Fracciones y operaciones con fracciones
Introducción
¡Hola!
Qué gusto saber de ti en esta nueva clase, espero que sigas encontrando fascinante este curso de Cálculo Diferencial, en esta ocasión tenemos el tema de Fracciones y operaciones con fracciones.
Los números surgen por diversas necesidades del hombre para contar, para repartir y para medir. Los primeros números que surgieron fueron los naturales, sin embargo, no fueron suficiente para representar todas las situaciones cotidianas, por lo que poco a poco, surgieron otros números como los enteros, los racionales, etc.
¿Puedes mencionar otros tipos de números?
Imagina a la humanidad antes de los números. Con la necesidad de poder agregar, reunir, quitar calcular lo que falta, sumar reiteradamente, obtener el valor de varias veces algo, repartir, sin un sistema numérico. Esto dio lugar al desarrollo de la aritmética, con los números naturales, para poder sumar, restar, multiplicar y dividir para cubrir esas necesidades. Pero hasta este punto no se resolvían situaciones como el reparto de herencias, bienes y tierras, el pago de tributos, diezmos e impuestos en donde aparecía un nuevo elemento como la porción de la tierra a repartir, es decir, la relación entre la parte y el todo.
La parte y el todo se representaban sólo con números naturales que no eran suficientes, por lo cual con el tiempo surgió otro tipo de números para indicar esa relación entre dos números naturales. Esta fue la definición cultural básica de la fracción.
¿Qué es una fracción?
Con el tiempo los matemáticos sistematizaron y formalizaron los números como sistemas numéricos que a su vez sirvieron para desarrollar otras teorías matemáticas de gran utilidad para el desarrollo humano, así como la fracción.
Menciona 3 ejemplos de cómo usamos en la vida cotidiana, en el mundo moderno, las fracciones.
¿Estás preparado para tener éxito en esta clase de Fracciones? ¡Comenzamos!
Desarrollo del tema
Empecemos recordando cómo trabajar con fracciones, ¡ánimo!
Simplificación de expresiones algebraicas: Una fracción en la que el numerador y el denominador son polinomios se llama fracción algebraica. Se debe tener cuidado con las fracciones algebraicas para asegurar que, al sustituir las variables con números, el denominador resultante sea diferente de cero. Una fracción está en su forma más simple cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes además de 1. La propiedad del neutro multiplicativo se utiliza para escribir una fracción algebraica en su forma más simple. Una fracción también se puede simplificar mediante reglas de los exponentes o por factorización algebraica.
Ejemplos I:
Multiplicar fracciones algebraicas: El producto de dos fracciones es una fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores de las fracciones y cuyo denominador es el producto de los denominadores de las dos fracciones.
Ejemplo II:
División de expresiones racionales:
Recordemos cómo dividir fracciones algebraicas: El recíproco de una fracción con el numerador y el denominador intercambiados.
Fracciones algebraicas en términos del mínimo común denominador
Recuerda que el mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números es el número más pequeño que contiene la factorización de números primos de cada número. Por analogía el mínimo común múltiplo de dos o más polinomios es el polinomio más simple que contiene los factores de cada polinomio.
Para encontrar el mcm de dos o más polinomios, primero se factoriza completamente cada polinomio. El mcm es el producto de cada factor con el mayor número de veces que ocurre en cualquiera de las factorizaciones.
Ejemplo 3: Escribe las fracciones en términos del (mcd).
Buscando el mcd se tiene: 12x2 (x-2).
Expresar dos fracciones en términos del mcd: Al sumar o restar fracciones, a menudo, es necesario expresar dos o más de ellas en términos de un común denominador. Se puede utilizar el mcm de los denominadores de las fracciones como común denominador.
SUMA y RESTA de fracciones algebraicas con el mismo denominador.
Al sumar fracciones algebraicas en las que los denominadores son iguales, suma los numeradores. El denominador de la suma es el común denominador. La suma está escrita en su forma más simple. Al restar fracciones algebraicas en las que los denominadores son iguales, resta los numeradores. El denominador de la diferencia es el común denominador. Escribe la respuesta en su forma más simple.
