Clase digital 8: Definición de límite y teoremas

Definición de límite y teoremas

Introducción

¡Hola!

¡Vaya qué momento más grato el poder saludarte! Es un orgullo que continúes como estudiante de este curso. Espero que sigas perseverando hasta el final, por lo pronto te invito a revisar esta octava clase titulada Definición de límite y teoremas del curso Cálculo Diferencial.

En esta clase vamos a aprender sobre un tema fundamental del cálculo diferencial, ¡El límite! Este concepto se utiliza para definir la derivada, por lo cual, es muy importante comprender su significado y aplicación. 

En el mundo de las matemáticas te vas a encontrar con la función límite en algún momento y como ya sabrás, las matemáticas se aplican en la vida cotidiana, por lo cual tenemos que ser más críticos con lo que aprendemos. El límite en el cálculo diferencial es una magnitud fija a la que una magnitud variable puede aproximarse tanto como se quiera, sin ser necesario que se alcance. No te confundas, ¡es más simple de lo que parece!

Un ejemplo podría ser un tiro de media cancha de una pelota de baloncesto. Si el jugador en la posición tablero fuera un físico, pensaría que el movimiento del lanzamiento del balón sería una trayectoria parabólica, la cual tendría que bloquear resolviendo anticipadamente una ecuación, ¿sabes cuál? Pero en realidad hay otra forma de explicar la función límite, para determinar en qué punto se podría interceptar el balón, basándose en los elementos que componen la ecuación. 

En administración los límites pueden aplicarse para conocer el nivel de producción en una empresa y encontrar el costo mínimo viable para generar un mayor ingreso. En economía el límite se aplicaría para conocer el valor máximo o mínimo que puede adquirir el recurso capital en el mercado financiero o en un determinado periodo de tiempo. Con los límites se pueden hacer cálculos para conocer cuando se terminará un recurso vital, como por ejemplo el agua potable, de acuerdo con su explotación en algún lugar de mucha población humana.

Conozcamos más sobre los límites.

¡Te deseo todo el éxito en esta clase!

Desarrollo del tema

Sabemos que los límites son expresiones abstractas, es decir, nunca se pueden tocar ni visualizar, simplemente se entienden los conceptos básicos, teoremas y cómo trabajar con estos, y para eso tenemos que estudiar algo de teoría que se abordará a continuación, avancemos. 

El límite de una función.

Sea la función

la función f está definida para todos los valores de (x), excepto en x=1 y la función puede simplificarse a: f(x) = 3x+1 si x≠1.

Vamos a tabular dando valores a (x) cada vez más próximos a 1.0, que es donde vemos que se abre la función en la gráfica, pero menores que 1.0 y observemos qué valores adquiere la función f(x).

Ahora demos valores a (x), cada vez más próximos a 1, pero mayores que 1, y observemos los valores que adquiere f(x).

En las tabulaciones anteriores vemos que a medida que (x) se aproxima más a 1, f(x) se aproxima más a 4 y mientras más cerca se encuentra (x) de 1, f(x) estará más cerca de 4. Estas aproximaciones de la variable (y) de la función o f(x), pueden expresarse de la siguiente manera:

f(x) = 4

Otra forma de expresar esto es hacer |f(x)-4| tan pequeño como se desee, haciendo |x-1| lo suficientemente pequeño para lograrlo.

A la primera diferencia |f(x)-4| se le asigna el símbolo (épsilon) y a la segunda |x-1| le llamamos (delta) y diremos que |f(x)-4| será menor que , siempre que |x-1| sea menor que y mayor que cero, ya que x≠1. Es importante hacer notar que la magnitud de depende de la magnitud de . Resumimos diciendo que existe algún número positivo lo suficientemente pequeño como para que |f(x)-4| < ε siempre que 0< |x-1| <δ.

