Derivadas
Introducción
Hemos llegado al tema más útil en el área de ingeniería, física, química y demás ciencias exactas, las derivadas. No se trata de un proceso complicado, solo te pido que memorices las fórmulas y que hagas muchas derivadas y verás,que después de un rato se vuelven más fáciles.
La derivada se define a partir de los límites y es posible realizarla en funciones continuas, por ello es que esos temas fueron revisados antes, así que estamos listos, ¡adelante!
Desarrollo del tema
Derivadas
El concepto de derivada es muy útil en diversas áreas tanto de ingeniería como en la administración. La derivada tiene interpretación como razón de cambio o tasa de cambio, pendiente de la línea tangente a la curva en un punto. Ejemplo de ello es la velocidad, recordemos que se calcula como , o (Vf-Vo)/intervalo de tiempo.
La forma en que se expresa una derivada puede ser de cualquiera de estas formas
Como puedes ver no es más que un límite, y ¡ya sabemos calcular límites! Sin embargo, para poder entender lo que representa, es necesario que recordemos cuál es una recta tangente a una curva en un punto y cuál es una recta secante a una curva en un punto. En las siguientes figuras te muestro una recta secante, la línea verde, y una recta tangente, la línea naranja. como recordarás una secante corta a una curva en: mientras que una tangente toca a la curva en un solo punto
Ahora bien, también es necesario recordar cuál es la ecuación de una recta.
Para la ecuación de una recta necesitamos tener dos puntos por los cuales pasa la línea recta:
o bien necesitamos conocer la pendiente de la recta (m) y su intersección con el eje de las x (b)
y = mx + b
Aquí tienes dos videos que te pueden ayudar a recordar:
Para unir estos elementos, revisemos cuál es su relación con la derivada. Observa las imágenes y mira cómo la secante se va convirtiendo en una tangente cuando hacemos la h cada vez más pequeña, hasta que llega a cero:
Si no recuerdas las funciones trigonométricas te dejo unos enlaces para que veas los videos y te acuerdes
Veamos otras funciones y sus derivadas
Producto y división de funciones
No es muy común encontrar solamente funciones como polinomios o que tengamos solamente senos o cosenos como elementos dentro de una función, muchas veces encontramos una función más compleja, que bien puede ser el producto de 2 o más funciones.
Ahora veamos cómo derivar el producto y división de funciones. Consideremos 2 funciones f(x) y g(x), las cuales se encuentran generando una nueva función mediante el producto o división de ellas.
En palabras diría “la derivada de un producto de funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda menos la derivada de la segunda función por la primera dividido entre la segunda función al cuadrado”.
Conclusión
Espero que te hayas aprendido el concepto de derivada, y que te hayas aprendido las fórmulas, seguiremos aplicándolo. Aunque aún no hemos visto ejemplos de su uso, ten paciencia, pronto veremos ejemplos de aplicación.
Fuentes de información
- https://luiscastellanos.files.wordpress.com/2007/02/calculo-louis-leithold.pdf, páginas 99-145 numeración del libro