Ejemplo 5:
SUMAR y RESTAR fracciones algebraicas con denominadores diferentes.
Antes de sumar o restar dos fracciones con denominadores diferentes, es preciso expresar cada fracción en términos de un común denominador.
Ejemplo 6:
Fracciones complejas
Una fracción compleja es aquella cuyo numerador o denominador contiene una o más fracciones.
Ejemplo 7:
Solución:
Fracciones parciales
Las expresiones algebraicas racionales se pueden expresar como la suma de expresiones racionales más simples. Por ejemplo, cuando se evalúan integrales de funciones racionales, es necesario descomponer la expresión racional en fracciones componentes más fáciles de integrar, llamadas fracciones parciales.
Reglas para el procedimiento:
- El método de las fracciones parciales es adecuado únicamente para fracciones propias, es decir, aquellas en las que el polinomio del numerador es de menor grado que el polinomio del denominador.
- El denominador debe ser factorizado de modo que los factores sean factores lineales o factores cuadráticos con coeficientes reales.
- La fracción no siempre puede descomponerse en fracciones parciales. Esto depende de la naturaleza de los factores que aparezcan en el denominador.
El método consta de los siguientes pasos:
i. Se expresa el denominador de la fracción como un producto de factores lineales de la forma ax+b, y de factores cuadráticos irreducibles de la forma ax2+bx+c. Esto en la práctica no siempre es fácil, pero en teoría es posible para cualquier polinomio en x con coeficientes reales.
ii. Se determina la forma de las fracciones parciales. Según la naturaleza de los factores en el denominador, se consideran 4 casos de descomposición en fracciones parciales: factores lineales no repetidos, factores lineales repetidos, factores cuadráticos no repetidos y factores cuadráticos repetidos.
Ejemplo: Factores lineales no repetidos.
Descomponer en fracciones parciales la siguiente fracción:
Ejemplo: Factores lineales repetidos
Descomponer en fracciones parciales la siguiente fracción:
Ejercicio: Factores cuadráticos no repetidos.
Resuelve al Descomponer en fracciones parciales.
Ejercicio: Factores cuadráticos repetidos.
Conclusión
En resumen, en esta sesión abordamos las diferentes partes de una matriz y algunos tipos generales que podemos encontrar.
En la vida cotidiana las fracciones se utilizan para representar una parte de un total como por ejemplo para expresar una parte de una cantidad total de comida, una cantidad de estudiantes del total presente, una parte de un volumen con respecto al total.
Una fracción puede ser el cociente de 2 números, pero también puede ser el cociente de 2 polinomios que finalmente siguen representando una parte de un total.
Para trabajar con fracciones propias o impropias tenemos que distinguir entre el numerador y el denominador en el cociente para que quede más clara la explicación teórica y se trabaje de la forma correcta.
Con las fracciones se pueden hacer operaciones aritméticas como suma, resta, multiplicación y división. Al trabajar con fracciones se deben considerar las reglas de los signos, las leyes de los exponentes, y el procedimiento para trabajar con raíces. También se debe tener la habilidad y agilidad para factorizar una expresión algebraica y tener claro el concepto de factores y su representación. El resultado de la simplificación de una fracción normalmente se sugiere que quede expresado con factores en la medida de lo posible.
Las fracciones parciales son expresiones algebraicas racionales expresadas como la suma de expresiones racionales más simples. Sirven mucho al evaluar integrales impropias que se utilizan en diversas áreas del conocimiento como el cálculo diferencial e integral. En álgebra se utilizan para reducir el grado del numerador o el denominador de una función racional. También se utilizan en áreas donde se trabaja con la transformada de Laplace inversa como Ecuaciones Diferenciales y Análisis de circuitos eléctricos.
Has llegado al final de la sesión y como puedes observar sigues abonando información valiosa a tu aprendizaje, te invito a continuar sumando información realizando la tarea asignada a esta clase. Recuerda que te espero en la próxima sesión.