Funciones y sus gráficas
Introducción
¡Hola!
Es un placer encontrarte, espero que sigas gozando de una excelente salud y tengas buen ánimo por aprender cosas nuevas de este curso, por ello te invito a la sexta clase titulada Funciones y sus gráficas del curso Cálculo Diferencial..
En esta clase revisaremos el concepto de función y veremos lo sencillo que resulta graficar funciones.
Las funciones sirven para demostrar muchos eventos de la vida cotidiana (que son nuestra realidad) y del comportamiento de la naturaleza misma como: los pronósticos económicos, la temperatura de un horno industrial, la velocidad de un huracán, etc.
Se aplican en muchas disciplinas de estudio como Ingenierías, Gestión Empresarial, Geología, Finanzas, cuyas relaciones entre variables pueden representarse en el plano cartesiano X e Y.
Recordemos que una función es una regla de correspondencia o una relación entre dos o más conjuntos de variables, pero en nuestro estudio sólo trabajaremos con dos variables. A cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto. El primer conjunto se llama dominio de la función o conjunto de partida, el segundo conjunto es llamado codominio de la función o conjunto de llegada.
Normalmente usamos las funciones sin darnos cuenta. Piensa en relaciones de correspondencia como por ejemplo que a cada persona le corresponde una fecha de nacimiento, otra seria que a cada libro le corresponde un cierto número de páginas, a cada pieza del tablero de ajedrez le corresponde una posición, etc.
¿Sabes de otros ejemplos de este tipo de relaciones?
Es necesario conocer las funciones elementales como las algebraicas, las trascendentes y las trigonométricas, ya que se utilizan en muchos problemas de Cálculo. Los diferentes grupos de funciones que encontrarás dependerán de su comportamiento y el tipo de relación que se establece entre las variables x e y.
Una vez definida la multiplicación de matrices, podremos ser capaces de hacer uso de estas técnicas para la resolución de ecuaciones lineales.
Entendido lo anterior, te invito a continuar la clase.
Desarrollo del tema
Las matemáticas son una de las disciplinas científicas más técnicas y objetivas que existen. Son la base de otras ramas de la ciencia y junto con la lógica son parte de las bases del conocimiento científico. Dentro de las matemáticas se estudia la relación entre dos magnitudes o dominios vinculados entre sí, de donde un resultado se obtiene en función a otro valor determinado.
De forma simplificada una función es un conjunto de pares ordenados de números (x,y) en el cual dos pares distintos no tienen el mismo primer número.
La siguiente es una función polinomial y vamos a determinar de qué está compuesta como función:
y = 2x2 + 5
La variable no despejada (x) también es conocida como variable independiente. La variable despejada (y) se conoce como variable dependiente. El dominio de una función es el conjunto de todos los valores posibles de la variable independiente (x). El codominio, contradominio o rango de una función es el conjunto de todos los valores posibles de la variable dependiente (y).
Recuerda que para graficar funciones puedes hacer una tabla de tabulación en la cual le das valores a la variable independiente (x), positivos y negativos, para obtener los valores de la variable dependiente (y).
Ejemplo 1: Tabula y grafica la función. y = x3+6x2+4x+12. Obtener el dominio y contradominio.
Paso 1: Contesta la pregunta: ¿Qué tipo de función es?
y = x3 + 6x2 + 4x + 12
Paso 2: Completa la tabla evaluando cada valor de (x) en el polinomio.
Paso 3: Dibuja los ejes coordenados, ubicando el eje x, el eje y, el origen y una escala.
Paso 4: Ubica los puntos y únelos si la función es continua.
Paso 5: Determina el Dominio:
Paso 6: Determina el codominio.
Fíjate que el polinomio no está delimitado en un intervalo, entonces observemos para qué conjunto de valores (x) se cumple esta gráfica. Observa que es una función continua en todos los valores de (-X), también pasa por (0) y es continua por todos los valores de (x). ¡Nunca despegar el lápiz al dibujarla de forma continua!, entonces el dominio abarca desde infinito positivo hasta infinito negativo. Entonces D[+∞,-∞]. Ahora con un análisis similar, saca el codominio.
Ejemplo 2: Graficar la siguiente función a trozos:
Puedes apoyarte con un software para comprobar tus gráficas como Geogebra Online®. Para esta función a trozos es necesario introducir las instrucciones de la siguiente manera: Si [x < -1, 1 / -3, Si[-1< x < 2, 1, Si [x > 2, 4]]] en el siguiente enlace: Calculator Suite.
Resulta interesante conocer la Notación Funcional ya que esta operación nos permite evaluar y conocer el valor de alguna función en algún valor de x en particular.
Ejemplo: f(x) = x2-2x+5, determinar el valor de la función en f(3). Procedemos a evaluar la función, sustituyendo en valor de 3, en todas las variables x de la expresión:
f(3) = (3)2 – 2(3) + 5 = 9 – 6 + 5 = 8
Ahora practica obteniendo los valores de f(0), f(1), f(-2), f(h), f(3x), ¡verás que no es complicado!
Ejercicios:
Si tienes alguna duda, contacta a tu asesor.
Conclusión
Para concluir el tema recordemos lo siguiente:
Las matemáticas y sus funciones son parte de nuestra vida cotidiana, aunque no estemos conscientes de ello, están por todos lados donde existan relaciones de correspondencia entre dos variables como el que a cada objeto a tu alrededor le corresponde un peso. El dominio nos da información respecto al conjunto de valores en la variable (x). Así como el codominio nos da información en el conjunto de valores de la variable dependiente. Lo más usual es trabajar con el dominio de una función.
Las gráficas de las funciones algebraicas y trascendentes se presentan en el eje cartesiano (X,Y) en donde se unen los puntos cuando es una función continua. Sin embargo, una función puede ser discontinua en un punto. Se representa esta discontinuidad con un punto abierto. La continuidad y discontinuidad resulta más evidente en funciones a trozos, cuya representación final representa una función continua. Las funciones raíz se grafican, usualmente, con la parte positiva que representa una semiparábola, las raíces imaginarias se descartan. La función valor absoluto, siempre mostrará valores positivos de la variable dependiente. Para graficar se puede tabular en un intervalo de valores de x positivos y negativos, o usar un software en línea como Wolfram Beta, derive o Matlab.
Es así que, con esta breve conclusión, terminamos la clase y te doy una ¡gran felicitación por este logro! No olvides realizar y enviar correctamente y a tiempo la tarea asignada. Te espero en tu siguiente clase.