Clase digital 6: Rapidez de variación / Tasas relacionadas

Rapidez de variación / Tasas relacionadas

Presentación del tema

Las tasas relacionadas son razones o parámetros de variables que se relacionan en una función, estas tasas las podemos encontrar por medio de la derivada, la cual es la que realiza la relación. 

Algunas de las muchas aplicaciones de la derivada es en física tales como el movimiento de una partícula. Por medio de derivadas conoceremos el comportamiento de ésta, su movimiento respecto al tiempo, lo que se considera una tasa relacionada, debido a que la posición cambia con respecto del tiempo. Además, por medio de la interpretación de los cálculos, podemos conocer la ubicación de la partícula en determinado tiempo, también conoceremos que nos indica el signo en los cálculos, etc. 

Otra aplicación en física sería la variación de la temperatura conforme las horas del día, cuando un cuerpo se encuentra en condiciones diferentes a las comunes es posible conocer cómo se comporta con respecto a una función que nos indica este cambio en las condiciones. Una aplicación más que se convierte en tema relevante es en economía, teniendo una función que nos indica la utilidad en nuestras ventas de n cantidad de elementos, los costos brutos y todo lo que requerimos para realizar un negocio que sea conveniente.

Objetivo didáctico de la clase

• Resolución de ejercicios que impliquen tasas relacionadas.

Contenido didáctico

Presentación de los contenidos

Movimiento Rectilíneo

La derivada de una función f en el número x₁ tiene una interpretación como la tasa de variación o razón de cambio instantáneo de f en x₁.

Podríamos manejar la recta numérica en la que a la derecha se encuentran los números positivos y a la izquierda los negativos, denotamos un origen y lo denotamos como O. La función f determinará la distancia dirigida de la partícula a partir del origen O en cualquier tiempo.

Esto nos dice que s será en metros (m) la distancia dirigida desde el origen O a los t segundos (s), por lo tanto, s es la función definida por:

s=f(t)

La cual proporciona la distancia dirigida desde el punto O hasta la partícula en un instante particular.

Ahora podemos obtener la velocidad de la partícula a los t segundos, si derivamos la ecuación de la posición de la partícula.

Suponga que la ecuación s = f(t) define a s (el número de metros de la distancia dirigida de la partícula desde el punto O) como una función de t (el número de segundos en el tiempo). Cuando t = t₁, s = s₁. El cambio en la distancia dirigida desde O es (s-s₁) metros durante el intervalo de tiempo (t-t₁) segundos, y el número de metros por segundo de la velocidad promedio de la partícula durante este intervalo de tiempo ésta dado por:

s-s₁ -/ t-t₁

O, como s = f(t) y s₁ = f(t₁), la velocidad promedio se determina a partir de 

f(t) – f(t₁) / t-t₁

Entre más corto sea el intervalo de t₁ a t, más cerca estará la velocidad promedio de lo que pensaríamos que es la velocidad instantánea en t₁.

La velocidad instantánea puede definirse como el límite del cociente f(t)-f(t₁) / t-t₁ conforme t tiende a t₁, suponiendo que este límite existe. Este límite es la derivada de la función f en t₁.

La velocidad instantánea puede ser positiva o negativa, dependiendo de si la partícula se desplaza en el sentido positivo o negativo. Cuando la velocidad instantánea es cero, la partícula está en reposo. La rapidez de una partícula en cualquier tiempo es el valor absoluto de la velocidad instantánea. En consecuencia, la rapidez es un número positivo.

Observe que la rapidez nos indica qué tan rápido se está moviendo la partícula, en cambio la velocidad instantánea también indica el sentido del movimiento.

Tasa de variación

“Si una cantidad y es función de una cantidad x, se puede expresar la tasa de variación de y por unidad de variación de x. Esta discusión es análoga a la discusión de la pendiente de la recta tangente a la gráfica y a la de la velocidad instantánea de una partícula que se mueve a lo largo de una recta.

Si la relación funcional entre y y x está dada por: y = f(x) y si x varía del valor x1 al x1 + Δx,  entonces y varía de f(x1) a f(x1 + Δx). De modo que la variación de y, denotada por Δy, es f(x1+Δx) – f(x1) cuando la variación de x es Δx. La tasa de promedio de variación de y por unidad de variación de x, conforme x varía de x1 a x1 + Δx, está dada por:

f (x₁+∆x) – f(x₁) / ∆x = ∆y / ∆x

Sí el límite de este cociente existe cuando Δx→0, este límite es el que se considera como la tasa de variación instantánea de variación de y por unidad de variación de x en x1”.

Ideas relevantes de la clase digital

1. Es posible conocer el comportamiento de una partícula por medio de su función. 
2. Es posible predecir eventos por medio de la función de cualquier evento. 
3. El cálculo puede ayudarnos a realizar un negocio que sea conveniente para nosotros.