Operaciones con vectores por métodos gráficos
Introducción
¡Hola!
Me siento muy feliz al saber que sigues aprovechando este curso, espero que lo sigas disfrutando, por lo tanto te invito a comenzar nuestra sexta clase.
En esta ocasión continuaremos con lo visto en la sesión anterior, hemos aprendido que hay principalmente dos métodos para realizar operaciones con vectores. Ahora revisaremos los que se conocen como métodos analíticos, en los cuales se divide a cada vector en dos, llamados componentes rectangulares. Estos métodos son los más utilizados debido a su gran practicidad a la hora de sumar o restar una cantidad grande de vectores.
Sin más que esperar comencemos con la clase.
Desarrollo del tema
Suma y resta de vectores por método de componentes
Como se mencionó, la limitante del método de paralelogramo es que solamente permite sumar dos vectores a la vez, lo cual haría complicada la tarea de sumar una cantidad mucho mayor de vectores, ya que tendríamos que ir trabajando a pares. Por lo tanto, debemos aprender un método que nos sea más sencillo de proceder, este método es el de componentes.
Para poder utilizar este método, primero debemos recordar, cómo se ubican puntos en la forma polar, en geometría analítica. Recordemos que para ubicar puntos en el plano, debíamos encontrar el círculo centrado en el origen que tuviera por radio la distancia del origen al punto que estamos ubicando y el ángulo que formaba entre la recta de ambos puntos y el eje x.
Así que, primero utilizaremos esta herramienta para descomponer un vector, en lo que se conoce como sus componentes rectangulares.
Un vector puede descomponerse en la suma de dos vectores perpendiculares, como se muestra en la siguiente imagen:
Notemos que los vectores van en la dirección de los ejes coordenados y además se forma un triángulo rectángulo con los vectores, así que podemos utilizar los conocimientos de trigonometría para calcular la magnitud de estos componentes. Como se muestra en la siguiente imagen.
Vectores unitarios: los vectores unitarios ya se definieron anteriormente, son aquellos que su magnitud es de 1, en particular, en física se utilizan los vectores unitarios i y j, para denotar la dirección de los ejes x, y, respectivamente. Esto facilita la forma de escribir un vector en sus componentes rectangulares de la siguiente manera:
Ahora ya sabemos cómo descomponer un vector, solamente es necesario conocer su magnitud y el ángulo que forma con respecto al eje x, sin embargo, qué pasa si conocemos las componentes rectangulares del vector y queremos conocer el vector resultante. Para esto utilizamos las siguientes ecuaciones:
Nota: debemos de tener cuidado con la ecuación del vector ya que al tener el valor absoluto este siempre entregará un ángulo entre 0 y 90, pero no necesariamente en el ángulo que se está buscando. Para corroborar debemos fijarnos en el sentido de las componentes y ver en qué cuadrante se ubica el vector resultante.
El descomponer un vector tiene la ventaja, de que tanto la suma o resta de vectores, se realiza componente por componente, es decir si queremos sumar vectores, debemos de sumar todas las componentes i y sumar todas las componentes j, el vector resultante tendrá por componentes el resultado de estas sumas.
Por ejemplo, para el caso de sumar o restar tres vectores, se sigue lo siguiente:
De manera análoga se hace para la resta.
Este procedimiento será mucho más útil que cualquier método gráfico, ya que la dificultad recae simplemente en el hecho de descomponer cada vector en sus componentes rectangulares, por lo cual será el método que utilizaremos a lo largo del curso.
Conclusión
En conclusión, hemos aprendido el método que utilizaremos para poder describir muchos de los fenómenos físicos de esta materia como lo son la estática y la cinemática. Recuerda que el método de componentes es el más utilizado debido a su exactitud en los cálculos y practicidad al intentar operar con muchos vectores a la vez.
Ahora que hemos terminado de comprender las herramientas matemáticas que usaremos y los conceptos principales de la física, comenzaremos a analizar los fenómenos que se explican en una de las ramas de la física, la Estática, en la siguiente clase.
Tus esfuerzos hasta el momento comenzarán a dar sus frutos en pasos mucho más grandes a partir de aquí, no dejes que la curiosidad por comprender lo que te rodea sea opacada por el conformismo, sigue esforzándote casi llegamos a la mitad de este curso. Revisa el material complementario y realiza las actividades correspondientes. Nos encontraremos próximamente.