Factores y Factorización
Introducción
¡Hola!
Es un gusto encontrarte nuevamente, espero que estés aprendiendo mucho, sobre todo, que tu ánimo no decaiga y sigas conociendo más acerca de los temas que se te presentan. Por lo tanto te invito a continuar en la segunda clase denominada Factores y Factorización del curso de Cálculo diferencial.
Continuamos con el repaso de Álgebra.
En esta clase nos enfocaremos en el tema de factorizar. Factorizar significa agrupar y básicamente se hace para facilitar y reducir problemas complejos. El problema complejo se reescribe en factores (grupos) y es por esto por lo que, a esta actividad se le conoce como factorización. Básicamente se puede pensar como la división de un gran problema, en problemas más pequeños, o en la agrupación de objetos por características comunes, por escalas numéricas, en pasos de un procedimiento para realizar una actividad, etc.
En la vida real la mente funciona de la misma manera de forma cotidiana, agrupando objetos.
¿Cómo es esto?
Veamos algunos ejemplos:
- La agrupación de cucharas, tenedores y cuchillos.
- La agrupación de frutas y verduras según su forma.
- La agrupación de humanos por edades para aplicar la vacuna del COVID-19.
- La serie de pasos para encender una computadora.
- La agrupación de material punzocortante como cuchillos, navajas, vidrios.
¿Se te ocurre algún otro ejemplo?
En Álgebra se factorizan las expresiones algebraicas. El procedimiento consiste en expresar una suma o diferencia de términos como el producto de dos o más factores. Por analogía, lo que hacemos es expresar una expresión algebraica (o problema complejo) en factores (o en grupos más pequeños).
Entonces al factorizar se descompone un número en factores más pequeños. Al multiplicar estos factores, observamos que obtenemos el número como resultado.
Continuamos con el repaso y práctica de algunos métodos para factorizar expresiones algebraicas.
Estas operaciones, simples en apariencia, nos servirán para entender las relaciones más complejas de este curso, por lo que se considera importante identificarlas.
Finalmente, recuerda que lo importante es que logres aprender lo mejor posible.
¡Te deseo muchísimo éxito!
Desarrollo del tema
Sabes que cuando se multiplican dos números reales a y b, estos se denominan factores del producto (a)(b). Es decir, si se tiene el producto (5)(2) = 10, entonces 5 y 2 son factores de 10. En Álgebra, si un polinomio P es el producto de otros polinomios, P1 y P2, entonces a cada uno de los polinomios anteriores P1 y P2 se le denomina factores del polinomio original P.
Como ejemplo de (x-2) (x+2) = x2-4 se deduce que los polinomios x-2 y x+2 son los factores de x2-4.
Recuerda que la factorización es importante cuando se trabaja con fracciones y se resuelven ecuaciones. Existen varias técnicas que se pueden utilizar dependiendo de la forma de la expresión algebraica a factorizar. Se puede factorizar por factor común, utilizando productos notables, por agrupamiento, por el método de ensayo y error, completando cuadrados, mediante la obtención de raíces por divisiones sucesivas, división sintética, por mencionar las más usuales. ¡Veamos algunas!
Factorización con PRODUCTOS NOTABLES
Algunos tipos de polinomios son muy comunes en álgebra, que se pueden identificar fácilmente y ayudan en la factorización de polinomios. ¿Recuerdas algunos de la clase 1?
Sean dos monomios cualesquiera denominados A y B, sumándolos y restándolos se obtienen los binomios A+B y A-B que podemos usar para obtener los factores de los productos notables conocidos como el binomio al cuadrado: (A+B) (A+B) = (A+B)2 = A2+2AB+B2.
Con la aplicación de los productos notables, pero en sentido contrario, se pueden descomponer algunos polinomios en producto de otros dos más simples, es decir:
25x4-64 = (5x2+8)(5x2-8)
Factorización con FACTOR COMÚN
Esta forma de descomposición de un polinomio es de las más útiles porque permite factorizar la mayoría de las expresiones. Se factoriza la expresión dada buscando un factor común a todos los términos o en su defecto se obtiene el máximo común divisor. Procedimiento: Dado abx + cdx – efx
- Buscar un factor que aparezca en todos los términos, en esta expresión es x.
- Al encontrar el factor común, se debe multiplicar por los factores no comunes.
x(ab + cd – ef)
Los métodos anteriores se pueden COMBINAR como sigue:
Dado p(x) = x3+2x2+x se observa un factor común x, por lo que se escribe:
p(x) = x3+2x2+x = x( x2+2x1+1)
Este nuevo trinomio es el resultado de un binomio al cuadrado, por lo que finalmente nos queda la factorización de la siguiente manera:
p(x) = x3+2x2+x = x (x2+2x1+1) = x(x+1)2 = x(x+1)(x+1)
Factorización por AGRUPAMIENTO:
En esta técnica de factorización se encuentran factores que no son comunes a todos los términos pero que son comunes a algunos. Consiste en buscar los posibles factores comunes en la expresión y agrupar los términos de acuerdo con ellos para que después se factoricen por factor común.
