División sintética y determinantes
Introducción
¡Hola!
Me siento muy feliz al saber que sigues aprovechando este curso de Cálculo Diferencial, espero que lo sigas disfrutando, por lo tanto, te invito a comenzar nuestra quinta clase con los temas División sintética y determinantes.
En esta clase vamos a recordar cómo usar la división sintética para obtener los ceros de un polinomio y sacar valores de las variables que componen un sistema de ecuaciones lineales.
Hasta ahora sabemos que existen varios métodos para poder determinar las raíces de polinomios cuadráticos como, por ejemplo, factorizar una expresión algebraica, y la fórmula general. También se pueden encontrar las raíces de un polinomio de grado 3 con productos notables con lo que hemos visto hasta ahora. Pero conforme suben de grado los polinomios, estas técnicas podrían no ser eficientes.
En esta clase vamos a repasar la división sintética y los determinantes que nos pueden ser útiles para buscar esas raíces de los polinomios de grado mayor a 2, con las cuales podríamos expresarlos en factores. Sin embargo, en algún momento podríamos darnos cuenta, si el grado del polinomio es > 3, que estas técnicas no siempre van a servirnos por la complicación de la operación y para esto tendríamos que recurrir a otros procedimientos como métodos numéricos.
La división sintética o Regla de Ruffini se utiliza para dividir un polinomio entre un binomio de la forma x-c y su aplicación principal es para determinar los ceros de un polinomio. Estos ceros pueden expresarse como factores de la expresión algebraica original ya que la técnica permite que se obtengan polinomios de menor grado, es decir, (x-c1)(x-c2)(x-c3).
Cuando se trabaja con sistemas de ecuaciones lineales, por ejemplo, de 2×2 o 3×3, se utilizan determinantes para obtener los valores de las variables que componen las ecuaciones del sistema.
Continuemos con el desarrollo del contenido.
Finalmente, recuerda que lo importante es que logres aprender lo mejor posible. Seguimos en contacto. Asimismo, espero que esta sesión sea de tu agrado.
¡Te deseo muchísimo éxito!
Desarrollo del tema
Los ceros de una función polinomial son los valores de la variable para los cuales la función vale cero. Si un número n es una solución de una ecuación polinomial P(x) = 0, entonces se dice que n es una raíz de la ecuación.
División sintética o regla de Ruffini
Se trata de dividir un polinomio P(x) entre un monomio de la forma x-a. hagamos el siguiente ejemplo:
(-3x5 + 4x3 – 5x + 1) entre (x-2)
PROCEDIMIENTO
1. En la primera fila colocamos los coeficientes del dividendo ordenados de acuerdo con las potencias decrecientes.
2. Colocar el término independiente del divisor cambiado de signo.
3. Bajar el coeficiente principal del dividendo a la tercera fila.
4. Los números en la segunda fila se obtienen multiplicando el término independiente del divisor por el último número que se obtuvo en la tercera fila.
5. Los números en la tercera fila se obtienen con la suma de los números de la primera y segunda fila.
6. La última suma de los números superiores es el resto de la división, resto=73.
7. Los coeficientes del polinomio cociente son los números de la tercera fila menos el último que es el resto. En este caso, los coeficientes son: (-3,-6,-8,-16,-37). Por lo tanto, el cociente es -3x4 – 6x3 – 8x2 – 16x – 37. El resto es R=73.
Ahora vamos a factorizar un polinomio aplicando el teorema del resto.
Si se divide P(x) entre (x-a) y la división es exacta, entonces p(x) = (x-a) * q(x).
TEOREMA: Si P(x) es un polinomio con coeficientes enteros y x = a es un cero del polinomio, entonces x = a divide al término independiente del polinomio P(x).
Ejemplo: Factoriza el polinomio P(x) = x4+x3-6x2-4x+8
Solución: En este caso, y de acuerdo con el teorema, si el polinomio tiene coeficientes enteros, estos son divisores del término independiente 8. Los divisores enteros de 8 son, ±1, ±2, ±4, ±8.
Si quieres comprobar que un número es un cero, evalúa ese número en el polinomio buscando que te de igual a cero.
