Operaciones con funciones
Introducción
¡Hola!
¡Qué emoción volvernos a encontrar! Espero que sigas con ese mismo ímpetu de la primera clase y continúes aprendiendo, por lo tanto te invito a esta séptima clase titulada Operaciones con funciones del curso Cálculo Diferencial.
En esta clase vamos a conocer cómo hacer operaciones con funciones, verás que no es complicado.
Normalmente sumamos, restamos, multiplicamos y dividimos números casi todos los días, ya sea para verificar que nos dieron bien un pago en dinero, o para repartir algunas golosinas o simplemente organizar nuestros gastos. Podemos decir hasta ahora, que también ya sabemos hacer operaciones aritméticas con expresiones algebraicas, porque ya has practicado sumando y restando términos de este tipo. Bien, ahora que ya conocemos más sobre funciones, vamos a ver que también podemos hacer operaciones aritméticas con ellas.
Ya sabemos que matemáticamente hay un sin número de funciones, que individualmente representan una correspondencia entre dos valores y cuyo gráfico nos ayuda a entender su información histórica. Sin embargo, existen situaciones a nivel micro y macro que no es tan sencillo de representar con una sola función, incluso en la vida cotidiana como el vuelo de un pájaro si se repitiera constantemente. Ese comportamiento podría representarse con alguna operación aritmética de dos o más funciones conocidas. Y de una vez te digo que en esta clase sólo haremos operaciones aritméticas con dos funciones. Porque las operaciones aritméticas con tres o más funciones se hacen de la misma manera.
Es importante entender la notación que se utiliza para representar las operaciones aritméticas básicas para poder determinar el resultado.
¡Adelante y con mucho ánimo, empecemos la clase!
Desarrollo del tema
Hola, vamos a ver de forma sencilla lo que es hacer operaciones aritméticas con funciones como sumar, restar multiplicar y dividir. La parte complicada es entender la notación, pero verás que no lo es tanto: por ejemplo si te pidieran hacer la operación siguiente: (f+g)(x), quizás una interrogante seria ¿y eso qué significa? Bien, simplemente significa encontrar la suma de f(x) + g(x), veamos.
Dadas dos funciones f(x) y g(x):
- La suma se expresa como: (f+g)(x) = f(x)+g(x)
- La resta se expresa como: (f-g)(x) = f(x)-g(x)
- El producto se expresa como: (f*g)(x) = f(x)*g(x)
- El cociente se expresa como: (f/g)(x) = f(x)/g(x)
En cada una de las operaciones anteriores el dominio de la función resultante está formado por los valores de (x) comunes a ambos dominios de las funciones excepto en la división de valores de (x) donde g(x) = 0 se excluyen. ¿Recuerdas por qué?
Otra operación que nos da como resultado otra función conocida como compuesta es la composición de funciones. Esta operación se trata de la aplicación sucesiva de las dos funciones que forman parte de la operación, y a decir, con esta operación, los valores de una función estarán en el dominio de la otra función. Dicho de otra manera, la función compuesta de f(x) y g(x) es otra función que se obtiene aplicando g a las imágenes de f. la imagen o recorrido de una función son todos los valores de la variable dependiente, que tienen algún valor de la variable independiente que se transforma en él por la función.
- La función compuesta se expresa como: (fоg)(x) = f[g(x)]
Estos símbolos se leen g compuesta f y es la propia función compuesta que permite transformar directamente (x) en f[g(x)]
En este caso el dominio de la función resultante es el conjunto de todos los valores de (x), en el dominio de g, de modo que g(x) esté en el dominio de f.
Te preguntarás… ¿Por qué si f aparece primero en la expresión se lee g compuesta f? Bien, pues la razón es porque en realidad g es la primera que se aplica. Como puedes observar, para calcular esta función, simplemente sustituye g(x) en los lugares de las x en la función f(x). Veamos cómo hacerlo con el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1: Sean f(x)= √x+2 y g(x) = x2, encontrar las operaciones que indican los incisos:
Recuerda que la función composición es otra función, y por lo tanto, el dominio se obtiene de esta nueva función. Entonces el dominio de la función compuesta debe satisfacer simultáneamente las condiciones que le imponga la primera función y los de la segunda teniendo en cuenta que esta última actúa sobre g(x) y no sobre x.
Ahora para practicar calcula las siguientes operaciones y obtén el dominio resultante:
Ahora te invito a que veamos gráficamente algunos ejemplos: Sumar y restar funciones.
Ejercicios:
Si tienes alguna duda, contacta a tu asesor.
Conclusión
En conclusión, hemos visto que se pueden hacer operaciones aritméticas con las funciones polinomiales y algunas funciones trascendentes siempre y cuando se grafiquen en los mismos ejes cartesianos (X,Y).
La función resultante muestra información del dominio, en el cual, debemos tener cuidado cuando se trata de la división debido a que no existe la división entre cero. También se deben tener en cuenta los intervalos que nos muestran algunos ejercicios, por la restricción de que se limitan los valores en el conjunto de la variable independiente, por lo cual, el dominio ya se registra desde ±∞.
La función compuesta se puede describir como una función de una función, cuyo dominio y codominio se obtienen observando de igual manera los conjuntos resultantes de las variables independientes y dependientes.
Hemos llegado al final de la sesión y no me resta más que felicitarte por llegar hasta esta parte del curso. Te invito a que continúes con tu proceso formativo realizando la tarea asignada y mandarla como corresponde. Te encuentro próximamente.