Operaciones con raíces y racionalización
Introducción
¡Hola!
Siempre es un gusto saludarte y saber que tienes el ánimo para continuar, te invito a seguir en este camino formativo en tu cuarta clase titulada Operaciones con raíces y racionalización del curso Cálculo Diferencial.
¿Y qué me cuentas de la raíz cuadrada?
De acuerdo con la historia, la raíz cuadrada es una expresión matemática que surgió al plantear diversos problemas geométricos como la longitud de la diagonal de un cuadrado.
Los babilonios aproximaban raíces cuadradas haciendo cálculos mediante la media aritmética reiteradamente. Inicialmente se demostró la utilidad de la raíz cuadrada para la resolución de problemas trigonométricos y geométricos como el cálculo de la longitud de la diagonal de un cuadrado o el teorema de Pitágoras.
Posteriormente ganó utilidad para aplicarse con polinomios y resolver ecuaciones de segundo grado o superior. En la actualidad es una de las herramientas matemáticas más elementales que verás en muchas expresiones algebraicas y funciones del cálculo diferencial e integral.
El símbolo de la raíz cuadrada, como se conoce en la actualidad, fue introducido en 1525 por el matemático Christof Rudolff para representar esta operación. El signo es una forma selecta de la letra r minúscula para hacerla más elegante, alargándola con un trazo horizontal hasta obtener el aspecto actual. Este símbolo representa la palabra latina radix cuyo significado es “raíz”.
Por definición, la raíz cuadrada es una operación matemática que a partir de un número real positivo devuelve otro número real positivo el cual multiplicado por sí mismo resulta en el número inicial.
La gráfica de una función raíz cuadrada corresponde a la mitad de una parábola como las que surgen de la función cuadrática. En este caso el eje de simetría de la media parábola es horizontal es decir paralelo al eje de las abscisas, como una antena parabólica dirigida al horizonte.
De acuerdo con lo anterior, te invito a continuar la sesión, ¡mucho éxito!
Desarrollo del tema
Continuemos el repaso del tema de raíces.
La diferencia entre una raíz cuadrada, cúbica y de grados mayores es el número que aparece al principio de la raíz como (n) que indica el grado de la raíz, este número se llama índice.
Una raíz sin índice especificado es una raíz cuadrada.
√x = 2√x = raíz cuadrada.
La raíz cuadrada también se puede expresar como una variable con exponente fraccionario. √x= x1/2, y a la raíz de una cantidad se le conoce como radical.
Para simplificar radicales es necesario extraer la raíz de cada uno de los factores, hasta llevarlos a su mínima expresión.
- Conversión de radicales distintos a otros, con índice igual al m.c.m. de los índices.
Ejemplo: √3, 3√4, 4√2. Se obtiene el mínimo común múltiplo de los índices, se divide entre cada índice y el sub radical se eleva el cociente calculado.
El m.c.m. de los índices 2,3 y 4 es 12.
Hacemos la siguiente relación:
- Suma y resta de radicales: para sumar y restar radical, primero se operan los radicales semejantes y después se simplifican los radicales no semejantes juntos.
Ejemplo:
- Multiplicación de radicales del mismo índice: se multiplican los sub radicales, el resultado queda dentro del radical con el índice de la raíz.
- División te radicales del mismo índice: si obtiene un radical del mismo índice con el cociente de ambos sus radicales.
- Potenciación de radicales (radical elevado a una constante): en este caso, se eleva a la potencia cada 1 de los valores que se encuentran fuera y dentro del subºradical.
- Radicación de radicales: la raíz de una raíz se resuelve mediante el producto de los índices de cada una, mismo que se convierte en el nuevo índice de la segunda raíz.
- Racionalización del denominador cuando es un monomio: la racionalización consiste en eliminar los radicales de una fracción, ya sea que estos se encuentren en el numerador o en el denominador. Si la fracción tiene un monomio con un radical en el denominador, para racionalizarla se multiplican tanto el numerador como el denominador por el radical que desea eliminarse.
Ejemplo:
- Racionalización del denominador de una fracción cuando es un binomio con raíces cuadradas: se multiplica el denominador y el numerador de la fracción por el conjugado del denominador. El conjugado es una expresión que sólo difiere en un signo.
Ejemplo:
Recordemos que el conjugado de (√x – √3) es (√x + √3) qué es lo que necesitamos para racionalizar una expresión algebraica. Entonces:
Ejercicio: Te invito a ver el siguiente video y los videos relacionados en apoyo a tu aprendizaje:
Conclusión
En conclusión, en la práctica para trabajar con radicales, se sugiere que los estudiantes de precálculo tengan la habilidad de manipular las operaciones básicas ya que este tipo de expresiones se encuentran frecuentemente en las matemáticas básicas, en el cálculo diferencial y las matemáticas aplicadas a las diferentes áreas del conocimiento como Gestión Empresarial e Ingenierías.
La raíz es el resultado de la operación matemática que incluye el índice, el radicando y la cantidad sub radical. √a Significa una cantidad qué elevada al cuadrado reproduce la cantidad sub radical a4. En cuanto a las raíces imaginarias, sabemos que las raíces pares de una cantidad negativa no se pueden extraer, porque toda cantidad, ya sea positiva o negativa, elevada a una potencia par, da un resultado positivo. Resulta interesante que así como se puede extraer la raíz cuadrada de un número, también se puede obtener la raíz cuadrada de un polinomio entero y de igual forma la raíz cuadrada de polinomios con términos fraccionarios. Cabe mencionar que también es posible obtener la raíz cúbica de polinomios con términos enteros y términos fraccionarios.
Hemos recordado que se requiere identificar expresiones que contengan el signo radical y exponentes fraccionarios y determinar cuál es el índice de la raíz para poder empezar a hacer operaciones. Es importante tener la práctica y noción de cómo simplificar un subradical así como introducir una cantidad dentro del radical. Saber reducir los radicales semejantes, así como reducirlos al menor índice facilita las operaciones entre polinomios que contienen radicales. Hay que recordar que también se pueden hacer sumas, restas, multiplicaciones y divisiones entre radicales, para esto se tiene que saber cómo elevar a una potencia un radical, hacer radicación de radicales y tener la habilidad de racionalizar una fracción algebraica que es muy importante para simplificar este tipo de expresiones.
Hasta aquí se concluye la clase. ¡Te felicito, vas muy bien! Te recuerdo que depende mucho de tu entusiasmo por aprender. No olvides hacer y mandar como corresponde la tarea asignada. Te espero en tu próxima clase, hasta entonces.