Máximos y mínimos de una función / Criterio de la primera derivada: funciones crecientes y decrecientes / Criterio de la segunda derivada: concavidad y puntos de inflexión. Construcción de gráficas / Valores extremos. Relativos, absolutos, puntos críticos, puntos de inflexión
Presentación del tema
Por medio de una función, es posible determinar el comportamiento de la gráfica sin necesidad de tabular, el procedimiento es sencillo si entendemos el concepto de derivada y su representación geométrica.
Cuando tenemos una función y obtenemos su derivada, estaríamos obteniendo la función para encontrar la pendiente en cualquier punto, si nosotros igualamos esa derivada a cualquier valor, encontraríamos la o las ordenadas en las cuales encontramos el valor de esa pendiente, ahora si igualamos a cero la derivada estaríamos encontrando en donde la pendiente es cero, pero que tiene de relevante este valor, pues el igualar la derivada a cero encontraríamos un punto en el cual hubo un cambio de signo en la pendiente, lo cual denominamos como punto crítico, el cual puede ser un máximo (un punto cuyo valor en fx es mayor para cualquier x), un mínimo (un punto cuyo valor en f(x) es menor para cualquier x) o simplemente un punto en el cual la pendiente es cero, teniendo una recta tangente él. Por lo tanto, podemos definir en qué lugar la pendiente es creciente o decreciente con solo utilizar un par de valores.
La segunda derivada de una función nos habla de la concavidad de la función, lo que nos dirá de forma más específica qué tipo de punto relativo tenemos.
Llenando una tabla en donde inferimos todos los comportamientos y cambios que se producen en la función es posible obtener la gráfica.
Una vez que hayamos comprendido como conocer el comportamiento de la función comenzaremos a trabajar con los extremos absolutos que es determinar los puntos máximos o mínimos de la función en un intervalo determinado, esto es de gran utilidad para algunos problemas de optimización, debido a que en la vida real no manejamos medidas o tiempos infinitos.
Objetivos didácticos de la clase
- Obtención de puntos relativos y absolutos de las funciones.
- Construcción de gráficas por medio la primera y segunda derivada.
Contenido didáctico
Presentación de los contenidos
Una aplicación importante de la derivada es determinar dónde una función alcanza sus valores máximos y mínimos (extremos). En términos geométricos, el teorema establece que, si f tiene un extremo relativo en c, y si f’(c) existe, entonces la gráfica de f debe tener una recta tangente horizontal en el punto donde x=c. También indica que si f es una función diferenciable, entonces los únicos números posibles c para los cuales f puede tener un extremo relativo son aquellos en los que f’(c)= 0. Esto es lo que llamamos el criterio de la primera derivada.
Para conocer analíticamente que clase de punto relativo es el que estamos manejando obtenemos la segunda derivada y sustituimos el valor de la ordenada, dependiendo del signo obtenido conoceremos si es una concavidad hacia arriba o hacia abajo. Llenando una tabla como esta:
| x | f(x) | f'(x) | f»(x) | Conclusión |
|---|---|---|---|---|
Es cómo podemos realizar la construcción de la gráfica de la función.
Con frecuencia tenemos funciones definidas en un intervalo dado, y se desea determinar el valor de la función más grande o más pequeño en el intervalo. Estos intervalos pueden ser cerrados, abiertos o cerrados en un extremo y abierto en el otro. El valor más grande de la función en un intervalo se denomina valor máximo absoluto y el valor más pequeño de la función en el intervalo se llama valor mínimo relativo absoluto.
| Título | Sinopsis | Tipo de recurso | Enlace web de consulta |
|---|---|---|---|
| Cálculo diferencial e integral | Máximos y mínimos de una función. (PP. 135-142 PP. 155-165 PP. 178-185) | Contenido textual | [Acceder] |
| Cálculo diferencial e integral | Máximos y mínimos absolutos. (PP. 162-167) | Contenido textual | [Acceder] |
| Aplicación de la derivada. Introducción | Uso de la derivada para conocer el comportamiento de la gráfica. | Contenido hipermediado | [Acceder] |
| Cálculo diferencial: máximos y mínimos con la primera y segunda derivada. | Criterio de la primera y segunda derivada. | Contenido hipermediado | [Acceder] |
| Extremos relativos y absolutos de una función | Diferencia entre extremos relativos y absolutos. | Contenido hipermediado | [Acceder] |
| Máximos y mínimos de una función / Criterio de la primera derivada: funciones crecientes y decrecientes / Criterio de la segunda derivada: concavidad y puntos de inflexión. / Construcción de graficas / Valores extremos. Relativos, absolutos, puntos críticos, puntos de inflexión | Obtención de puntos relativos y absolutos de las funcione. | Presentación | [Acceder] |
Ideas relevantes de la clase digital
- Por medio de la primera derivada de la función obtenemos podemos obtener la pendiente en cualquier punto de la función.
- Por medio de la segunda derivada de la función obtenemos la concavidad de la función en cualquier punto.
- Podemos realizar la construcción de la gráfica si conocemos el significado geométrico de derivada.
- La diferencia entre extremos relativos y absolutos, reside en que los primeros son en todo el dominio de la función, mientras que el absoluto se refiere a cierto intervalo de interés.