P(1) = (1)4 + (1)3 – 6(1)2 – 4(1) + 8 = 0
Entonces, ya podemos efectuar la división sintética:
Entonces el resultado es: P(x) = x4+x3-6x2-4x+8 = (x-1)(x3+2x2-4x-8).
Si necesitamos seguir factorizando, repetimos el procedimiento para x3+2x2-4x-8 de la siguiente forma:
Entonces, colocando todos los términos independientes del divisor, como factores, con signo contrario en el resultado tenemos:
P(x) = x4+x3-6x2-4x+8 = (x-1)(x-2)(x+2)2.
Lo que también puedes hacer, es que, al reducir el polinomio a una expresión cuadrática, puedes usar la fórmula general, u otra técnica para factorizar, si así lo decides.
Ejemplos:
Tarea
Cuando queremos sacar los valores de las variables de sistemas lineales de 2×2 o 3×3, una forma de hacerlo es por medio de determinantes, aunque también puedes usar la regla de Cramer. Verás que no es complicado:
DETERMINANTES: muchos problemas de la vida real obligan a resolver simultáneamente varias ecuaciones lineales para hallar las soluciones comunes a todas ellas. También resultan muy útiles en geometría, las ecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema, equivale a estudiar la posición relativa de estas figuras geométricas en el plano o en el espacio.
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que se puede escribir de forma tradicional así:
Un sistema así expresado tiene m ecuaciones y n incógnitas, donde aij son los coeficientes reales del sistema, los valores bij son los términos independientes del sistema y las incógnitas xi son las variables del sistema. La solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales s1, s2,…, sn tales que al sustituir en las incógnitas satisfacen a la vez las m ecuaciones del sistema. Un sistema se puede representar con matrices de la siguiente manera:
Entonces para obtener las soluciones comunes con determinantes vamos a utilizar estos conceptos de la siguiente forma con un sistema de ecuaciones lineales 3×3:
El procedimiento para resolver las determinantes de 3×3 de forma general con la regla de Sarrus es así:
Investiga cómo puedes usar la Regla de Cramer para un sistema de ecuaciones lineales de 3×3 y 4×4.
Ahora, para practicar estudia el ejemplo y realiza la consigna.
Ejemplo:
De forma alternativa podrías usar la fórmula de Leibniz, la regla de triángulo o el método de Montante para obtener los resultados de cada determinante. Investiga la diferencia entre cada método.
Conclusión
En conclusión, la división sintética o regla de Ruffini se usa para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de la forma x-a, logrando así una forma más sencilla y compacta de hacer la división. Cuando el problema no nos da el divisor y tenemos un polinomio con coeficientes enteros, y ceros enteros, estos son divisores del término independiente. Si en la última suma de los números superiores el resto es cero, podemos expresar en factores los coeficientes del polinomio cociente con el divisor con signo contrario. El polinomio se puede seguir factorizando, repitiendo el procedimiento con los siguientes divisores del término independiente. La división sintética se puede combinar, al obtener los coeficientes de la expresión cuadrática, con la regla general, o factorizándola con otras técnicas conocidas.
Cuando tenemos un sistema de ecuaciones lineales, y nos interesa conocer las soluciones comunes a todas ellas, podemos utilizar determinantes o la regla de Cramer. Sólo se debe seguir el procedimiento y tener cuidado con los signos de los coeficientes. Primero se calcula el determinante de coeficientes, después se sustituye la columna de los términos independientes del sistema en la posición de la variable que se va a calcular y se resuelve el determinante, por último, se resuelve el cociente de ambos para obtener el valor de cada variable. Para comprobar que los resultados son correctos, se sustituyen en cada una de las ecuaciones y el resultado debe ser igual al término independiente de las ecuaciones. Puedes usar la fórmula de Leibniz, la regla de triángulo o el método de Montante así como la regla de Sarrus para obtener los resultados de cada determinante.
Ahora ya tienes los conocimientos básicos para el estudio del Cálculo Diferencial, solo requieres seguir practicando para que adquieras más agilidad y habilidad para reconocer y resolver problemas de Álgebra.
Es así como se concluye pues con esta quinta sesión. ¡Felicitaciones por tu esfuerzo y dedicación! No olvides realizar y mandar en tiempo y forma tu tarea, hasta luego.