Factorizar la siguiente expresión: ax + by + ay + bx
PROCEDIMIENTO:
- Identifica los términos con posibles factores comunes: ax y bx, by y ay
- Agrupa por factores de acuerdo con cada factor común, ax+bx+by+ay
- Factorizar por cada factor común: x(a+b)+ y(a+b)
- Como se obtuvieron dos términos se busca nuevamente el factor común: a+b
- Factoriza nuevamente por cada factor común, multiplicando el término común por los no comunes (x,y) obteniendo como resultado: (x+y)(a+b).
¿Recuerdas cómo obtener raíces de un polinomio para poder obtener los factores?
Polinomio cuadrático ax2 + bx + c:
a) Con la fórmula general
Recuerda que una raíz cuadrada tiene siempre dos valores, uno positivo y uno negativo, por esto debes obtener dos raíces en (x) como resultado, pueden ser 2 reales, 1 real y una imaginaria, dos raíces imaginarias. Las raíces imaginarias no participan para expresar factores. Si el resultado fuera x1=d y x2=e. Entonces los factores pueden ser (x1-d) y (x2-e), el signo depende del signo de las raíces cuando, x1-d=0, y x2-e=0, se igualan a cero.
b) Un binomio al cuadrado tiene como resultado un trinomio al cuadrado perfecto (A+B)2 = A2+2AB+B2. Se llama así porque los términos que están en los extremos tienen raíz cuadrada exacta. Al factorizar un trinomio de este tipo debe expresarse como el producto de un binomio al cuadrado, pero antes se tiene que determinar si ese trinomio es en verdad cuadrado perfecto. ¿Recuerdas el procedimiento? Veámoslo.
Dado: 4a2 + 16ab + 16b2
- Hay que reconocer que es un trinomio.
- Calcular la raíz cuadrada del primer y tercer término:
- Calcular el doble del producto: 2 * (2a)(4b) = 16ab, si cumple, entonces es un trinomio cuadrado perfecto.
- Sustituir en la fórmula del binomio al cuadrado: (2a+4b)2 = (2a+4b)(2a+4b)
C) Factorizando un trinomio de segundo grado que no es cuadrado perfecto Ax2 + Bx + C:
Dado 6x2 + 5x – 6, veamos el procedimiento.
- Determina los coeficientes numéricos: A=6, B=5, C=-6
- Encontrar dos números cuyo producto sea igual a -36, (A*C) y cuya suma sea igual a 5 (B). Recuerda que es muy útil usar los factores de -36 para agilizar la búsqueda y tenemos las siguientes posibilidades:
-36= (9)* (-4) -36=(-9)(4) -36= (-6)(6) ¿Son todas las posibilidades?
Cuando se tienen todos los factores, ahora deben sumarse para encontrar los números que cumplen las condiciones:
9+(-4) =5 -9+4=-5 -6+6=0
🡺 Como puedes ver los números que cumplen las condiciones es el 9 y -4.
- Ubica el segundo término o término central, 5x.
- Factoriza este término como la suma de los dos números encontrados: 5x= 9x-4x.
- Sustitúyelo en la formula original: 6x2+5x-6 = 6x2+9x-4x-6.
- Ahora se factoriza por agrupamiento:
6x2+9x = 3x(2x+3)
-4x-6 = -2(2x+3)
De donde 3x2x+3-22x+3 = (3x-2)(2x+3)
Como repaso te invito a ver el siguiente video:
Ejemplo 1: Encontrar el producto.
Ejemplo 2: Factorizar.
Conclusión
En resumen, la utilidad de las operaciones elementales radica en que, al aplicarse dentro de un sistema de ecuaciones, el valor de las incógnitas se conserva.
Entender los conceptos básicos es importante para proceder en el tema de la factorización. Sabemos que el máximo común divisor (MCD) de dos o más números enteros es el número entero más grande que es factor de los números enteros. A diferencia del MCD de dos o más monomios que es el producto del MCD de los coeficientes y de las variables comunes de cada factor. La propiedad distributiva se utiliza para multiplicar factores de un polinomio. Factorizar un polinomio significa escribirlo como producto de otros polinomios.
En otras palabras, la factorización es un proceso a través del cual se descompone una cantidad en factores. Así como los números pueden ser expresados como el producto de dos o más números, un polinomio puede ser expresado como el producto de dos o más expresiones algebraicas. Las expresiones algebraicas se pueden factorizar de formas diferentes, usando los métodos conocidos hasta ahora y tomando en cuenta que no son las únicas.
El tipo de factorización que se debe emplear dependerá del tipo de expresión que se tenga y además del objetivo de ésta, por lo cual se han definido diferentes tipos de factorización.
Se pueden combinar diferentes técnicas para factorizar un polinomio, solo se deben de cuidar las reglas algebraicas y de los exponentes para llegar a un resultado correcto.
Se sugiere comprobar, siempre si es posible, la factorización propuesta para tener mayor seguridad en la exactitud.
Los factores imaginarios no se toman en cuenta cuando estás trabajando en el campo de los números reales, se dejan expresados como parte de una solución.
Es así como concluimos nuestra segunda clase. ¡Vas avanzando muy bien, te felicito! No olvides que para concluir la sesión debes hacer la tarea asignada y enviarla. Te encuentro en la siguiente clase, hasta luego.
Fuentes de información
- Álgebra de Baldor.
- Lovaglia, F. M. et al., (1994). Álgebra. México: Harla.
- Swokowski, E. W. (1971). Algebra Universitaria. Compañía Editorial Continental