el denominado A. Esto permite obtener las fuerzas que soportarán los cables (Ilustración 3) y, posteriormente, determinar el diámetro y el material de los mismos. Fuente: Beer et al., 2010: 37.

Métodos gráficos de operación con fuerzas

Para hallar la resultante de un par de fuerzas, podemos usar gráficamente el Teorema del paralelogramo o de Stein, cuya resolución implica dibujar la magnitud de cada una a escala, con un punto de origen común, y generar paralelas a las mismas formando un paralelogramo, con lo resultante es el vector formado entre él. 

A partir de ensayos gráficos se pudo determinar que la suma de dos fuerzas o vectores, conocida en física como la resultante o fuerza que tiene el mismo efecto que las dos fuerzas originales, se puede obtener mediante el Teorema del paralelogramo o Principio de Stein, también conocido como método de resolución de la suma, en el que inicialmente se colocan en un mismo origen a las dos fuerzas (y que por concurrir en un mismo punto se denominan fuerzas concurrentes), y se forma un paralelogramo con paralelas a ambas, con lo que la resultante es el vector que dibujamos entre el origen común y el vértice contrario del paralelogramo.

Si el proceso se realiza colocando la segunda fuerza a partir del fin de la primera, podemos obtener el mismo resultado, con lo que el procedimiento se denomina teorema del triángulo.

Extendiendo el procedimiento del teorema del triángulo, de colocar las fuerzas a partir del fin de cada anterior, se pueden resolver problemas planteados con más de dos fuerzas, a lo que denominamos teorema del polígono.

Métodos algebraicos de operación con fuerzas

El teorema del triángulo nos permite utilizar las leyes del triángulo para la solución matemática de la resultante de un par de fuerzas:

• Ley de senos: “En todo triangulo se cumple que la razón del seno de un ángulo con su lado opuesto es igual a la razón de cualquiera de los otros ángulos con su lado opuesto.” Esto se expresa así:

• Ley de cosenos o teorema de Pitágoras: “En todo triangulo se cumple que, conociendo 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos, se puede conocer el tercer lado”. Lo anterior supone tres posibilidades expresadas así:

a²= b²+ c²-2bc(cos cos α)

b²= a²+ c²-2ac(cos β)

c²= a²+ b²-2ac(cos cos θ)

Otros elementos importantes de la geometría a recordar son:

• La suma de los ángulos internos de un triángulo son 180°
• Los ángulos alternos-internos entre dos paralelas son iguales
• Los ángulos opuestos por el vértice son iguales
• Los ángulos complementarios suman 180°

Método de componentes rectangulares

El teorema del paralelogramo se puede usar de manera inversa para determinar las fuerzas que dan origen una sola fuerza, a las que se denomina componentes de la fuerza, que se pueden colocar en diferentes ángulos para formar un triángulo. Si usamos un ángulo recto o de 90° entre ambas componentes, se les llama componentes rectangulares de la fuerza.

Al aplicar componentes rectangulares, podemos el sistema cartesiano con su origen como inicio de todas las fuerzas aplicadas al cuerpo, y descomponerlas en los dos ejes X e Y (o extenderse al eje Z, en el caso de situaciones en el espacio), con lo que se simplifica el procedimiento a sumar las componentes verticales u horizontales, y aplicar el Teorema de Pitágoras o la simplificación de la Ley de Cosenos, y donde la hipotenusa del triángulo es la resultante del conjunto de fuerzas.

Momento de una fuerza

Las fuerzas no concurrentes, o que no se intersecan en un punto común, además de movimiento de traslación, originan movimiento de rotación al cuerpo; esto se denomina momento o tendencia de la fuerza a producir rotación alrededor de un punto, y cuya magnitud es igual al producto de la fuerza por la distancia entre la fuerza y el punto de giro (denominado brazo de momento), dicho giro puede tener el sentido de las manecillas del reloj o el sentido contrario.

Teorema de momentos de Varignon

Igual que el efecto que produce la resultante de un conjunto de fuerzas actuando sobre un cuerpo, la resultante producirá un mismo momento respecto de un punto dado, que la suma de los momentos producidos por las fuerzas respecto del mismo punto, a lo que se denomina Teorema de Varignon. Ello sirve para determinar el momento resultante y buscar aquel que le hará oposición para evitar que el cuerpo salga de su estado de reposo o equilibrio.

Pares de fuerzas

Dos fuerzas no concurrentes de la misma magnitud y sentido contrario aplicadas sobre un cuerpo tenderán a producir rotación, mas no traslación. A este conjunto de fuerzas particulares se le denomina par de fuerzas. Si se aplica el teorema de Varignon se puede emplear una sola fuerza que produzca el mismo efecto que el par de fuerzas, trasladando la fuerza hasta la distancia necesaria para lograr esto, a ello se le denomina traslación de una fuerza.

Ideas relevantes de la clase digital

Para lograr el equilibrio de las estructuras se hace necesario determinar la fuerza resultante de un conjunto de fuerzas aplicadas a un cuerpo; así como el momento resultante de la aplicación de estas.

Para ello disponemos tanto de métodos gráficos (ley del paralelogramo) como de métodos algebraicos (leyes del triángulo), siendo los segundos los más rápidos, sobre todo al hacer uso de la descomposición de las fuerzas en sus componentes rectangulares por la aplicación de un eje cartesiano.

Un momento se puede descomponer en un par de fuerzas de misma dirección y sentido contrario, teniendo esto aplicación en el manejo del momento interno de un cuerpo (materia de estudio de la resistencia de materiales) mediante la translación de fuerzas a una distancia tal que sea igual al momento aplicado.

• Para saber más, realizar la lectura siguiente:
  • Seely & Ensign. (1977). Mecánica analítica para ingenieros. pp. 34-63.
  • McLean & Nelson, (1986). Mecánica para ingenieros. Estática y dinámica. pp. 15-23 y 36-43.

Fuentes de información

• Beer et al., (2010). Mecánica vectorial para Ingenieros. Estática.
• Ching & Adams. (2006). Guía de construcción ilustrada.
• Moisset. (1992). Intuición y razonamiento en el diseño estructural.
• Ocariz. (2017). Componentes de una fuerza.