Clase digital 9: Otros métodos para calcular límites y Continuidad de una función

Otros métodos para calcular límites y Continuidad de una función

Introducción

¡Hola!

Es todo un privilegio contar con tu asistencia en esta nueva sesión, es muy seguro que la vas a disfrutar y aprenderás mucho, es por ello que te invito a la clase nueve denominada Otros métodos para calcular límites y Continuidad de una función del curso de Cálculo Diferencial.

Ya hemos visto el concepto de límite de una función y la importancia que tiene en el cálculo.

Sabemos hasta ahora que para poder calcular un límite podemos usar el método numérico, que se basa en construir una tabla de valores en la cual le damos valores a la variable (x) para acercarnos a un valor límite L de la función. Esta tabulación se puede hacer por la derecha o por la izquierda del valor al cual se quiere aproximar.

También podríamos usar el método gráfico, el cual se basa en elaborar una gráfica de forma manual o con algún software especializado. Con este método visualizamos el comportamiento de la función al aplicar el límite, tanto por la derecha o por la izquierda, en el punto que se analiza.

Finalmente, el método analítico en el cual se utilizan los conocimientos del álgebra y cálculo, que en principio parte de utilizar los teoremas para conocer el límite de una función en un valor de (x), dependiendo del tipo de límite y características matemáticas. Como habrás observado, a veces el proceso de resolver límites aplicando estrictamente sus teoremas no siempre muestra resultados correctos, de acuerdo con el tipo de función que se esté utilizando. Para resolver estos límites, se sugiere aplicar los métodos que estudiaremos en esta clase, siempre y cuando, al aplicar los primeros teoremas básicos de límites, se observe como resultado una indeterminación como:

Entendido lo anterior, empecemos la clase.

Desarrollo del tema

Daremos continuidad al tema límite de una función.

Vamos a conocer diferentes métodos para resolver límites sin tener que usar los teoremas vistos en la clase anterior, para agilizar el procedimiento. Solo pon atención en el procedimiento algebraico.

Límites que se resuelven por f(a): Directamente sustituye en la función el valor al que tiende x en el límite.

Ejemplos:

Límites en los cuales f(x) ≠ f(a)

En este caso f(a) resulta en un valor indeterminado. Este tipo de límites los vamos a encontrar en diferentes funciones que se pueden simplificar de tres formas, las cuales se muestran a continuación:

1. Factorización

Nota: Observamos que f(5) se indetermina y por eso se busca otra manera de resolver el límite, en este caso, con nuestros conocimientos de productos notables, decidimos qué podemos factorizar.

Ya que hemos factorizado y simplificado la expresión, entonces volvemos a aplicar f(5) para buscar obtener un valor en el conjunto de los números reales R.

x+5 = 5+5 = 10

Observa que el resultado es 10, que ya es diferente a tener un valor indeterminado 0/0.

2. Racionalización

Se llama racionalización al procedimiento por el cual a partir de una fracción con raíces en el denominador obtenemos otra fracción equivalente sin raíces en el denominador. Las raíces también pueden estar en el numerador de la fracción y se hace el mismo procedimiento.

Nota: Si sustituimos directamente f(0) observamos una indeterminación. En la función tenemos una raíz en el numerador, entonces procedemos a racionalizar para obtener una fracción equivalente sin raíces que nos ayudará a eliminar la x en el denominador y así poder eliminar la indeterminación inicial. 

Se multiplica por una fracción que contiene, tanto en el numerador como en el denominador, el conjugado de la expresión con raíz (signo contrario) para no alterar la función original. Esto es como si multiplicáramos por 1.

Entonces:

Este método se aplica y se resuelve usando diferencias de cuadrados y leyes de los exponentes de la siguiente manera:

3. Dividiendo el numerador y denominador por la variable de mayor grado

Nos dan una función de la siguiente forma:

Sustituyendo directamente en la función el valor al que tiende la variable x, observamos que f(∞) es indeterminada.

En este caso se va a dividir el numerador y el denominador por la variable de mayor grado, después aplicamos el teorema de límites c/x = 0.

Nota: recuerda que toda raíz de índice par de una cantidad subradical positiva, siempre tiene doble signo.

Límites que dan como resultado ∞ (TEOREMA 12)

Límites Unilaterales

Un límite unilateral es el valor al que tiende una función conforme los valores de x tienden al límite *por un solo lado*.

• Si f(x) = L y f(x) = L, entonces f(x) = L
• Pero si: f(x) ≠ f(x), entonces f(x) no existe.

Ejemplos:

• Encontrar f(x) si f(x) = {2x-1 x² si si x≤2 x>2

Nota: primero revisamos la función y observamos las desigualdades que indican los valores que toma la variable x. También observamos que hay dos funciones diferentes que se van a utilizar para cada lado del límite que se va a calcular. 

Empezaremos a analizar el límite por la izquierda (porque así lo indica x ≤ 2)

f(x) = (2x-1) = 2(2)-1 = 3

Analizando por la derecha (porque así lo indica x>2)

f(x) = x² =(2)² = 4

Como

f(x) ≠ f(x), entonces f(x) = no existe

Análisis de la continuidad de una función por medio de límites.

Conclusión

En resumen recordemos lo siguiente:

Para calcular límites, aprendimos que se puede usar el método numérico, que se basa en construir una tabla de valores en la cual le damos valores a la variable (x) para acercarnos a un valor límite L de la función. Con la tabulación se puede analizar por la derecha o por la izquierda del valor al cual se quiere aproximar.

Otro método utilizado es el gráfico, el cual se basa en elaborar una gráfica de forma manual o con algún software especializado. Con este método visualizamos el comportamiento de la función al aplicar el límite, tanto por la derecha o por la izquierda, en el punto que se analiza.

Finalmente, el método analítico que se abordó en esta clase utiliza los conocimientos del álgebra y cálculo, que en principio aplican los teoremas para conocer el límite de una función en un valor de (x), dependiendo del tipo de función, se aplica un método para resolver el límite como factorización y racionalización. 

El proceso de resolver límites aplicando estrictamente sus teoremas no siempre muestra resultados correctos, ya que pueden resultar indeterminaciones. El procedimiento general para resolver límites es primero aplicar los primeros teoremas básicos de límites como f(a), si se obtiene una indeterminación como: 0/0 o ∞/∞, se procede a aplicar algunos de los métodos vistos en esta clase.

Has llegado al final de la clase. ¡Te felicito por tu importante logro! Te invito a realizar la consigna asignada en esta clase y mandarla como corresponde. No olvides que te espero en la siguiente sesión. Hasta entonces.

Fuentes de información

• Límites y continuidad.
• Swokowski, E. W. (1989). El Cálculo con Geometría Analítica. (2^a ed.). Grupo Editorial Iberoamérica.
• Leithold, L. (1994).El Cálculo. (7^a ed.). Oxford University Press.