Clase digital 10. Área bajo la curva

Área bajo la curva

Introducción

Una de las aplicaciones más simples de una integral es el área de una región plana bajo una curva. Para ello primero veremos el concepto de sumatoria, después dos definiciones simples y finalmente ejemplos de aplicación.

Desarrollo del tema

Área bajo la curva

Hemos llegado al final del curso, ahora veremos una de las aplicaciones de la integral más común, el cálculo del área bajo una curva. Para ello primero deberemos conocer lo que es una serie, una sumatoria y finalmente una suma de Riemann. Supongamos que deseas sumar muchos números, por ejemplo: del 1 al 100. Entonces escribirías:

1+2+3+4+5+….+99+100

Pero hay una forma más corta de escribirlo que nos ayuda mucho, usando un símbolo que significa sumatoria , es una letra griega de nombre sigma mayúscula. Además usamos una letra que nos indica cuántos vamos a sumar, denotada por i, así nuestra suma quedaría expresada como:

De esa manera podemos expresar cualquier suma de números o funciones de números que tengan un orden, por ejemplo:

Existen teoremas que nos permiten simplificar estas sumatorias, te pediré que los revises en la sección 4.4 del libro de Leithold. Con esto en mente podemos calcular el área de cualquier figura como la suma de sus áreas, por ejemplo, en la siguiente figura podemos calcular el área de la región limitada por las líneas negras como una suma de las áreas marcadas con rojo:

O tal vez, esta, donde aproximamos el área bajo la curva roja, tomando el área de varios rectángulos (verdes) y sumándolos:

Ahora pasemos a la definición del área de una región plana. Suponga que la función f es continua en el intervalo cerrado [a,b] con f(x)≥0  para toda x en el intervalo [a,b] , y que R es la región limitada por la curva  y=f(x), el eje X y las rectas x=a y x=b. Divide el intervalo [a,b] en n  subintervalos, cada uno de longitud Δx=(b-a)/n, y denote el i-ésimo subintervalo [x_i-1,x_i]. entonces si f(c_i) es el valor de la función mínimo absoluto en el i-ésimo subintervalo, la medida del área de la región R está dada por

Veamos algunos ejemplos de cómo aplicar esta suma de áreas y los teoremas que te pedí revisaras.

Ejemplo:
Calcule el área de la región limitada por y = x², el eje x, y la recta x = 2, usando a) rectángulos inscritos, b) rectángulos circunscritos. Grafiquemos primero para darnos una idea de que área nos piden:

En la figura A vemos en verde el área que nos piden y en la figura B se muestran unos rectángulos inscritos como ejemplo.  Comencemos por calcular el área usando solo una sumatoria sin aplicar la definición de área de una región plana. Bien supongamos que dividimos el intervalo de x=0 a x=2 en 10 partes, así que 2-0/10=0.2 el Δx =0.2:

Si comparamos este resultado con el anterior veremos que el primero es menor, ¿por qué? Porque hay espacios que no se consideraron (ver la figura b en color amarillo).  Ahora consideremos rectángulos circunscritos.

Comencemos por calcular el área usando solo una sumatoria sin aplicar la definición de área de una región plana. Bien supongamos que dividimos el intervalo de x = 0 a x = 2 en 10 partes, así que 2-0/10 = 0.2 el Δx = 0.2.

Te recomiendo que leas los siguientes textos, en donde se ahonda más en el tema y hay más ejemplos.

Una vez que ha concluido con el estudio de material escrito y video, realiza la consigna.

Conclusión

Bien hecho, hemos llegado al final del curso, ahora ya tienes los conocimientos básicos para poder entender muchas de las aplicaciones de la derivada y la integral que verás en tus otros cursos.

¡Felicidades!

Fuentes de información

• https://luiscastellanos.files.wordpress.com/2007/02/calculo-louis-leithold.pdf, páginas 328-352 numeración del libro