Ecuación de segundo grado
Introducción
¡Hola de nuevo!
Te doy la bienvenida a esta nueva clase. A diferencia de las clases anteriores, en esta ocasión comenzaremos a trabajar sobre la aplicación de las herramientas de GeoGebra en la solución e interpretación de problemas matemáticos.
Para comenzar a trabajar en esta sesión tendremos que recordar algunos conceptos que se abordaron durante algunas UDA en el segundo y tercer semestre de preparatoria tales como sistemas de ecuaciones, raíces de polinomios y representación de las ecuaciones cuadráticas en un plano cartesiano.
En esta sección aplicarás algunas de las herramientas aprendidas durante las clases anteriores. Es por ello que te pido que, en caso de no recordar cómo utilizar alguna de ellas, regreses a tus clases previas para poder tener éxito en el desarrollo de las consignas pertenecientes a este bloque.
¡Sigue adelante! ¡Vas muy bien!
Desarrollo del tema
Ecuaciones lineales
Una de las cosas que debemos tener claro para entender la representación gráfica de las ecuaciones lineales es saber qué es una recta. Una recta es una línea que une dos puntos en el espacio; en matemáticas este es un sistema coordenado que en nuestro caso es el cartesiano (dos dimensiones x, y), formado por la intersección de dos rectas reales, llamadas “eje x” y “eje y”.
Al unir dos puntos creamos una recta, la cual es representada algebraicamente con la siguiente ecuación: y – y0 = m(x – x0) + b
Donde, (x, y) y (x0, y0) son puntos en el plano cartesiano, m es la pendiente o inclinación de la recta, respeto al sistema coordenado. b es el punto donde la recta corta con el eje y.
Ejemplo: Representar gráficamente la siguiente ecuación lineal 2x + 1 = 5
Para poder hacer la representación en GeoGebra basta con escribir en la vista algebraica y en la entrada la ecuación tal y como la marca el ejemplo siguiente:
Calcular la pendiente de una recta dada su ecuación
Ahora que ya sabemos identificar una ecuación lineal a nivel gráfico, veamos cómo podemos medir algunas de sus características. Entre ellas, la pendiente:
1) Escribimos en la entrada la ecuación en su forma ordinaria de la siguiente forma: f(x) = 2x + 4.
2) Usamos la herramienta pendiente de la sección de herramientas de medición vista en la clase digital 2. Como sabemos, la ecuación de la recta en su forma ordinaria nos muestra la pendiente y el punto en el cual dicha recta hace intersección con el eje vertical. Ahora que analizamos la ecuación en su forma ordinaria, podemos observar que su pendiente es 2 y su intersección es en el punto (0,4) tal como puede apreciarse en la gráfica de GeoGebra.
Sistemas de ecuaciones lineales
La solución de un sistema de ecuaciones es el valor o valores que hacen válidas a todas las ecuaciones en el sistema. Las gráficas de las ecuaciones del sistema te dicen cuántas soluciones existen para ese sistema. Observa las siguientes imágenes. Cada una muestra dos rectas que forman el sistema de ecuaciones.
En GeoGebra podemos graficar en un mismo lienzo ambas ecuaciones para poder encontrar la solución al sistema de ecuaciones:
Ejemplo:
Resuelve el sistema de ecuaciones
f(x) = 6x-8 y g(x) = 7x +16
Basta con escribir en la entrada cada una de las ecuaciones y, posteriormente, usando la herramienta “Intersección”, seleccionar ambas líneas. Automáticamente, GeoGebra ubicará el punto de convergencia, mismo que resuelve el sistema de ecuaciones.
Ecuaciones de segundo grado
A diferencia de las ecuaciones lineales que solamente tienen una solución, es decir, que solamente pasan por un punto en el eje de las “x”, las ecuaciones cuadráticas tienen dos soluciones indicadas por su exponente. Analíticamente, para encontrar las raíces de las ecuaciones se utilizan métodos cómo factorización, fórmula general o completar el trinomio cuadrado perfecto, sin embargo, con GeoGebra este proceso se facilita en gran medida. Solamente basta con escribir las ecuaciones en forma de función, es decir, con un f(x) antes, tal como se muestra en el siguiente ejemplo.
Como se mencionó en el apartado anterior, las soluciones de una ecuación siempre van a representar los valores para los cuales la función cruza por el eje de las “x”, por lo que, para poder resolver la ecuación, basta con escribirla y, posteriormente, usando la herramienta “Intersección”, cliquear la función y el eje de las abscisas. De este modo y en automático, se graficarán los puntos de concurrencia, mismos que coinciden con la solución de dicha ecuación o las raíces de la misma.
Conclusión
Como puedes observar, cada tema y método aprendido durante las clases de álgebra y geometría, que durante las clases se presentan como simples conceptos o métodos poco complejos, tienen una fundamentación gráfica que hace que le demos sentido a nuestros resultados.
Entender que al resolver un sistema de ecuaciones de cualquier tipo lo que realmente hacemos es buscar el punto de convergencia entre dos lugares geométricos y, más aún, el contar con una herramienta que nos permita corroborar nuestros resultados a nivel analítico nos brinda una mayor oportunidad para construir los conceptos y que nuestro aprendizaje sea significativo.
¡Te invito a continuar con la preparación en el uso de esta herramienta y cumplir con las consignas que te ayudarán en la práctica para lograr que seas un experto en el uso de la misma!
Fuentes de información
- González, D. (s. f.). Sistema de Ecuación Lineal por Método Gráfico. GeoGebra [sitio web]. Recuperado: https://www.geogebra.org/m/zyhdccrr