Esta explicación anterior se encuentra en la literatura generalizada de la siguiente manera:

Sea f una función que está definida en todo punto de algún intervalo abierto que contenga a (a), excepto posiblemente en el número (a) mismo. El límite de f(x) cuando x se aproxima a (a) es L y se denota como:

f(x) = L

Si para cualquier ε>0, por pequeño que sea, existe un δ>0: |f(x)-L|<ε siempre que 0< |x-a| <δ. Es necesario hacer notar que no se requiere que f(x)  exista para que f(x) exista.

Entonces, lo que esto significa es que al variar (x) en valores muy pequeños, f(x) cambia también en valores pequeños hasta aproximarse a un límite L.

Resolver problemas de límites puede hacerse por tabulación, es decir, aproximando la variable (x) hacia algún valor para observar hacia qué valor se aproxima la función, o utilizando la definición:

Ahora el propósito es presentar los teoremas que pueden utilizarse para simplificar el procedimiento del cálculo de límites, con los cuales será posible determinar límites de funciones sin hacer referencia a ε o δ.

• Teorema 1: Si a y c son números reales cualesquiera, entonces: C=C.
• Teorema 2:  Si a es un número real cualquiera: x=a.
• Teorema 3: Si a, b y c son números reales, entonces: (mx+b) = ma+b.
• Teorema 4: Si f(x) =L₁ y g(x) =L₂ entonces:

• Teorema 5: Si f(x) es un polinomio, entonces f(x) = f(a).
• Teorema 6: Si f(x) = L y n es un entero positivo, entonces [f(x)]ⁿ =Lⁿ.
• Teorema 7: Si f(x) =L, 

entonces ⁿ√f(x) = ⁿ√L

• Si L > 0 y n es un entero positivo. 

O si:

• Si L < 0 y n es un entero impar positivo.

• Teorema 8: (Para límites Unilaterales)

El límite de f(x) = L si y sólo si f(x) = f(x) =L 

Si f(x) ≠ f(x) entonces f(x) =L no existe.

• Teorema 9: (Para límites al infinito)

• Teorema 10:

• Teorema 11: Si c es cualquier número real, f(x) = 0 y g(x) = c con c≠0.

Ahora vamos a utilizar estos teoremas para resolver límites de diferentes funciones. Comprueba los que ya están resueltos.

Revisa más ejemplos del tema en algún libro de cálculo diferencial de los sugeridos en la bibliografía.

Si tienes alguna duda, solicita una asesoría.

Conclusión

En conclusión, ahora tenemos una idea formal de lo que es el límite de una función. Básicamente es el concepto que distingue al Cálculo del Álgebra elemental y la Geometría Analítica. 

Recuerda que el cálculo es la matemática de los cambios como velocidad y aceleración, temperatura, costos, etc. Las matemáticas previas al cálculo se reformulan con un proceso de límite que da paso a las derivadas e integrales. El cálculo diferencial no es una recopilación de fórmulas nuevas. Ahora reconocerás que con los conocimientos previos del precálculo se fundamentan las nuevas fórmulas y técnicas del cálculo. 

Es decir, verás que, a partir de los límites de funciones, ya no se calculará el valor de una función cuando x=c, como se hizo en el tema de funciones, ahora hacemos cálculos del límite de una función cuando x tiende a c. 

Verás como esta nueva interpretación y comprensión de las nuevas teorías son fundamentales para explicar la pendiente de una curva, y no solo la pendiente de una recta como lo hiciste alguna vez en la geometría analítica. Comprenderás que calcular la tangente a una curva y aplicar el límite, tiene un significado que nos lleva a la esencia de lo que es el Cálculo Diferencial. 

Continuemos aprendiendo cómo resolver límites en la siguiente clase.

Con esto llegamos al final de la clase. ¡Felicidades, has concluido un tema muy interesante! No olvides la tarea, recuerda enviarla en tiempo y forma. Hasta la siguiente clase.

Fuentes de información

• Límites y continuidad.
• Swokowski, E. W. (1989). El Cálculo con Geometría Analítica. (2^a ed.). Grupo Editorial Iberoamérica.
• Leithold, L. (1994).El Cálculo. (7^a ed.). Oxford University Press.